计算方法数值微分.pdf

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1、Todays Plan 2011-10-8 square6square6上节课重点回顾上节课重点回顾上节课重点回顾上节课重点回顾 ：三次样条插值 三次样条插值三次样条插值三次样条插值上节课重点回顾上节课重点回顾上节课重点回顾上节课重点回顾 ：三次样条插值 三次样条插值三次样条插值三次样条插值 square6square6今日新内容今日新内容今日新内容今日新内容 ：数值微分 数值微分数值微分数值微分今日新内容今日新内容今日新内容今日新内容 ：数值微分 数值微分数值微分数值微分 上节课上节课上节课上节课上节课上节课上节课上节课 (2010-9-29)重点回顾重点回顾重点回顾重点回顾重点回顾重点回顾

2、重点回顾重点回顾 谢谢叶舒同学谢谢叶舒同学谢谢叶舒同学谢谢叶舒同学谢谢叶舒同学谢谢叶舒同学谢谢叶舒同学谢谢叶舒同学 带领大家做回顾总结带领大家做回顾总结带领大家做回顾总结带领大家做回顾总结 ！带领大家做回顾总结带领大家做回顾总结带领大家做回顾总结带领大家做回顾总结 ！ square6 计算方法主要讨论的误差有计算方法主要讨论的误差有计算方法主要讨论的误差有计算方法主要讨论的误差有 ： 截断误差截断误差截断误差截断误差 舍入误差舍入误差舍入误差舍入误差 先对误差增强一下了解先对误差增强一下了解先对误差增强一下了解先对误差增强一下了解 ： 1.截断误差截断误差截断误差截断误差 (方法误差方法误差方

3、法误差方法误差 /模型误差模型误差模型误差模型误差 )-数学模型的准确解与利用数学模型的准确解与利用数学模型的准确解与利用数学模型的准确解与利用 数值计算方法得到的准确解之差数值计算方法得到的准确解之差数值计算方法得到的准确解之差数值计算方法得到的准确解之差 ,如插值余项如插值余项如插值余项如插值余项 。用有误的过程代 用有误的过程代用有误的过程代用有误的过程代 替无误的过程替无误的过程替无误的过程替无误的过程 ，和用简单的计算问题代替复杂的计算问题所产 和用简单的计算问题代替复杂的计算问题所产和用简单的计算问题代替复杂的计算问题所产和用简单的计算问题代替复杂的计算问题所产 生的误差生的误差生

4、的误差生的误差 。 无穷过程用有穷项代替无穷过程用有穷项代替无穷过程用有穷项代替无穷过程用有穷项代替 例如例如例如例如 :无穷级数无穷级数无穷级数无穷级数 取前取前取前取前 n项代替项代替项代替项代替 ( ) 0 k = 0 1 ( ) ! kf x k 1 ( ) 0 k = 0 1 ( ) ! n kf x k 1 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 k = 0 k = 0 k = n 1 1 1( ) ( ) ( ) ! ! ! n k k kf x f x f x k k k = 截断误差截断误差截断误差截断误差 2 3 0 .6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 7 = (2 3

5、0.66666666666 = ） 2.舍入误差舍入误差舍入误差舍入误差 ：计算工具的长是有误的 计算工具的长是有误的计算工具的长是有误的计算工具的长是有误的 ，在计算时只能对 在计算时只能对在计算时只能对在计算时只能对 有误的数的进行运算有误的数的进行运算有误的数的进行运算有误的数的进行运算 ，超过这个的数时 超过这个的数时超过这个的数时超过这个的数时 ，要舍入 要舍入要舍入要舍入 ，于是 于是于是于是 产生舍入误差产生舍入误差产生舍入误差产生舍入误差 。 原始数据原始数据原始数据原始数据 、中间步骤和最终结果都可能 中间步骤和最终结果都可能中间步骤和最终结果都可能中间步骤和最终结果都可能

