高等数学：1-1函数

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1、1/551/55数学是科学的大门和钥匙数学是科学的大门和钥匙 培根培根 主讲主讲 高丽高丽gaoshu_gaoshu_ gaoshu2014gaoshu2014(Advanced Mathematics)2/552/55高等数学这门课程担负的三项任务高等数学这门课程担负的三项任务 一、一、为后续课程的学习作好知识上的准备；为后续课程的学习作好知识上的准备；二、二、通过这门课程的教与学，要帮助我们地完成通过这门课程的教与学，要帮助我们地完成中学生到大学生的转变过程，这里主要指学习中学生到大学生的转变过程，这里主要指学习方法和认知水平的转变；方法和认知水平的转变；三、通过学习高等数学，我们要学会科

2、学的思维、三、通过学习高等数学，我们要学会科学的思维、准确简洁的表达、在复杂事物面前迅速作出正准确简洁的表达、在复杂事物面前迅速作出正确反应的本领，发展我们的智力，提高我们自确反应的本领，发展我们的智力，提高我们自我获取知识的能力。使我们变得聪明起来。为我获取知识的能力。使我们变得聪明起来。为全面提高我们的素质打下坚实的基础。全面提高我们的素质打下坚实的基础。3/553/55 因此，我们在学习过程中，除了要学会因此，我们在学习过程中，除了要学会所学的知识外，更重要的是训练我们的所学的知识外，更重要的是训练我们的学习能力学习能力和和分析问题分析问题、解决问题解决问题的的思想思想方法方法。4/55

3、4/55要求要求1 课前要有课前要有预习预习；2 课上专心课上专心听讲听讲，做好，做好课堂笔记课堂笔记；3 课后课后整理笔记整理笔记，做好，做好知识归类知识归类；4.4.按时完成按时完成作业作业，随时，随时更正更正错误错误5.5.作业书写整洁作业书写整洁5/555/55规定规定 1.按进度完成作业；按进度完成作业；2.每周交一次每周交一次作业，由课代表收齐后作业，由课代表收齐后理好序理好序交到习题课老师手上；交到习题课老师手上；3.作业情况计入平时成绩作业情况计入平时成绩 6/556/55安排安排 1.本本学期学期80学时学时，讲，讲完上册完上册1-5章；章；2.根据教学的需要和时间，不定期地

4、组织根据教学的需要和时间，不定期地组织测验测验；3 3.考试范围：所有所学内容。考试范围：所有所学内容。7/557/55第一节第一节 函数函数一、逻辑符号一、逻辑符号二、变量与函数二、变量与函数三、初等函数三、初等函数四、函数性质四、函数性质8/558/55“”表示表示“对每一个对每一个”,或或“任取任取”,或或“任意任意给定给定”;“”表示表示“存在存在”,或或“至少存在一个至少存在一个”,或或“能够能够找到找到”.Exist(存在存在)的的 字头字头E的倒写的倒写如如实数的阿基米德实数的阿基米德(ArchimedesArchimedes)公理公理:任意给定两个正的实数任意给定两个正的实数

5、a,b,都存在一个都存在一个自然数自然数n,.nab 使使得得用逻辑符号用逻辑符号可以改写为可以改写为:.bna 使使得得,0,ba,Nn Any或或Anyone(每一个每一个)的字头的字头A的倒写的倒写一、一、逻辑符号逻辑符号9/559/55 初等数学初等数学,就其总体来说是就其总体来说是进入变量的数学进入变量的数学 微积分微积分.映射与函数映射与函数“常量的数学常量的数学”,从现在开始从现在开始,10/5510/55、常量与变量、常量与变量常量常量:在所研究的过程中只取一个定值在所研究的过程中只取一个定值变量变量:在所研究的过程中可以取不同的值在所研究的过程中可以取不同的值常量与变量是常量

6、与变量是相对的相对的.二、变量与函数二、变量与函数11/5511/55区间区间是指介于某两个实数之间的全体实数是指介于某两个实数之间的全体实数.ba 且且这两个实数叫做区间的端点这两个实数叫做区间的端点.,都都是是实实数数和和设设babxax 称为称为),(ba记作记作开区间开区间,bxax 称为称为,ba记作记作闭区间闭区间,xOabxOab、实数集与绝对值、实数集与绝对值12/5512/55bxax bxax ),ba记作记作,(ba记作记作),xaxa ),(bxxb 有限区间有限区间无限区间无限区间称为称为半开半闭区间半开半闭区间.全体实数的集合全体实数的集合R 也可记作也可记作),(

