2023高考数学二轮复习(17)推理与证明学案

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1、2023高考数学二轮复习(17)推理与证明学案 - 推理与证明 【学法导航】 理解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进展简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用；体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的根本形式，并能运用它们进展一些简单推理；理解合情推理和演绎推理之间的联络和差异。理解直接证明的两种根本方法：分析p 法和综合法；理解分析p 法和综合法的考虑过程、特点；理解间接证明的一种根本方法-反证法；理解反证法的考虑过程、特点。 解答推理问题时，先明确出是哪种推理形式，显然归纳、演绎等推理方式在以往的学习中已经接触过，类比推理相对而言学生比拟为生疏. 所以复习类比推理时应抓住两点：一是找

2、出合理的类比对象，二是找出类比对象，再进一步找出两类事物间的相似性或一致性. 解答证明题时，要注意是采用直接证明还是间接证明。在解决直接证明题时，综合法和分析p 法往往可以结合起来使用。综合法的使用是“由因索果”，分析p 法证明问题是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法，分析p 法便于寻找解题思路，而综合法便于表达，因此使用时往往结合使用。分析p 法要注意表达的形式：要证A，只要证明B，B应是A成立的充分条件。 复习反证法时，注意：一是“否认结论”局部，把握住结论的“反”是什么？ 二是“导出矛盾”局部，矛盾有时是与条件矛盾，有时是与假设矛盾，而有时又是与某定义、定理、公理或事实矛盾，

3、因此要弄明白终究是与什么矛盾. 对于 些难于从正面入手的数学证明问题，解题时可从问题的反面入手，探求与未知的关系，从而将问题得以解决。因此当遇到“否认性”、“唯一性”、“无限性”、“至多”、“至少”等类型命题时，宜选用反证法。 【专题综合】 推理是数学的根本思维过程,高中数学课程的重要目的就是培养和进步学生的推理才能,因此本局部内容在高中数学中占有重要地位,是高考的重要内容.由于解答高考试题的过程就是推理的过程,因此本局部内容的考察将会浸透到每一个高考题中.在复习时,应注意理解常用的推理的方法,理解其含义,掌握其过程以解决详细问题.因此2023年、2023年山东卷、广东卷、海南、宁夏卷没有单独

4、考察此内容也在情理之中。2023年的高考题中只有江苏卷、福建卷、浙江卷的高考试题中出现了合情推理与演绎推理的试题。但是，今后的高考中考察推理内容,最有可能把推理浸透到解答题中考察，因为解答与证明题本身就是一种 合情推理与演绎推理作为一种推理工具是很容易被解答与证明题承受的. 1.与数列结合考察推理 例109浙江文设等差数列an的前n项和为Sn，那么S4，S8?S4，S12?S8，S16?S12成等差数列类比以上结论有：设等比数列bn的前n项积为Tn，那么T4， ， ，T16成等比数列 T12答案 T8T12 ,T4T8【命题意图】此题是一个数列与类比推理结合的问题，既考察了数列中等差数列和等比

5、数列用心 爱心 专心 的知识，也考察了通过条件进展类比推理的方法和才能w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】对于等比数列，通过类比，有等比数列bn的前n项积为Tn，那么T4，成等比数列T8T12T16，,T4T8T12w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2.与解析几何集合考察推理 例203年上海椭圆具有性质：假设M,N是椭圆上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上的任意一点，当直线PM,PN的斜率都存在时，那么kPM?kPN是与点P位置无关的定值，x2y2试对双曲线2?2?1写出具有类似特性的性质。 abb2答案:?2. a3.与立体几何结合考察推理 例3在?DEF中有余弦定理：DE

6、?DF?EF?2DF?EFcos?DFE. 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱ABC-A1B1C1的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式，并予以证明. 222分析p 根据类比猜测得出SAA?S?S?SBCC1B1cos?. ABBBCC1B1?2SABB1C1C1A11A1222其中?为侧面为ABB1A1与BCC1B1所成的二面角的平面角. 证明： 作斜三棱柱ABC?A1B1C1的直截面DEF，那么?DFE为面ABB1A1与面BCC1B1所成角，在?DEF中有余弦定理：DE?DF?EF?2DF?EFcos-， 同乘以AA1?DF?AA1?EF?AA1?2DF?AA1?E

7、F?AA1cos- 1，得DE?AA即 SAA1C1C?SABB1A1?SBCC1B1?2SABB1A1?SBCC1B1cos? 【变式】类比正弦定理：如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，二面角BAA1C、CBB1A、B2222222222222CC1A所成的二面角分别为?、?、?，那么有S?BB1C1Csin-S?AA1C1Csin-S?BB1C1Csin? 用心 爱心 专心 C 1 A1 N C A B P M B 1 证明：作平面DEF与三棱柱ABC-A1B1C1侧棱垂直，分别交侧棱AA1，BB1 ，CC1于点D，E，F，那么?EDF=?，?DEF-，?DFE-， 在?DEF中，根据正弦