6、产生舍入误差产生舍入误差产生舍入误差产生舍入误差 。 如作作作如作作作如作作作如作作作 3.14159265 一般实数不能精确存储一般实数不能精确存储一般实数不能精确存储一般实数不能精确存储 ，例如 例如例如例如 ：在 在在在1010的十进制数误的十进制数误的十进制数误的十进制数误 制下制下制下制下 ： 定定定定义 义义义 设 x 的近似值 1 20. 10* mnx x x x= ， 若 *x 的绝对误差误差误 nm*x-x 1021 则称近似值 *x 为 x 的有 n 的有的数的的近似值 其。 中 1 2, , , nx x x 是 *x 的有的数的 。近似值 *x 具有 n 的有的数的，

7、它准确到它 n 的 。 3. 有的数的有的数的有的数的有的数的 ：由绝对误差决定 由绝对误差决定由绝对误差决定由绝对误差决定 。 绝对误差绝对误差绝对误差绝对误差 ： ：近似数与准确值的差 近似数与准确值的差近似数与准确值的差近似数与准确值的差 ； ； 相对误差相对误差相对误差相对误差 ： ：近似数与准确值的差与准确值的比值 近似数与准确值的差与准确值的比值近似数与准确值的差与准确值的比值近似数与准确值的差与准确值的比值 ； ； 误差误误差误误差误误差误 ： ：误差绝对值的上界 误差绝对值的上界误差绝对值的上界误差绝对值的上界 。 。 例：求 3.142 和 3.141 作为作作作 pi 的近

8、似值有的的有的数的 。 解： 313.142 0.000407 0.0005 102pi = = ， 1m = ， 3, 4m n n = = 。有 4 的有的数的 。 213.141 0.00059 0.005 10 2pi = = ， 1m = ， 2, 3m n n = = 。有 3 的有的数的 。 1 20. 10* m nx x x x= * 1| | 10 2 m nx x 4. 数值稳定性和减小运算误差数值稳定性和减小运算误差数值稳定性和减小运算误差数值稳定性和减小运算误差 1) 要避免两相近数相减要避免两相近数相减要避免两相近数相减要避免两相近数相减 。 2) 要防止大数吃掉小

9、数要防止大数吃掉小数要防止大数吃掉小数要防止大数吃掉小数 。 3) 要避免除数绝对值远小于被除数绝对值要避免除数绝对值远小于被除数绝对值要避免除数绝对值远小于被除数绝对值要避免除数绝对值远小于被除数绝对值 。 4) 注意简化计算步骤注意简化计算步骤注意简化计算步骤注意简化计算步骤 ，减少运算次数 减少运算次数减少运算次数减少运算次数 。 在实际问题中在实际问题中在实际问题中在实际问题中 ，往往会遇到某函数 往往会遇到某函数往往会遇到某函数往往会遇到某函数 f(x) 是是是是用表格表示 用表格表示用表格表示用表格表示 的的的的， ，用通常的导数定义无法求导 用通常的导数定义无法求导用通常的导数定

10、义无法求导用通常的导数定义无法求导 , 因此要寻求其他方法近因此要寻求其他方法近因此要寻求其他方法近因此要寻求其他方法近 似求导似求导似求导似求导 。 函数函数函数函数 f(x) 是是是是用表格表示 用表格表示用表格表示用表格表示 ， 求节点上微商 求节点上微商求节点上微商求节点上微商 ，称为数值微分 称为数值微分称为数值微分称为数值微分 。 思考思考思考思考 ：如何求数值微分 如何求数值微分如何求数值微分如何求数值微分 ？ 2.8 数值微分数值微分数值微分数值微分数值微分数值微分数值微分数值微分 numerical differentiation 常用的数值微分方法有常用的数值微分方法有常用

