随机信号习题答案

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1、随机信号习题答案 - 随 机 信 号 分 析 习 题 参 考 答 案 北京工业大学 电控学院 2023.12.9 第 1 页 共 18 页 第一章 随机信号根底 1.2 设连续随机变量X的概率分布函数为： 求： 解： F(x)?00.5?Asin1x?0?2(x?1)0?x?2x?21 系数A 2X取值在0.5 ，1内的概率P(0.5?x?1) 3 求X的概率密度函数 1 因为X为连续随机变量，所以其分布函数处处连续。 即 limF(x)?F(0) x?0有：lim0.5?Asinx?0?2(x?1)?0 解得：A?12 2 根据分布函数的性质：P(x1?x?x2)?F(x2)?F(x1) P

2、(0.5?x?1)?F(1)?F(0.5)?0.5?0.5?0.5*22?24 3 因为fX(x)?dFX(x)dx 当0?x?2时， fX(x)?dFX(x)dx(x?1)dFX(x)dx?12cos?2(x?1)*?2-4cos?2(x?1) 其他 fX(x)-0 ?4fX(x)?0cos?20?x?2 else 1.3 试确定以下各式是否为连续随机变量的概率分布函数，假如是概率分布函数，求其概率密度 。 第 2 页 共 18 页 假如一个函数它是概率分布函数那么比须满足三个条件： IF(x)是x的单调非减函数 IIF(x)是非负函数，且满足：0?F(x)?1 IIIF(x)处处连续 1?

3、e?x2x?01F(x)? 0x?0可证明F(x)满足以上三个条件，可知F(x)是一个概率分布函数。1?x2e2x?0 fX(x)?F(x)? 0x?0 0x?02F(x)?Ax20?x?1 1x?0经过计算可知当A?1时为分布函数。 0x?0那么此时 F(x)?x20?x?1 1x?00elsef(x)?F(x)? 2x0?x?13 F(x)?xau(x)?u(x?a)a?0 xa0?x?a上式等价于： F(x)? 0else第 3 页 共 18 页 解： 因为在x?a点，F(a)?1 limF(x)?0 此函数在此点不连续。 x?0?所以该函数不是分布函数。 10?x?11.5 设随机变量

4、X的概率密度为：fX(x)?0else 求：Y?5X?1的概率密度。 解： 因为 Y?5X?1 所以 X?1515Y?150-h(Y) y?15?1?1?y?6那么：fY(y)?fX(h(y)?0else 1.7 设随机变量X的数学期望和方差分别为m和?，求随机变量Y-3X?2的数学期望和方差及X和Y的相关矩。 解： EY?E?3X?2-3EX?2-3m?2 DY?D?3X?2?9DX?9? RXY?EXY?EX(?3X?2)?E?3X2222?2X-3EX?2EX-3(DX?EX)?2EX -3-3m?2m 1.11 随机变量X、Y的结合概率密度为： fXY(x,y)?Asin(x?y)0?

5、x,y-2 2X求：1系数A 2数学期望mX,mY 3方差?4相关矩RXY及相关系数rXY 和?Y 2第 4 页 共 18 页 解：1 -20Asin(x?y)dxdy-?20Asin(x?y)dxdy?2A 有二位概率密度性质可知：-fXY(x?y)dxdy?1 所以可得A?1 -2f-2X(x)-fXY(x,y)dy-20sin(x?y)dy?12(sinx?cosx) mX-?xfX(x)dx? -2x*11?202(sinx?cosx)dx?2?0xd(sinx?cosx)-4同理：f?Y(y)- 有 -fXY(x,y)dx?12(siny?cosy) mY-43因为?2?EX2?E2XX 可求 EX2-?2-?xfX(x)dx-x212(cosx?sinx)dx-28- 2?2 ?222X?EX?EX-216-2?2 同理可得：?22?E2Y?EYY-216-2?2 R?EXY-XY-?xyfXY(x,y)dxdy4-2?2100xy*2sin(x?y)dxdy- 2?1C2XY?RXY?mXmY-2?1?(?4) -(?22rXY?CXY2?14)-?8-162X-Y?216-2?2-8-32-0.245 第 5 页 共 18 页 第 5 页 共 5 页