高等数学证明题

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1、高等数学证明题 - 正文: 不等式是中学数学中的重要内容之一，也是解题的一种非常重要的思想方法。在中学证明不等式一般有比拟法，综合法，分析^p 法，反证法，判别法，放缩法，数学归纳法，利用二项式定理和变量代换法等等，其中包含了很多的技巧，从而证明的难度也比拟大，下面就利用高等数学知识进展不等式的证明，从中也可看出不等式的证明具有很大的灵敏性。 利用函数的单调性证明不等式，首先引入下面的定理： 定理1：设有两个函数f(x)与g(x),满足： 〔1〕在闭区间[a,b]上连续； 〔2〕在开区间〔a,b)内可导有f'(x)>g'(x) ( 或 f'(x)g(x)成立。 例1

2、：求证：ex-1>x (当x>0时) 从例题可以看出，在不等式的中有ex形式的指数形式，如用初等代数来证明那么有一定的难度，如用高等数学中上面的定理那么非常直观。 分析^p 1：要证ex-1>x，可以设f(x)=ex-1,g(x)=x 这样就转化成定理1的形式。 证明：设f(x)=ex-1,g(x)=x 并且知：f(x),g(x)在[0,∞)连续，并在(0,∞)可导 有：f'(x)=ex >g'(x)=1 (当x>0) 并有 ：f'(0)=e0=1 g'(0)=1 即：f'(0)=g'(0) 所以根据定理1有：f(x)>g(x) 即：ex

3、-1>x 这样通过高等数学中的导数和函数的根本性质就可以证明。 另外，也可以将不等式转化成：ex-x-1>0，证明方法同上〔略〕。 假如不等式中的次数较高，形式也比拟复杂，这可能需要屡次转化，才能到达目的，通过下面的例子不难看出这一点。 例2：设a>ln2-1为任一常数，求证：当x>0时,有x2-2ax+10 不妨设：F(x)=ex-x2+2ax-1 有：F(0)=0 那么：F'(x)=ex-2x+2a 如今只需证明：F'(x)>0即可证明F(x)>0 下面分析^p 证明：F'(x)>0 设g(x)=F'(x)=ex-2x+2a 有：g(0)=e0+2a>1+2(ln2

4、-1)=ln4-1=ln >0 (a>ln2-1) 又因：g'(x)=ex-2 所以如今只需证：g'(x)≥0就可以证明g(x)>0. 即需要证：ex≥2 Ⅰ.当x≥ln2时成立. Ⅱ.下面考察：当 00 g(x)=F'(x)=ex-2x+2a 又知：g'(x)=ex-2 g(0)>0 e4所以：g(x)在x=ln2时为极值点，且为极小值。 这样只要说明：g(ln2)>0即可。 又因：2-2ln2+2a>0 (当a>ln2-1时〕 所以：在00. 综上所述，可知F'(x)>0.所在在证明不等式过程中连续两次用到求导。 有时在证明不等式时，如

5、用初等数学知识那么比拟困难，假如我们能巧妙地构造函数，这样可使问题得以简化，其中判断函数的单调性，我们利用了高等数学中的导数知识很容易地就解决了。下面利用高等数学中的拉格朗中值定理进展不等式的证明，下面引入拉格朗日中值定理： 定理2：假设函数f(x)满足以下条件： 〔1〕f(x)在[a,b]并闭区间上连续； 〔2〕f(x)在(a,b)开区间内可导； 那么至少存在一点ξ∈〔a,b),使得 f '(ξ)= f(b)?f(a)成立。 b?a例3：证明：| sinb-sina | ≤| b-a | 分析^p ：我们知道| sinx | ≤1, | cosx |≤1

6、,而a,b我们可以假设其中一个为较大者，那么a,b可组成一个区间。再分析^p sinx函数在该区间内的性质可知符合拉格朗日中值定理的条件，从而可以得以证明。 证明：假设a＝b,那么等号成立。 假设a≠b,不妨设a＜b. 设f(x)=sinx 那么f '(x)=cosx 那么拉格朗日中值定理知，存在一点ξ∈〔a,b) 使得： f '(ξ) = cosξ= 又因为：|cosξ|≤1 所以 | sinb-sina| ≤| b-a | 从上面的定理和证明中，我们不难发如今遇到形如拉格朗日中值定理形式的不等式证明时，可用此定理，使得

7、证明得以简化，其中我们应灵敏地利用拉格朗日中值定理的各种变形进展不等式的证明。 利用定积分的有关知识进展不等式的证明 在不等式的证明中，我们经常会发现，有些不等式是求和的形式，这里我们可以利用定积分的定义或是利用积分的关的性质使问题得以解决，下面的分析^p 不难发现这一点。 例4：对任意正整数n>1 3n?1123n 2nnnnnn= [n + n + n +…… +( 1n2n3nn?0xndx n?1nn1nn) +n - n > nn2nn?1n1123n所以：+

8、 n +…… +n < 2 2n?2nnnn1所以[n + n + n +…… +( 1n2n3n在上面的证明中，我们利用了定积分的定义以及函数的的一些性质。上面的几个例子中都利用了函数，由此可见函数在不等式的证明中起着非常关键的作用，函数的构造和对函数的分析^p ，其中函数单调性的判断利用了高等数学中的导数的知识使问题简化，其次本文利用高等数学中的拉格朗日中值定理进展不等式的证明，使得具有符合拉格朗日中值定理形式的不等式证明得以简化，再次通过定积分的定义进展不等式的证明，以上的问题说明高等数学在不等式的证明方面存在着很大的优势，我们还需进一步的学习和研究。 【参考文献】：^p ： [1]《高初数学结合讲义 》 首都师范大学张海山老师 [2]《数学分析^p 讲义》 高等教育出版社 第 5 页 共 5 页