11、的数值微分方法有常用的数值微分方法有 : 一一一一 .运用差商求数值微分运用差商求数值微分运用差商求数值微分运用差商求数值微分 二二二二 .运用插值函数求数值微分运用插值函数求数值微分运用插值函数求数值微分运用插值函数求数值微分 三三三三 .运用数值积分求数值微分运用数值积分求数值微分运用数值积分求数值微分运用数值积分求数值微分 square6 差分差分差分差分 ：差分 差分差分差分 =差商差商差商差商 步长 步长步长步长 （等距 等距等距等距 ） 设有 等距节点等距节点等距节点等距节点 xk=x0+kh(k=0,1,n), 函数 f(x)在节点取 值 fk=f(x0+kh)=f(xk), h

12、为步长 ，则 f(x)在 xk的一阶差分为 1101 = + nkfff kkk ,., 2、向后差分 向后差分向后差分向后差分 ： nkfff kkk ,., 11 = 3、中心差分 中心差分中心差分中心差分 ： )()( 22 hxfhxff kkk += 1、向前差分 向前差分向前差分向前差分 ： 回顾回顾回顾回顾 : 1 , 0,1,., 1k k kf f f k n h h + = = 2、向后差商 向后差商向后差商向后差商 ： 3、中心差商 中心差商中心差商中心差商 ： ( ) ( ) 2 2k k k h hf x f x f h h + = 1、向前差商 向前差商向前差商向前

13、差商 ： 1 , 1,.,k k kf f f k n h h = = 1 00 1 1 0 ( ) ( ) , f x f xf x x x x = 差差差差商商商商： 一一一一. . 运用差商求数值微分运用差商求数值微分运用差商求数值微分运用差商求数值微分 最简单直接的数值微分方法就是用差商代替微商最简单直接的数值微分方法就是用差商代替微商最简单直接的数值微分方法就是用差商代替微商最简单直接的数值微分方法就是用差商代替微商 . 可用差商来逼近导数可用差商来逼近导数可用差商来逼近导数可用差商来逼近导数充分小时充分小时充分小时充分小时当当当当 ,h h hxfhxf h hxfxf h xfh

14、xfxf x ii h ii h ii hi i )2()2( lim )()(lim )()(lim)( , 0 0 0 + = = += 处处处处在点在点在点在点根据导数定义根据导数定义根据导数定义根据导数定义 1 ( ) ( ) ) . : ( i i ii i i i i f x f x h ff x h h f f f f x = = 一一一 一 阶 阶阶 阶 向 向向 向 后 后后 后 称称称 称 为 为为 为 在 在在 在 点 点点 点 的 的的 的 一 一一 一 阶 阶阶 阶 向 向向 向 差差差 差 商 商商 商 公 公公 公 后后后 后 差 差差 差 分分分 分 式式式 式

15、 1 ( ) ( ) ) . : ( i i ii i i i i f x h f x ff x h h f f f f x+ + = = 一一一 一 阶 阶阶 阶 向 向向 向 前 前前 前 称称称 称 为 为为 为 在 在在 在 点 点点 点 的 的的 的 一 一一 一 阶 阶阶 阶 向 向向 向 差差差 差 商 商商 商 公 公公 公 前前前 前 差 差差 差 分分分 分 式式式 式 1 1 2 2 ( ) ( )2 2 ( : ) . i i i i i ii i h hf x f x ff x h h f f f f x + + = = 一一一 一 阶 阶阶 阶 中 中中 中 心 心

16、心 心 称称称 称 为 为为 为 在 在在 在 的 的的 的 一 一一 一 阶 阶阶 阶 中 中中 中 差差差 差 商 商商 商 公 公公 公 心心心 心 差 差差 差 分分分 分 式式式 式 运用差商求数值微分运用差商求数值微分运用差商求数值微分运用差商求数值微分 : x0+hx0+h/2x0 x0-h/2x0-h fi=f(xi) fi-1=f(xi-h) fi+1=f(xi+h) fi-1/2=f(xi-h/2) fi+1/2=f(xi+h/2) 0 ( ) ( )( ) lim i i i h f x h f xf x h + = 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