7、是无限区间是无限区间.xOaxOb13/5513/55区间长度区间长度:两端点间的距离两端点间的距离(线段的长度线段的长度)今后在不需要辨明所论区间是否包含今后在不需要辨明所论区间是否包含有限区间、有限区间、称它为称它为“区间区间”,常用常用I 表示表示.无限区间的场合无限区间的场合,注注端点、端点、简单地简单地.bababa 14/5514/55绝对值绝对值:00aaaaa)0(a.bababa )0(aax;axa )0(aax;axax 或或绝对值不等式绝对值不等式:三角不等式三角不等式:15/5515/55.0,且且是两个实数是两个实数与与设设a,中心中心点点a为半径为半径 ),(aU

8、|axx 的的称称为为点点a 数集数集即即 邻域邻域,记作记作它它是是以以.的的开开区区间间几何表示几何表示:),(表示表示 aU.的全体的全体的一切点的一切点距离小于距离小于与点与点xa.axaxxOa a a),(aU邻域邻域),(aU 有时简记为有时简记为).(aU16/5516/55),(aU记记作作的的点点a,邻域邻域的的 去心去心(空心空心)0.axx），aU(即即ax 开区间开区间开区间开区间的的称为称为a),(aa ,邻域邻域左左),(aa的的称为称为a.邻域邻域右右 17/5517/55、函数函数定义定义设数集设数集,DER、f如如果果有有对对应应法法则则，自变量自变量因变量

9、因变量定义域定义域(domain)定义中定义中,按对应法则按对应法则f,总有总有唯一唯一确定的值确定的值y与之对应与之对应,这个值称为函数这个值称为函数f 在在x处的处的函数值函数值,记作记作 )(DfRf函数值函数值全体组成的集合称为全体组成的集合称为)(xfrange记作记作fR),(Df或或即即.),(Dxxfyy 函数函数f 的的值域值域,Dx使使得得对对于于 内内的的每每一一数数yE 都都有有唯唯一一确确定定的的数数与与之之对对应应，fD则则称称 是是定定义义在在数数集集 上上的的函函数数，记为记为:,|(),fDExyf x,xD,xD 对对每每个个(),f x18/5518/55

10、(2)对应的函数值对应的函数值y总是唯一的总是唯一的,否则称为否则称为如如xy 是多值函数是多值函数,它的两个单值支是它的两个单值支是:,xy 单值函数单值函数,多值函数多值函数.约定约定:.xy 今后今后无特别说明无特别说明时时,函数是指单值函数函数是指单值函数.这种函数称为这种函数称为,xD )(xff 和和记号记号含义的区别含义的区别:f自变量自变量x和因变量和因变量y之间的对应法则之间的对应法则;:)(xf与自变量与自变量x对应的函数值对应的函数值;:),(),(DxxfyDxxf 或或为由它所确定的函数为由它所确定的函数f.(1)注注19/5519/55即即简称函数表示法的简称函数表

11、示法的表达式求解表达式求解)(xf这是由这是由 )(xgf的的(3)而与用什么字母无关而与用什么字母无关,的有效方法，的有效方法，这是以后换元法这是以后换元法无关特性无关特性,xut()()()fff 自变量的无关性自变量的无关性的依据的依据 函数的表示法只与定义域和对应法则有关函数的表示法只与定义域和对应法则有关,(4)定义域定义域一般有两种一般有两种:实际定义域实际定义域自然定义域自然定义域20/5520/55定义域定义域一般有两种一般有两种:(1)实际定义域实际定义域自变量所能取的使算式有意义的自变量所能取的使算式有意义的定义区间定义区间.由问题的实际意义所确定由问题的实际意义所确定.(