8、定理得EF?AA1DF?AA1DE?AA1EFDFDE-，即 sin?sin?sin?sin?sin?sin?而AA1?BB1?CC1，且AA1?BB1?CC1，因此S?BB1C1Csin-S?AA1C1Csin-S?BB1C1Csin? 例4(2023广东理)假如一个凸多面体n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共n(n?1)2有 _ 条.这些直线中共有f(n)对异面直线，那么f(4) 12 ; f(n) n(n?2)(n?1)2 .答案用数字或n的解析式表示 4构造数表考察推理 例52023湖南理将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0-1三角数表从上往下数，第1次

9、全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，?，第n次全行的数都为1的是第 2?1 行；第61行中1的个数是 32 第1行 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 - -? 图1 5.实际问题 例6(2023年广东文10).图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图公司在年初分配给A、 B、C、D四个维修点某种配件各50件在使用前发现需将A、B、C、D四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件,但调整只能在相邻维修点之间进展那么要完成上述调整,最少的调动件次(n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动

10、件次为n)为 A18 B17 C16 D15 【解析】很多同学根据题意发现n=16可行,判除A,B选项,但对于C,D选项那么难以作出选择,事实上,这是一道运筹问题,需要用函数的最值加以解决.设A?B的件数为x1(规定:当n用心 爱心 专心 x1?0时,那么B调整了|x1|件给A,下同!),B?C的件数为x2,C?D的件数为x3,D?A的件数为x4,依题意可得x4?50?x1?40,x1?50?x2?45,x2?50?x3?54,x3?50?x4?61,从而x2?x1?5,x3?x1?1,x4?x1?10,故调动件次f(x1)?|x1|?|x1?5|?|x1?1|?|x1?10|,画出图像(或绝

11、对值的几何意义)可得最小值为16,应选(C). 【答案】:C 5.与其他章节知识结合考察证明 例7(2023年海南宁夏21)设函数f(x)?ax?处的切线方程为y=3 (2，f(2)1求f(x)的解析式： 2证明：函数y?f(x)的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心； 3证明：曲线y?f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值 解：1f?(x)?a?1(a，b?Z)，曲线y?f(x)在点x?b1， (x?b)21?9?2a-1，a?，-a?1，?2?b-4于是?解得?或? 18b-1，?b-.?a-0，?2-3-(2?b)1 x?112证明：函数y1

12、?x，y2?都是奇函数 x1所以函数g(x)?x?也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形而x1f(x)?x?1-1可知，函数g(x)的图像按向量a?(11)即得到函数f(x)，平移，x?1因a，b?Z，故f(x)?x?，为中心的中心对称图形 的图像，故函数f(x)的图像是以点(11)3证明：在曲线上任取一点?x0，x0-?1- x0?1?用心 爱心 专心 由f?(x0)?1?1知，过此点的切线方程为 2(x0?1)2x0?x0?1?1?y-?1?(x?x0) 2?x0?1?(x0?1)?令x?1得y-x0?1?x0?1x?1，切线与直线交点为?1，? x0?1x?1?0?令y?x得y?

13、2x0?1，切线与直线y?x交点为(2x0?1，2x0?1) 直线x?1与直线y?x的交点为(11)， 1x0?112?12x0?1?1?2x0?2?2 从而所围三角形的面积为2x0?12x0?1所以，所围三角形的面积为定值2 6.综合应用数学归纳法证明与正整数有关的问题 例8(2023山东卷理)等比数列an的前n项和为Sn， 对任意的n?N ，点(,nS)n，均在函数y?bx?r(b?0且b?1,b,r均为常数)的图像上. 1求r的值； 11当b=2时，记 bn?2(log2an?1)(n?N?) 证明：对任意的n?N ，不等式?w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ? b?1b1?1b2

14、?1n?n?1成立 b1b2bnx解:因为对任意的n?N,点(n,Sn)，均在函数y?b?r(b?0且b?1,b,r均为常数的图像上.所以得?Sn?bn?r,当n?1时,a1?S1?b?r,当n?2时,an?Sn?Sn?1?bn?r?(bn?1?r)?bn?bn?1?(b?1)bn?1,又因为an为等比数列,所以r-1,公比为b,an?(b?1)bn?1 2当b=2时，an?(b?1)b那么n?1?2n?1, bn?2(log2an?1)?2(log22n?1?1)?2n bn?12n?1b?13572n?1b?1b2?1?n-,所以1b1b2bn2462nbn2n w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 下面用数学归纳法证明不等式b?13572n?1b1?1b2?1n-?n?1成立. b1b2bn2462n用心 爱心 专心 第 10 页 共 10 页