17、 ( )1! 2! 3! . ( ) .! 对 在点 作 展开有i i i i i i i n n i f x h x Taylor h h hf x h f x f x f x f x h f x n + + = + + + + + + 利用利用利用利用 Taylor展开导出数值微分公式并估计误差展开导出数值微分公式并估计误差展开导出数值微分公式并估计误差展开导出数值微分公式并估计误差 2 ( ) ( ) ( ) ( )2i i i hf x h f x f x h f + = + + n=1: ( ) ( )( ) ( ) 2 i i i f x h f x hf x f h + = 得得

18、得得一 一一一阶 阶阶阶向 向向向前 前前前差 差差差商 商商商公 公公公 式式式式 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 i i i i f x x h T aylor hf x h f x f x h f + = + + 对对对对在在在在点点点点以以以以为为为为增增增增量量量量作作作作展展展展开开开开有有有有证证证证明明明明: 误差误差误差误差 1 ( ) ( ) ) . : ( i i ii i i i i f x h f x ff x h h f f f f x+ + = = 一一一一阶 阶阶阶向 向向向前 前前前 称称称称为 为为为 在 在在在 点 点点点的 的的的一 一一一

19、阶 阶阶阶向 向向向 差差差差商 商商商公 公公公 前前前前差 差差差 分分分分 式式式式 一阶导数的两点公式一阶导数的两点公式一阶导数的两点公式一阶导数的两点公式 : 2 2 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 ( ) ( ) ( ) i i i i i i i i i ii i f f x h f xf x O h O h h h f f x f x hf x O h O h h h h hf x f x ff x O h O h h h + = + = + = + = + + = + = + 一一一 一阶 阶阶 阶向 向向 向

20、前 前前 前差 差差 差商 商商 商公 公公 公式 式式 式 一一一 一阶 阶阶 阶向 向向 向后 后后 后差 差差 差商 商商 商公 公公 公式 式式 式 一一一 一阶 阶阶 阶中 中中 中心 心心 心差 差差 差商 商商 商公 公公 公式 式式 式 一阶导数的三点公式一阶导数的三点公式一阶导数的三点公式一阶导数的三点公式 ： 21( ) ( 3 ( ) 4 ( ) ( 2 ) ( ) 2i i i if x f x f x h f x h O hh= + + + + 证明证明证明证明 : 2 3 2 3 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1)2 4( 2 ) ( ) 2

21、 ( ) ( ) ( ) (2) 2 i i i i i i i i i f x x h h Taylor hf x h f x hf x f x O h hf x h f x hf x f x O h + = + + + + = + + + 将将将 将 在 在在 在点 点点 点 处 处处 处分 分分 分别 别别 别以 以以 以增 增增 增量 量量 量 和 和和 和 作 作作 作 展 展展 展开 开开 开， ， ，有 有有 有 4 1 2 ( if x 由由由 由 （ （ （ ） ） ）（ （ （ ） ） ） 可 可可 可 消 消消 消 去 去去 去 ) )可可可 可 得 得得 得 到 到到

22、到 三 三三 三 点 点点 点 公 公公 公 式式式 式 2 1 2 1 ( 3 4 ) ( ) 2i i i if f f f O hh + += + +可可可 可 简 简简 简 记 记记 记 为 为为 为 21( ) ( 3 ( ) 4 ( ) ( 2 ) ( ) 2i i i if x f x f x h f x h O hh= + + + + xi+2hxi+hxixi-hxi-2h 同样的方法可以得到其它的三点公式是同样的方法可以得到其它的三点公式是同样的方法可以得到其它的三点公式是同样的方法可以得到其它的三点公式是 ： 2 1 2 2 2 1 2 1 ( ) ( ) 21 ( 4

23、3 ) ( )2 i i i i i i i f f f O hh f f f f O hh + + + + + = + = + + 请自行推导请自行推导请自行推导请自行推导 。 2 2 21 1 2 2 2( ) ( ) ( )i i i i i f f f ff x O h O h h h + += + = + 二二二二阶 阶阶阶中 中中中心 心心心差 差差差商 商商商公 公公公式 式式式 2 1 1 2 2 1 1 1 1 : ( ) ( ) ( ) ( ) : (1 2 ) i i i i i i i i i i i f f f f f f f f f f f + + + = = =

