证明数列收敛

《证明数列收敛》由会员分享，可在线阅读，更多相关《证明数列收敛（12页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、本文讨论了一类递推数列x = f (x )的单调性与收敛性问题，同时 n+1n也推广与包含了近期一些文献中的结果.运用单调有界性来证明收敛，而能用单调有界定理证明收敛的有四种情况：易知单调递增或递减，需证有上界或下界。易知有上界或下界，需证单调递增或递减.易知既有上界又有下界，需证单调。易知单调，需证既有上界又有下界。用导数来求证x = f (x )单调有界性. . . . . . .n +1n . . .如果广(x) 0，即函数f (x)单调递增时，数列x 具有单调 nxx性是可以肯定的，而研究递增递减那要看1跟2的比较了 (如果x =x12的话，那么x厂xn )具体的说若x1 x2时，由/

2、(x1) f (x2)，那么可以判定xn为减数列。 若x1 x2时，由f (x1) 1时，x =2-cos x ,证明数列x 收敛并且极限值位于 住，竺1n+1nn( 23 丿证：记 f (x)=2-cos x，则 f(x)= sin x0因为x = 0 ,兀2=1,则x = 0 =1 3，由于f (x)在o,上递增所以 f (x ) f (x ) f (x )，即 x2 x3 3那么xn具有单调有界性，上界为3然后对数列两边取极限，记极限为A则 A =2-cosA设函数 g(x)=x-2+cosx， 其中A为方程g (x)的根，由于g(x)在o，上连续，在(0,3)内可导，则g(x)=1-s

3、in x04 兀-106兀兀-42兀所以函数递增，又由于g (2)= 丁 0, g (丁)所以g (x)的根在怎引内。如果广(x) 1时,xn+1 = 1+，证明数列xn 收敛，并求其 n极限值。证：设函数/(x) = 1+x，贝恼数在om)上连续，在。0)内可导， 易知八x )=-占 x3 x2，又 f (x) = 1+x 在0，Q 上递减。所以有 f (x) f (x3) f (x2)，即 x2 x4 x所以 x x x x x . x x . x x x 可推得 1352n-1 2n642由此可知奇数项子数列x单调递减有下界x2 = 2 ,偶数项子数列2n1x2 单调递增有上界x1 =

4、1 ,则两子数列都收敛。 2n1设奇数项子数列x 收敛于P,偶数项子数列x2 收敛于Q。2 n 12 nx=1对Xn+1=1+F两边去极限得:nP=11+QQ=11+P解方程得P=Q= 0, /（a） a，/（b）= b。设 x1=a，则递推数列 x = f （x ）收敛。丄n+1n命题2。设函数f （x）在a，b上连续，在（a，b）内可导且f（x） 0, f（a）=a，f （b） b。设 X1=b，则递推数列 x = f （x ）收敛.n +1n命题3如果函数f（x）在a，b有唯一的不动点挪么数列必收敛于该不动点。ax + bx n推论：对于递推数列n+1x + C ,如果(ac 丰 b,

5、a、b、nc、 x者B为正数,n 1、2、3)那么数列收1,敛，且收敛于L,其中L=23(x +1)例题 1设 0 xi 曾,xn+1 xn+ 3( n 1,2,3, ),求n证：数列x 收敛，并求其极限。n解:数列xn 的迭代方程f(x)斗磐，厂(x)善乖0f( j3)- e.又 f (x1)- x1 -隠+；1J3 _ x1)0，即 f(*-。故数列x n在区间珥上满足命题i的条件，于是数列x ” 收敛。又f (x)在x Q上有唯一的不动点 尸，于是lim xn卡1n Tax 1 1例题2。已知函数f(x)= x3 - x2 + 2 + 4，且存在X0 G(迈)，使1f (x ) = x

6、设x = 0 x= f (x ) y , y= f (y )其00 设 1， n+1n 9 1 2n+1n 其中 n = 1,2,，证明：x x x y y。n n +10 n +1 n证：由数列xn 的迭代函数f(x) = x 3 - x 2 +专+ 4得f(x) = 3x2 -2x + 2 = 3(x-1)2 + 6o,从而在区间(0, x0)上,由命题1的结论得0vx v x v x ，nn +10在区间(xo,2)上，由命题2的结论得1x0 V yn+1 V ynV 丁v yn n于是有x v x v x v ynn+10n +1证毕利用单调性的定义或数学归纳法。例题1设a1 = ,

7、an+1二J + ，证明数列n 极限存在. 思路：先试求an+1 = J J + 的极限，对两边取极限，解得lim anx s1+Jl+4 c2，猜想它是数列的一个上界，那么问题就转换为证明这个猜想。证:易从an+1 = JS + C看出数列b 递增。接下来用数学归纳法求证-有上界21+ J1+4 ca显然a1二 b 0, a 二 111 1 2 2 一般地a= n +n , bn+12n+1例题3。，证明数列a 与噩收敛。证:利用数学归纳法对n进行归纳证明，V n e Z +, a b 0。11当n=1时已知成立。假设an-1 bn_1 0 ,由重要不等式得：=b 0n因此_b _a o数列a 有下界0,且当n 2时,an _ an-1 = -12 -1 an bn 0 ,即数列也有上界a i ,b并且当n 2时,n-11，故数列b单调递增，即数列bnn收敛.