高中数学预科学习

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1、主主 讲讲：程：程 福福 江江高中数学学习方法指导高中数学学习方法指导务必做好课前预习务必做好课前预习12及时完成巩固练习及时完成巩固练习3复习总结全章重点复习总结全章重点4扎实掌握课堂内容扎实掌握课堂内容持之以恒，当天的事情当天尽善尽美的完成，积累学习中的成就感方可动力无穷！持之以恒，当天的事情当天尽善尽美的完成，积累学习中的成就感方可动力无穷！高中数学知识清单高中数学知识清单必修1必修2必修3必修41、集合2、函数3、基本初等 函数（I）1、立体几何初步2、平面解析几何初步1、算法初步2、统计3、概率1、基本初等函数（II）2、平面向量3、三角恒等变换必修5：解三角形 数列 不等式选修1-

2、1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用；选修1-2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数的引入、框图。选修2-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间中的向量与立体几何；选修2-2：导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数的引入；选修2-3：计数原理、统计案例、概率。高中数学知识清单高中数学知识清单 选修3-1：数学史选讲；选修3-2：信息安全与密码；选修3-3：球面上的几何；选修3-4：对称与群；选修3-5：欧拉公式与闭曲面分类；选修3-6：三等分角与数域扩充。高中数学知识清单高中数学知识清单选修4 1：几何证明选讲；选修4-2：矩阵与变换；选修4-3：数列与差分；选修4-4：坐标

3、系与参数方程；选修4-5：不等式选讲；选修4-6：初等数论初步；选修4-7：优选法与试验设计初步；选修4-8：统筹法与图论初步；选修4-9：风险与决策；选修4-10：开关电路与布尔代数。1、1集合的含义及其表示集合的含义及其表示第一章：集第一章：集 合合（1）集合集合：一定范围内某些：一定范围内某些确定的确定的、不同不同的的对象的全体构成一个对象的全体构成一个集合集合（set)。（一）集合的有关概念：（一）集合的有关概念：1、集合的含义：、集合的含义：（2）元素元素：集合中的每一个对象叫做该集：集合中的每一个对象叫做该集合的合的元素元素(element)或简称或简称元元。探讨以下问题探讨以下问

4、题:(1)(1)1,2,2,31,2,2,3是含是含1 1个个1,21,2个个2,12,1个个3 3的四个元素的集合吗的四个元素的集合吗?(2)(2)著名科学家能构成一个集合吗著名科学家能构成一个集合吗?(3)a,b,c,d(3)a,b,c,d和和b,c,d,ab,c,d,a是不是表示同一个集合？是不是表示同一个集合？(4)“(4)“中国的直辖市中国的直辖市”构成一个集合，写出该集合的元素构成一个集合，写出该集合的元素(5)“young(5)“young中的字母中的字母”构成一个集合，写出该集合的元素构成一个集合，写出该集合的元素v注意：注意：对于集合我们一定要从整体的角度来看待它。例如“高中

5、数学预科特训班的同学”是一个集合。由于集合本身就表示全部、所有的意思，万不能将集合写成“高中数学预科特训班的全体同学”或者“所有高中数学预科特训班的同学”集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可。2、集合中元素的三个特性：、集合中元素的三个特性：（1）确定性确定性（2）互异性互异性集合中的元素没有重复。（3）无序性无序性（5）实数集：实数集：（1）自然数集自然数集（非负整数集）（非负整数集）：全体非负整数的集合。记作全体非负整数的集合。记作N（2）正整数集正整数集:非负整数集内排除非负整数集内排除0的集。记作的集。

6、记作N*或或N+（3）整数集：整数集：全体整数的集合。记作全体整数的集合。记作Z（4）有理数集有理数集：全体有理数的集合。记作全体有理数的集合。记作Q全体实数的集合。记作全体实数的集合。记作R集合常用大写拉丁字母来表示。如集合集合常用大写拉丁字母来表示。如集合A、集合、集合B常用数集的表示方法：常用数集的表示方法：对象与集合的关系：对象与集合的关系：v 如果对象如果对象a是集合是集合A的元素，就记作的元素，就记作aA，读作，读作a属于属于A；v 如果对象如果对象a不是集合不是集合A的元素，就记作的元素，就记作aA，读作，读作a不属于不属于A。v 如：如：2Z，2.5Z 备注：注意与后面所学集合