24、= + 证证证证 验验验验证 证证证明明明明 2 3 3 4 2 3 3 4 ( ) 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3!1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) (2 2 3! i i i i i i i i i i i f x x h Taylor f x h f x f x h f x h f x h O h f x h f x f x h f x h f x h O h + = + + + + = + + （ （ ） ） ） （ （ ） ） ） 对对对对 在 在在在点 点点点 以 以以以 为 为为为增 增增增量 量量量作 作作作 展 展展展开

25、 开开开有 有有有 )(2)( 22 112 hOh fffxfh iiii += +得得得得： ：两式相加除以两式相加除以两式相加除以两式相加除以 二阶数值微分二阶数值微分二阶数值微分二阶数值微分 : 二二二二、 、运用插值函数求数值微分 运用插值函数求数值微分运用插值函数求数值微分运用插值函数求数值微分二二二二、 、运用插值函数求数值微分 运用插值函数求数值微分运用插值函数求数值微分运用插值函数求数值微分 ( 1) ( ) ( 1)!( ) ( ) ( )n n xf n nf x x x a b + += + 设设设设 n(x)是是是是 f(x)的的的的过点 过点过点过点 x0 ， x1

26、 ， x2 ， xn a， b的的的的 n 次插次插次插次插 值多项式值多项式值多项式值多项式 ，由 由由由 Lagrange插值插值插值插值 ,有对任意给定的有对任意给定的有对任意给定的有对任意给定的 xa， b，总 总总总 存在存在存在存在 如下关系式如下关系式如下关系式如下关系式 : 数值微分误差为数值微分误差为数值微分误差为数值微分误差为 : ( 1) ( 1)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( 1)! ( 1)! n n x x n n n n dR x f x x x x n dx n f f + + = = + + + 求数值微分求数值微分求数值微分求数值微

27、分 ： ( 1) ( ) ( 1)!( ) ( ) ( )n n xf n n df x x x a b dx + += + + = = + 令令令令 （ ）称 称称称为 为为为 点 点点点的 的的的向 向向向前 前前前差 差差差商 商商商公 公公公式 式式式， ， 称称称称为 为为为 点 点点点的 的的的向 向向向后 后后后差 差差差商 商商商公 公公公式 式式式。 。 两点公式两点公式两点公式两点公式 例例例例 1 设设设设 f(x)=lnx， x0=1.8，用 用用用 2点公式计算点公式计算点公式计算点公式计算 f(x0)。 0 2 2 2 ( )( ) , 2 2 1.8 1.8 1.

28、8 1.8 (1.8 ) (1.8) (1.8) (1.8 ) 2(1.8) 2(1.8 ) 0.1 0.5406722 0.0154321 0.5715841 0.0173010 0.01 0.5540180 0.0015432 0.5571045 0.0015605 0.001 0.5554 hf hf x h h f h f h f f h hh h h h = + + 计计计计算 算算算 的 的的的误 误误误差 差差差为 为为为 这这这这里 里里里 或 或或或 列列列列表 表表表计 计计计算 算算算如 如如如下 下下下： ： 解解解解： ： . 013 0.0001543 0.5557

29、0993 0.0001545 (1.8) 0.555f = 误差误差误差误差 误差误差误差误差 例例例例 1 设设设设 f(x)=lnx， x0=1.8，用 用用用 2点公式计算点公式计算点公式计算点公式计算 f(x0)。 0 2 2 2 ( )( ) , 2 2 1.8 1.8 1.8 1.8 (1.8 ) (1.8) (1.8) (1.8 ) 2(1.8) 2(1.8 ) 0.1 0.5406722 0.0154321 0.5715841 0.0173010 0.01 0.5540180 0.0015432 0.5571045 0.0015605 0.001 0.5554 hf hf x