12、2)自然定义域自然定义域函数的定义域常用区间来表示函数的定义域常用区间来表示,又可称为又可称为:一切实数组成的集合一切实数组成的集合.分母不为分母不为0；负数不能开偶次方；负数不能开偶次方；0和和1负数不能取对数；负数不能取对数；正、余弦值的绝对值不超过正、余弦值的绝对值不超过1；00 没没有有意意义义.21/5521/55今后常引用的今后常引用的几个几个特别的函数特别的函数映射与函数映射与函数绝对值函数绝对值函数例例|xy,0 x0 x ,x,x 定义域定义域),(D值域值域).,0 fRxyO|xy 22/5522/55xyO符号函数符号函数 xysgnxxx sgn 定义域定义域),(D

13、值域值域.1,0,1 fR例例映射与函数映射与函数,0 x,1,0 x,00 x,1 11 ,Rx 有有或或.sgn|xxx 23/5523/55 取整函数取整函数如如5 例例映射与函数映射与函数,n Znnxn ,1当当xy 2.55 9.77 5 5.2 3 xy xyo 1 3 4 2 1 2 12 3 1 2 阶梯曲线阶梯曲线 定义域定义域),(D值域值域.整数整数 fR表示不超过表示不超过x的最大整数的最大整数24/5524/55例例 狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)函数函数 )(xDy,Qx.CQx,1,0狄利克雷狄利克雷(德德)1805-1859有理数点有理数点无理数点无理

14、数点1xyo(当当x是有理函数时是有理函数时)(当当x是无理函数时是无理函数时)这是一个这是一个周期函数周期函数,任何正有理数任何正有理数r都是它都是它的的周期周期.因为不存在最小的正有理数因为不存在最小的正有理数,所以没有所以没有最小正最小正周期周期.25/5525/55.函数的四则运算函数的四则运算12(),(),yf xxDgg xxD设设有有两两个个已已知知函函数数和和则则它它们们可可通通过过四四则则运运算算产产生生新新函函数数(在在一一定定条条件件下下).).,()()(),F xf xg x如如 定定义义12,xDD ()(),f xg x函函与与的的和和数数记记为为12()()(

15、),F xfgxxDD()F x 叫叫做做或或简简记记为为.Ffg类似地类似地,可以定义两个函数的差、积、商，可以定义两个函数的差、积、商，多个多个函数的和、差、积、商函数的和、差、积、商.也可以也可以推广推广到到26/5526/55则则下下式式确确定定一一个个函函数数(),yf g x()()ug xyf u称称之之为为由由函函数数和和函函数数构构成成的的复复合合函函数数，,Du它它的的定定义义域域为为变变量量 称称为为中中间间变变量量.,gffg 函函数数 与与 构构成成的的复复合合函函数数通通常常记记为为即即()()(),.fgxf g xxD.复合函数复合函数,),(fDuufy ,)

16、,(Dxxgu fDDg)(且且27/5527/55.反函数反函数映射与函数映射与函数).(),(1Dfxxfy :1 f设函数设函数f:单射单射则它存在则它存在逆映射逆映射称此称此映射映射1 f为函数为函数f 的的 反函数反函数.习惯上习惯上,Dxxfy ),(的反函数记成的反函数记成定义定义(inverse function)D)(Df)(DfD,3xy ,3yx 如如Rx 单射单射.Ry 反函数反函数直接函数直接函数3yx 通常将通常将写作写作,3xy Rx 一般地一般地,28/5528/55映射与函数映射与函数 直接函数与反函数的图形直接函数与反函数的图形xy 直线直线对称对称.关于关

17、于xyO ),(baP),(abQ)(1xfy 反函数反函数)(xfy 直接函数直接函数xy 29/5529/55(减减),而且反函数也是而且反函数也是单调递增单调递增(减减).).在什么条件下在什么条件下,一个函数存在反函数一个函数存在反函数反函数存在定理反函数存在定理若直接函数若直接函数f在在D上单调递增上单调递增,1 f单射单射于是函数于是函数f:D),(Df则它必存在反函数则它必存在反函数:求求反反函函数数的的步步骤骤(1)()(),();yf xxyyf D 从从表表达达式式中中解解出出(2)()(),()xyxyyxxf D将将中中、互互换换,得得即即为为所所求求的的反反函函数数.