7、与集合的关系及符号表示区别例例.用符号用符号“”或或“”填空：填空：(1)3.14Q Q；(2)(2)Q Q；(3)(3)0 0 N+(4)(4)0 0 N (7)(7)Q (8)(8)Q(5)(-2)(5)(-2)0 0 N+(6)(6)Z 525252巩巩 固固 训训 练：练：1、说出下面集合中的元素:(1)大于3小于11的偶数;(2)平方等于1的数;(3)15的正约数.答:(1)集合的元素是:4、6、8、10 （2）集合的元素是1、-1 （3）集合的元素是1、3、5、15巩巩 固固 训训 练：练：-3m-1，3m，m2+1m-1=-3,或3m=-3,或m2+1=-3m=-2,或m=-1,

8、（m2+1=-3无实数解，舍去）解解:代入检验符合集合元素的互异性互异性所以实数m=-2或-1重点题型（元素分析法）：重点题型（元素分析法）：2、若-3m-1，3m，m2+1，求实数m（三）（三）有限集与无限集有限集与无限集1、有限集、有限集(finite set)：含有有限个元素的集合。：含有有限个元素的集合。2、无限集、无限集(infinite set)：含有无限个元素：含有无限个元素 的集合。的集合。3、空集、空集(empty set)：不含任何元素的集合。记作：不含任何元素的集合。记作（备注：空集让人很头疼，但这也往往是题目突破的关键）（备注：空集让人很头疼，但这也往往是题目突破的关键

9、）集合的三种分类：集合的三种分类：1 1、2 2集合的含义及其表示方法集合的含义及其表示方法观察下列对象能否构成集合（1）满足X32的实数（2）本班的男生（3）中国的直辖市（4）不等式2X+3 9的自然数解；情境切入：情境切入：这些集合有没有其它的表示方式？这些集合有没有其它的表示方式？一、集合的表示方法：一、集合的表示方法：1.列举法：将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“”内。备注：用这种方法表示集合，元素要用逗号隔开，但 与元素的次序无关。v（1）满足X32的全体实数v（2）电影变形金刚中的全体演员v（3）中国的直辖市v（4）不等式2X+3 2的解集三、练习：三、练习：例2：用列举法表

10、示下列集合xN|x是15的约数 x|x=(-1)n,n N (x,y)|x+y=6,x N,y N 集合(x,y)|y=x2+1与集合y|y=x2+1是同一个集合吗？集合y|y=x2+1=y|y1是数集。例3答：不是。集合(x,y)|y=x2+1是点集，前两节学习了以下内容：前两节学习了以下内容：1.集合的含义；集合的含义；3.数集及有关符号数集及有关符号.2.集合中元素的特性：集合中元素的特性：确定性，互异性，无序性确定性，互异性，无序性4.集合的三种表示方法；集合的三种表示方法；四、小结：四、小结：1概念回顾：概念回顾：集合、元素、有限集、无限集、空集、列举法、描述法、文氏集合、元素、有限

11、集、无限集、空集、列举法、描述法、文氏图图 2用列举法表示下列集合：用列举法表示下列集合：x|x3-2x2-x+2=0数字和为数字和为5的两位数的两位数-1，1，214，23，32，41，503用描述法表示集合：用描述法表示集合：1111 1,2345*1|,5xxnNnn且复习回顾复习回顾1.3 集合之间的关系与运算观察下列两组集合，说出集合A与集合B的关系（共性）（1）A=-1，1，B=-1，0，1，2；（2）A=N，B=R；（3）A=x|x为山东人，B=x|x为中国人；（4）A=，B0 （5）A=x|x3，B=x|3x-60情景切入：情景切入：通过观察上述集合间具有如下特殊性：(1)集合

12、A的元素-1，1同时是集合B的元素.(2)集合A中所有元素，都是集合B的元素.(3)集合A中所有元素都是集合B的元素.(4)A中没有元素，而B中含有一个元素0，自然A中“元素”也是B中元素.集合集合A中的任何一个元素都是集合中的任何一个元素都是集合B的元素的元素 v1.子集子集定义：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集(subset)，记作A B或B A，读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”。集合关系的相关概念：集合关系的相关概念：v 子集概念解析：子集概念解析：（1）A是B的子集的含义是：集合A中的任意一个元素都是集合