30、h h f h f h f f h hh h h h = + 0, 上述公式可简化为上述公式可简化为上述公式可简化为上述公式可简化为 200201 2 )3( 2 210 2 1 )3( 2 02 1 0 )3( 2 210 0 ,2, )(32 )(3)(4)()( )(62 )()()( )(32 )()(4)(3)( xxhxxhxx fhh xfxfxfxf fhh xfxfxf fhh xfxfxfxf i +=+= += = += 这里这里这里这里 i=0: i=1: i=2: x0+2hx0+hx0 x1 x2 200201 2 )3( 2 210 2 1 )3( 2 02 1

31、0 )3( 2 210 0 ,2, )(32 )(3)(4)()( )(62 )()()( )(32 )()(4)(3)( xxhxxhxx fhh xfxfxfxf fhh xfxfxf fhh xfxfxfxf i +=+= += = += 这里这里这里这里 有时有时有时有时 ，也 也也也 将将将将 xi统一表为统一表为统一表为统一表为 x0,将上述公式写成如下形式将上述公式写成如下形式将上述公式写成如下形式将上述公式写成如下形式 2 (3)0 0 0 0 0 2 (3)0 0 0 1 2 ( 3)0 0 0 0 2 0 0 3 ( ) 4 ( ) ( 2 )( ) ( ) (3) 2 3

32、 ( ) ( )( ) ( ) (4) 2 6 ( 2 ) 4 ( ) 3 ( )( ) ( ) (5) 2 3 , 0,1, 2. (3) (4) (5) 3i f x f x h f x h hf x f h f x h f x h hf x f h f x h f x h f x hf x f h x h x h i + + + = + + = + = + + = 、 、 、 、 、 称 称称 称为 为为 为 点 点点 点公 公公 公式 式式 式。 。 。 n=2时时时时， ，计算 计算计算计算 f(x0)的误差是的误差是的误差是的误差是 O(h2),且且且且（ （ 4） 的误差最小的误

33、差最小的误差最小的误差最小 。 三点公式三点公式三点公式三点公式 x0+2hx0+hx0 x1 x2 x0+hx0 x0-h x1 x2 x0 x0-hx0-2h x1 x2 (3) (3) (4) (4) 2 ( 3 )0 0 0 0 0 2 ( 3 )0 0 0 1 2 ( 3 )0 0 0 0 2 3 ( ) 4 ( ) ( 2 )( ) ( ) (3) 2 3 ( ) ( )( ) ( ) (4) 2 6 ( 2 ) 4 ( ) 3 ( )( ) ( ) (5) 2 3 f x f x h f x h hf x f h f x h f x h hf x f h f x h f x h

34、f x hf x f h + + + = + + = + = + 例例例例 2 设设设设 f(x)=xex， x0=2，用 用用用 3点公式计算点公式计算点公式计算点公式计算 f(x0)。 2 1 1 1 3 4 5 0.1 22.032310 22.228790 22.054525 0.2 22.414163 6.16 101.35 10 1.13 10 2.47 10 ( ) ( 1) , (2) 22.167168x h f x x e f = + = 公公公 公式 式式 式（ （ （ ） ） ） 公 公公 公式 式式 式（ （ （ ） ） ） 公 公公 公式 式式 式（ （ （ ） ）

35、 误误误 误差 差差 差 ( ) 1.8 10.889365 1.9 12.703199 2.0 14.778112 2.1 17.148957 2.2 19.855030 x f x 公式公式公式公式 (4)计算计算计算计算 f(2)较准较准较准较准 确确确确。 。 x0 已知已知已知已知 ： ： 解解解 解： ： ： (3) (4) (3) (3) (4) (3) (3) (3) (3)(4) 2 (3)0 0 0 0 0 2 (3)0 0 0 1 2 (3)0 0 0 0 2 3 ( ) 4 ( ) ( 2 )( ) ( ) (3) 2 3 ( ) ( )( ) ( ) (4) 2 6

