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1、线性代数习题参考答案 - 第一章 行列式 1 行列式的概念 1 填空 (1) 排列6427531的逆序数为 ，该排列为 排列。 (2) i = ，j = 时， 排列1274i56j9为偶排列。 (3) n阶行列式由 项的代数和组成，其中每一项为行列式中位于不同行不同列的 n个元素的乘积，假设将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么列标构成一个n元排列。假设该排列为奇排列，那么该项的符号为 号；假设为偶排列，该项的符号为 号。 (4) 在6阶行列式中， 含a15a23a32a44a51a66的项的符号为 ，含a32a43a14a51a66a25的项的符号为 。 2 用行列式的定义计算以下行列
2、式的值 a11(1) 00a22a320a23 a330解： 该行列式的3!项展开式中，有 项不为零，它们分别为 ，所以行列式的值为 。 00(2) 00?an2-0a2,n?1?a1na2n?an?1,nann ?0an1an?1,2?an?1,n?1?an,n?1解：该行列式展开式中唯一不可能为0的项是 ，而它的逆序数是 ，故行列式值为 。 3 证明：在全部n元排列中，奇排列数与偶排列数相等。 证明：n元排列共有n!个，设其中奇排列数有n1个，偶排列数为n2个。对于任意奇排列，交换其任意两个元的位置，就变成偶排列，故一个奇排列与许多偶排列对应，所以有n1 n2，同理得n2 n1，所以n1
3、n2。 1 4 假设一个n阶行列式中等于0的元素个数比n?n多，那么此行列式为0，为什么？ 5 n阶行列式中，假设负项的个数为偶数，那么n至少为多少？ 提示：利用3题的结果 6 利用对角线法那么计算以下三阶行列式 221?4?1 ?183 1 2a1bb21c c2a2 2 2 行列式的性质 1 利用行列式的性质计算系列行列式。 2141 (1) 3?1211232 5062a100 (2) ?1b100?1c1 00?1d?abacae (3) bd?cdde bfcf?ef3 2 证明以下恒等式 ax?by (1) D?ay?bzay?bzaz?bxxyzxzx yaz?bxax?by-a
4、3?b3?yaz?bxax?byay?bzz 提示：将行列式按第一列分解为两个行列式之和，再利用性质证明 a2(2) b2c2d2 ?a?1?2?b?1?2?c?1?2?d?1?2?a?2?2?b?2?2?c?2?2?d?2?2?a?3?2?b?3?2?c?3?2?d?3?2?0 x0(3) -1x?0an?10?1?0-?00?x00-1x?a1?xn?a1xn?1-?an?1x?an 0anan?2?a2(提示：从最后一列起，后列的x倍加到前一列) 4 3 四阶行列式D的第三行元素分别为：?1,0,2,4；第四行元素的对应的余子式依次是2，10，a，4，求a的值。 124 1365，2743，4056，6695，5356能被13整除，证明：345被13整除。 提示：注意观察行列式中第2，3，4，5列元素的特点 12345222115 D5?31245?27， 1112243150求：(1) 3A12?2A22?2A32?A42?A52； (2) A41?A42?A43和A44?A45。 提示：利用行列式按行列展开的性质计算 5 136274405669535536能56 第 4 页 共 4 页
线性代数习题参考答案
