《对牛顿切线法的进一步加速》由会员分享，可在线阅读，更多相关《对牛顿切线法的进一步加速（7页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、牛顿法改进1牛顿法简介牛顿法是一种采用迭代逼近的思想求解非线性方程的方法,它通过一步步寻找曲线切线 的零点来使不断更新的零点向非线性方程的根逼近，通过数次迭代后，使得方程的根在理想 的误差内。见图。牛顿迭代法示意團181614101.1牛顿法的建立其 性部分 数次迭J思想是：利用泰勒公式将非线性函数在方程的某个近似根处展开，然后截取其线 作为次方程来获得原方程的一个新的近似根通过代后，使方程的根缩减到理想的误差范围内。xk01234f (x)f (x )齐 f(x )(x - x )，kkk体地说，设当前点为x,：，将f (x)在九处泰勒展开并截取线性部分，得:八5-1f ( x )切线方程的
2、零点x x 仁，k 。丄 k+1k f f(x )k式(*)即所谓的牛顿迭代公式。(*)1.2牛顿法简单应用就拿上图来说，其MATLAB程序如下: %画切线法的直观图clcclearf=(x)xA2;df=(x)2*x;x0=30;ezplot(x2);hold onxt=x0;for i=l:30x=xO-feval(f,xO)/feval(df,xO); t=linspace(x,x0,100); plot(t,feval(df,xO)*(t-x),k);hold on t=linspace(0,feval(f,x),100); plot(x,t,r) hold on x0=x;endt=
3、linspace(xt,x,100);plot(t,0)xxA2求得 x2 二 0 的解值为 x=0.2793967724e-72.牛顿法改进考虑到牛顿迭代法收敛速度过慢，特别是遇到多重根的问题时，牛顿法变成了线性收敛 速度，不再适用。前人在这方面已做了许多改进，比如说将迭代公式改为Vmf(x)01xk+1=x ， k = U,1, k f X x )，kx = xk+1 kf (x )f(x )k O1一kk， k = 0,1，x )1 - f (x )f(x )kkk理论证明，上述公式至少是二阶收敛的。【1】不过我现在要讨论的问题是，能不能将牛顿法的迭代速度进一步提高。其实这个问题早在今年
4、暑假就被我解决了，现在只是将它表述出来，如果能用在论文中，那绝对是一大亮点。2.1对牛顿法创造性改进及其几何表示考虑到牛顿法截取的只是泰勒公式的线性部分，其收敛速度自然很慢，能不能截取二项 式非线性部分，加快其收敛速度？通过验证，这种方法是可行的。具体地说，设当前点为x，将f (x)在x处泰勒展开并截取二项非线性部分，得:kkf (x)沁 f (x ) + f(x )(x x ) + f (xk)(x X)2，k = 0,1, kkk2!令f (x)二0，解一元二次方程方程得:x = xk+1kf，(x ) f f(X )1 - 2f(x )f(x )kf (x )k kkkk , k = 0
5、,1,2,clcclearf=(x)xA6-100;df=(x)6*xT;ddf=(x)30*xA4;x0=3;ezplot(xA6-100);hold onxt=x0;for i=l:30x=xO-(feval(df,xO)+sqrt(abs(feval(df,xO)A2-2*feval(f,xO)*feval(ddf,xO)/feval(ddf,xO); t=linspace(x,x0,100);plot(t,feval(f,xO)+feval(df,xO)*(t-xO)+.5*feval(ddf,xO)*(t-xO).A2,k);hold ont=linspace(0,feval(f,x
6、),100);plot(x,t,r)hold onx0=x;endt=linspace(xt,x,100);plot(t,0)xxA6-100数值解：x =-2.1544%函数值精确度ans =2.8422e-014优点1迭代次数（收敛速度）更少，计算速度更快，精确度更高2. 能够求复数解（虚根）3. 能同时求出两根（本文未进一步讨论），收敛半径更大参考资料【1】马昌凤现代数值分析北京：国防工业出版社，2013,3.证明高等数学下册P,定理如果函数z = f (x, y)的两个二阶混合偏导数及68dydxd 2 z 在区域D内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。cxcy证明：首先，
7、从定义入手：竺=lim f (x + 心,y)一 f(x，y) = Q (x, y)Ox 心0Ax竺=iim f (X, y + Ay) 一 f (X, y )=屮(x, y) OyAy 0Ay将偏导数看成关于x,y的二元函数(关键)，若偏导数呉及餐在区域D内连续， OyOxOxOy则屮(x, y)对x可偏导，q (x, y)对y可偏导，所以：仝訓(x, y) = lim 申(x,y + Ay) Q(x,y) OxOyyAy tOAylim f (x + Ax, y + Ay) f (x, y + Ay) =limAy tOAxlim f (x+Ax, y) - f (x, y)AxtOAxAy=lim f (x + Ax, y + Ay) f (x, y + Ay) f (x + Ax, y) + f (x, y)AxtOAy tOAxAy(1)极限存在竺訓(x, y) = lim 屮(x + Axy)一屮(xy)OyOxxAx toAx(2)由(1)(2 )式可得：O 2 z _ O 2 zOxOyOyOx老师以前说用目前的知识证不出来我惊愕了
对牛顿切线法的进一步加速