36、( 2 ) 4 ( ) 3 ( )( ) ( ) (5) 2 3 f x f x h f x h hf x f h f x h f x h hf x f h f x h f x h f x hf x f h + + + = + + = + = + f(2) 22.166996，误差为 误差为误差为误差为 ： 1.69 10-4 用用用用 （ 6），），），）， 5点公式计算点公式计算点公式计算点公式计算 f(2) ： 当当当当n=4时时时时,可得到可得到可得到可得到5点公式点公式点公式点公式： 0 0 0 0 0 4 (5) 0 0 ( 2 ) 8 ( ) 8 ( ) ( 2 )( ) 12

37、( ) (6), 2 2 , 030 f x h f x h f x h f x hf x h h f x h x h h + + + = + 中点求导公式 中点求导公式 中点求导公式 中点求导公式 ： ： (6) 5点中点公式点中点公式点中点公式点中点公式 0 0 0 0 4 (5 ) 0 0 2 0 0 0 0 1( ) 25 ( ) 48 ( ) 36 ( 2 ) 12 16 ( 3 ) 3 ( 4 ) ( ) (7)5 4 , 0 4 , 0 f x f x f x h f x hh hf x h f x h f x x h h x h x h = + + + + + + + + 端点

38、求导公式端点求导公式端点求导公式端点求导公式 ： 计算左端点计算左端点计算左端点计算左端点 ： ，： ，： ，： ， 计算右端点计算右端点计算右端点计算右端点 ： 5点公式计算点公式计算点公式计算点公式计算 f(x0)的误差是的误差是的误差是的误差是 O(h4),且且且且 中点公式中点公式中点公式中点公式 （ 6）的误差小于端点公式 的误差小于端点公式的误差小于端点公式的误差小于端点公式 （ 7） 。 五点端点公式五点端点公式五点端点公式五点端点公式 在构造数值微分公式时在构造数值微分公式时在构造数值微分公式时在构造数值微分公式时 ，不仅要考虑公式的截断 不仅要考虑公式的截断不仅要考虑公式的截

39、断不仅要考虑公式的截断 误差误差误差误差 ，而且还要考虑公式的舍入误差 而且还要考虑公式的舍入误差而且还要考虑公式的舍入误差而且还要考虑公式的舍入误差 。 2 ( 3 )0 0 0 1 ( ) ( )( ) ( ) (4) 2 6 f x h f x h hf x f h + = 考考考 考察 察察 察公 公公 公式 式式 式： ： ： 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x h f x h e x h f x h f x h e x h + = + + + = + 设设设 设 0 0 0 0 0 2 ( 3 ) 1 (4 ) ( ) ( ) ( ) (

40、 )( ) 2 2 ( )6 f x h f x h e x h e x hf x h h h f + + = + 则则则 则 式 式式 式 为 为为 为 计算计算计算计算 f (x0)的总误差是的总误差是的总误差是的总误差是 ： 2 (3)0 0 0 0 0 1 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 6 f x h f x h e x h e x h hf x f h h + + = 从截断误差从截断误差从截断误差从截断误差 (h2/6)f(3)( 1）的角度看 的角度看的角度看的角度看 ， h 越小误差越越小误差越越小误差越越小误差越 小小小小。 。但从舍入误差的角度看 但

41、从舍入误差的角度看但从舍入误差的角度看但从舍入误差的角度看 ， h不能太小不能太小不能太小不能太小 。 误差界误差界误差界误差界 为为为为： ： e(h)=e/h +(h2/6)M, 这里这里这里这里 e=max e(x0 h) ,M= max f(3)(x) 解解解解： ：利用公式 利用公式利用公式利用公式 (0.900 ) (0.900 )(0.900) 2 f h f hf h + 计算计算计算计算 。 (0.900) 0.001 0.62500 0.00339 0.002 0.62250 0.00089 0.005 0.62200 0.00039 0.010 0.62150 0.000