18、30/5530/55)幂函数幂函数(power function)(是常数是常数 xy (basic elementary function)(1)基本初等函数基本初等函数xyO11)1,1(xy 2xy xy1 xy 1)常数函数常数函数二初等函数二初等函数31/5531/553)指数函数指数函数(exponential function)1,0(aaayxxay xay)1()1(a)1,0(xey 定义域为定义域为),(值域为值域为).,0(映射与函数映射与函数xyO 32/5532/554)对数函数对数函数(logarithm function)1,0(log aaxyaxyln xy

19、alog xya1log)1(a定义域为定义域为).,(值域为值域为),0(映射与函数映射与函数xyO)0,1(33/5533/555)三角函数三角函数(trigonometric function)正弦函数正弦函数xysin xysin 定义域为定义域为),(值域为值域为.1,1 映射与函数映射与函数11 xyO 2 2 23 2 23 234/5534/55xycos xycos 余弦函数余弦函数定义域为定义域为),(值域为值域为.1,1 映射与函数映射与函数11 xyO 2 2 23 2 23 25 35/5535/55正切函数正切函数xycot 余切函数余切函数xytan xytan

20、xycot 定义域定义域).,(值域值域 Znnx ,212 定义域定义域).,(值域值域Znnx ,映射与函数映射与函数xyO2 2 23 23 xyO 22 2 23 36/5536/556)反三角函数反三角函数(inverse trigonometric function)xyarcsin xaysinrc 定义域定义域值域值域,1,1.2,2 主值主值映射与函数映射与函数反正弦函数反正弦函数xyO2 2 11 37/5537/55xyarccos 定义域定义域值域值域,1,1.,0 主值主值映射与函数映射与函数反余弦函数反余弦函数xycosArc xyO 11 38/5538/55xy

21、arctan 主值主值定义域定义域值域值域),(.2,2 反正切函数反正切函数xytanarc xyO2 2 反余切函数反余切函数xyarccot xyO2 主值主值xycotarc 定义域定义域值域值域),().,0(常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为三角函数和反三角函数统称为基本初等函数基本初等函数.39/5539/55(2)初等函数初等函数(elementary function)初等函数初等函数.如如)11ln(8sin3222 xaxyx)3ln(1xy 都是初等函数都是初等函数.7!75!53!3753xxxxy不

22、是初等函数不是初等函数.映射与函数映射与函数,由基本初等函数经过有限次四则运算由基本初等函数经过有限次四则运算(加、减、乘、除加、减、乘、除)和有限次的函数复合步骤所构和有限次的函数复合步骤所构成并可用成并可用一个式子表示一个式子表示的函数的函数,称为称为40/5540/55注注一般分段函数不叫初等函数一般分段函数不叫初等函数,0,0,xxxxy如如 可看作分段函数可看作分段函数,是否又可看作是初等函数是否又可看作是初等函数?答答:0,0,xxxxy2|xx 故又可看作是初等函数故又可看作是初等函数.是是!由于由于映射与函数映射与函数不是用不是用一个式子一个式子表达出来的表达出来的.因为它因为

23、它41/5541/55.有界性有界性(bounded)定义定义.()0,f xDG 设设是是定定义义在在 上上的的函函数数,若若存存在在正正数数,|()|(),xDf xGf xD使使得得对对一一切切都都有有则则在在称称上上有有界界.,1|sin|x,1|cos|x),(,2|arctan|x,|cotarc|x),(,|arccos|x,2|arcsin|x 1,1 例例.所所以以它它们们都都是是各各自自定定义义域域上上的的有有界界函函数数.三、函数的特性三、函数的特性42/5542/55 注注有界的几何意义如左下图有界的几何意义如左下图.有界有界xyOab)(xfGG,baI 无界无界:(

24、)f xD则则称称在在 上上无无界界.无界无界xyO21xHxy1)2,0(I1()(0,2).f xx 如如在在上上无无界界(见见右右下下图图)HxftsDxH )(.,)(011，不论它多么大不论它多么大43/5543/55定理定理(),f xDm MRxD 函函数数在在 上上有有界界使使得得对对都都有有().mf xM,().m Mf x定定理理中中的的分分别别称称为为界界和和下下上上界界显然显然,有界等同于既有上界又有下界有界等同于既有上界又有下界.注注 一定要把区间明确出来一定要把区间明确出来!不是有界函数不是有界函数,就是无界函数就是无界函数.44/5544/55,)(Dxf的定义