42、11 0.020 0.62150 0.00011 0.050 0.62140 0.00021 0.100 0.62055 0.00106 h f 近近近近似 似似似 误 误误误差 差差差 例例例例3设设设设f(x)=sin x，计算计算计算计算f(0.900)=cos0.900的近似的近似的近似的近似值值值值。 数值微分误差与稳定性数值微分误差与稳定性数值微分误差与稳定性数值微分误差与稳定性数值微分误差与稳定性数值微分误差与稳定性数值微分误差与稳定性数值微分误差与稳定性 square6 误差包括截断误差与舍入误差误差包括截断误差与舍入误差误差包括截断误差与舍入误差误差包括截断误差与舍入误差 ；

43、误差包括截断误差与舍入误差误差包括截断误差与舍入误差误差包括截断误差与舍入误差误差包括截断误差与舍入误差 ； square6 因分母有小量因分母有小量因分母有小量因分母有小量因分母有小量因分母有小量因分母有小量因分母有小量 h，对舍入误差敏感 对舍入误差敏感对舍入误差敏感对舍入误差敏感 ，而且随 而且随而且随而且随，对舍入误差敏感 对舍入误差敏感对舍入误差敏感对舍入误差敏感 ，而且随 而且随而且随而且随 h减小舍减小舍减小舍减小舍减小舍减小舍减小舍减小舍 入误差增大入误差增大入误差增大入误差增大 ，计算不稳定 计算不稳定计算不稳定计算不稳定 。入误差增大入误差增大入误差增大入误差增大 ，计算不

44、稳定 计算不稳定计算不稳定计算不稳定 。 square6 插值函数收敛到被插函数插值函数收敛到被插函数插值函数收敛到被插函数插值函数收敛到被插函数 ，插值函数的微商不一定收 插值函数的微商不一定收插值函数的微商不一定收插值函数的微商不一定收插值函数收敛到被插函数插值函数收敛到被插函数插值函数收敛到被插函数插值函数收敛到被插函数 ，插值函数的微商不一定收 插值函数的微商不一定收插值函数的微商不一定收插值函数的微商不一定收 敛到被插函数的微商敛到被插函数的微商敛到被插函数的微商敛到被插函数的微商 。敛到被插函数的微商敛到被插函数的微商敛到被插函数的微商敛到被插函数的微商 。 square6 三次样

45、条插值函数及其一阶二阶导数均收敛至被插函三次样条插值函数及其一阶二阶导数均收敛至被插函三次样条插值函数及其一阶二阶导数均收敛至被插函三次样条插值函数及其一阶二阶导数均收敛至被插函三次样条插值函数及其一阶二阶导数均收敛至被插函三次样条插值函数及其一阶二阶导数均收敛至被插函三次样条插值函数及其一阶二阶导数均收敛至被插函三次样条插值函数及其一阶二阶导数均收敛至被插函 数及其一阶二阶导数数及其一阶二阶导数数及其一阶二阶导数数及其一阶二阶导数 。数及其一阶二阶导数数及其一阶二阶导数数及其一阶二阶导数数及其一阶二阶导数 。 运用样条插值函数求数值微分运用样条插值函数求数值微分运用样条插值函数求数值微分运用

46、样条插值函数求数值微分运用样条插值函数求数值微分运用样条插值函数求数值微分运用样条插值函数求数值微分运用样条插值函数求数值微分 在节点处在节点处在节点处在节点处 , 函数函数函数函数 f(x)的一阶导数的近似值在插值过程的一阶导数的近似值在插值过程的一阶导数的近似值在插值过程的一阶导数的近似值在插值过程 中已获得中已获得中已获得中已获得 ： ( 0,1, , ) i if m i n = 因样条插值函数及其一二阶微商均收敛因样条插值函数及其一二阶微商均收敛因样条插值函数及其一二阶微商均收敛因样条插值函数及其一二阶微商均收敛 ， 求数值微商可直接对插值函数在每个区间求微商求数值微商可直接对插值函数在每个区间求微商求数值微商可直接对插值函数在每个区间求微商求数值微商可直接对插值函数在每个区间求微商 。