25、域为的定义域为设函数设函数时时当当2121,xxIxx 上上在在区区间间则则称称函函数数Ixf)(单调单调.DI 区区间间如果如果恒有恒有 monotonexyOI)(xfy )(1xf)(2xf1x2x2.单调性单调性(monotonicity)1()f x2(),f x 增加增加;I)(xfy )(1xf)(2xf1x 2x xyOincreasing减少减少;decreasing45/5545/55 注注 2.应指明单调区间应指明单调区间,否则会产生错误否则会产生错误,1.1.若若定定义义中中()()改改为为(),(),()f xI则则称称在在 上上单单调调不不减减(增增)；1(),0.

26、f xxx如如，46/5546/55偶函数的图形偶函数的图形),()(xfxf 称称 f(x)为为 偶函数偶函数(even function);,关关于于原原点点对对称称设设D有,Dx xyO)(xf )(xfy )(xfxx.奇偶性奇偶性),()(xfxf 称称 f(x)为为奇函数奇函数(odd function).xyOx)(xfy x)(xf 奇函数的图形奇函数的图形47/5547/55),()(xfxf 奇函数的图形奇函数的图形称称 f(x)为为奇函数奇函数(odd function).,关于原点对称关于原点对称设设D有有对于对于,Dx xyO)(xf )(xf)(xfy xx48/5

27、548/55注注(1)不要把奇偶函数当作两个完全相反的不要把奇偶函数当作两个完全相反的概念概念.(2)奇偶性是对称区间而言的奇偶性是对称区间而言的,否则无从谈否则无从谈奇、偶奇、偶.49/5549/55的的周期周期.)()(xflxf ,Dx 使得使得周期函数周期函数(period function).如果存在一个如果存在一个正数正数l且总有且总有称为称为f(x)通常称周期函数的通常称周期函数的周期周期是指是指最小正周期最小正周期.,l周期为周期为 的周期函数的周期函数l,)(Dlx 有有23l23l 2l 2lOxy设函数设函数 f(x)的定义域为的定义域为D,则称则称f(x)是是.周期性周

28、期性(periodicity)50/5550/55取自变量在横轴上取自变量在横轴上变化变化,在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,因变量在纵轴上变化因变量在纵轴上变化,则函数的图形是指则函数的图形是指平面点集平面点集:通常是一条或几条通常是一条或几条曲线曲线(包括直线包括直线).),(yxP),(xfy Dx RR 中的集合中的集合xyOyx),(yx)(xfy fRDC函数的图形函数的图形(图象图象)51/5551/552shxxeex xych xysh),(:D奇函数奇函数.2chxxeex ),(:D偶函数偶函数.1)双曲函数双曲函数xey21 xey 21 叠加法叠加法双曲正弦双曲正

29、弦双曲余弦双曲余弦xyO附：双曲函数与反双曲函数及其图象52/5552/55 xxxchshth奇函数奇函数,),(:D有界函数有界函数,双曲正切双曲正切xxxxeeee xyO53/5553/55双曲函数常用公式双曲函数常用公式 )(chyx xx22shch x2sh x2ch;shshchchyxyx;1;chsh2xx.shch22xx sh()sh chch sh;xyxyxy54/5554/552)反双曲函数反双曲函数奇函数奇函数,),(:D内内在在),(xyarsh xyarsh xyarsh)1ln(arsh2 xxxy yxsh由由可得可得 反双曲正弦反双曲正弦yxsh 是是的反函数的反函数,2yyee 单调增加单调增加.xyO55/5555/55内内在在),1),1 :D)1ln(arch2 xxxyxyarch xyarch 反双曲余弦反双曲余弦单调增加单调增加.xyO156/5556/55xyarth xx 11ln21)1,1(:D奇函数奇函数,内内在在)1,1(xyarth 反双曲正切反双曲正切单调增加单调增加.xyO11 arthyx 57/5557/55 学而时习之，不亦说乎？虽有佳肴，弗食不知其旨也；虽有至道，弗学不知其善也；时过而后学，则勤苦而难成；杂施而不孙，则怪乱而不修；独学而无友，则孤陋而寡闻；