13、B的元素，即由任意xA能推出能推出xB.（2）任何一个集合（包括空集）都是它本身的子集。（3）空集是任意集合的子集。（4）A是B的子集绝不能理解为“集合A是集合B中的部分元素”所组成的集合（若A是空集）集合的相等：集合的相等：如何用子集（包含）的概念来描述集合的相等？例例1、（1）写出N，Z，Q，R的包含关系，并用文氏图表示；（2）用正确的数学符号填空 A 直角三角形 三角形 A A 2 x|x-1x|x=2m-1,mZ x|x=2n+1,nZ思考：思考：A B与B A能否同时成立？习题巩固：习题巩固：例例2：写出1、2的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集.变式：写出集合a，b，c的所有子集

14、猜想：(1)集合a,b,c,d的所有子集的个数是多少？1624（2）集合a1,a2,a3,.an的所有子集的个数是多少？n2知知 识识 回回 顾：顾：1.集合之间的关系:子集与真子集的定义2.常用性质与结论:(1)空集是 的子集。(2)任何集合是 的子集。(3)空集是 的真子集。(4)如果A B,且B A，则 ；反之也成立。(5)若一个集合含有n个元素，则它有 个子集，有 个真子集，个非空真子集。自主练习：自主练习：1已知A=菱形，B=正方形，C=平行四边形，求A、B、C之间的关系；2设A=x|x1，B=x|xa，且A B，求的取值范围3 若集合M=x|x2+x-6=0，N=x|ax+2=0，

15、aR，且N M，求a的取值集合 4、下列四个命题：空集没有子集；空集是任何一个集合的真子集；空集中元素个数为0；任一集合必有两个或两个以上的子集。其中正确的有（）A.0个 B.1个 C.2个 D.3个5、集合A=0，1，2的子集的个数为（）A.4 B.6 C.7 D.8AD例1、已知A=xx3，B=xxa（1）若BA，求a的取值范围。（2）若A B，求a的取值范围。解解：（1）B A，如右图，如右图，3aa3a3。a3。（2）A B，如右图，如右图，重要解题方法重要解题方法（数轴分析法）（数轴分析法）例2、已知a，bA a，b，c，d，求所有满足条件的集合A。分析：本题考察的是子集与真子集的概

16、分析：本题考察的是子集与真子集的概念。首先要弄清楚念。首先要弄清楚A里面必须含有里面必须含有a和和b，然后考虑然后考虑A里面含有其他哪些元素，按规里面含有其他哪些元素，按规律去找。律去找。解：解：a，b A，A中必有元素中必有元素a，b。又又 A a，b，c，d，A中的元素有中的元素有2个或个或3个。个。因此满足条件的集合因此满足条件的集合A有：有：a，b，a，b，c，a，b，d。1设A=x|x1，B=x|xa，且A B，求的取值范围2 若集合M=x|x2+x-6=0，N=x|ax+2=0，aR，且N M，求a的取值集合3 已知A=-3，4，B=x|x -2px+q=0，B，且B A，求实数p

17、、q的值.课堂练习：课堂练习：24.已知集A=1,1+x,1+2x,B=1,y,y2,且A=B,求实数x，y的值。5.已知集合A=2,4,x2-1,B=3,x2+x-4,且B A,求实数x的值。课堂练习：课堂练习：集合与集合的关系集合与集合的关系包含包含相等相等子集子集真子集真子集 任意任意xA，都有，都有xB，则称则称A是是B的子集。的子集。定义定义 若若A B，且，且AB，则称则称A是是B的真子集。的真子集。定义定义若若A B，且且B A定义定义A BA包含于包含于B符号符号读法读法A=BA等于等于B符号符号读法读法A BA真包含于真包含于B符号符号读法读法小小 结结1.4 子集、全集、补

18、集子集、全集、补集指出下列各组的三个集合中，哪两个集合之间具有包含关系。(1)S=-2,-1,1,2,A=-1,1,B=-2,2;(2)S=R,A=x|x0,xR,B=x|x0,xR;(3)S=x|x是地球人，A=x|x是中国人，B=x|x是外国人。情境切入：情境切入：(1)S=-2,-1,1,2,A=-1,1,B=-2,2;(2)S=R,A=x|x0,xR,B=x|x0,xR;(3)S=x|x是地球人是地球人，A=x|x是中国人是中国人，B=x|x是外国人是外国人。请同学们举出类似的例子？请同学们举出类似的例子？通过观察上述集合间具有如下特殊性：(2)A,B中的所有元素共同构成了集合S，即S

19、中除去A中的元素即为B中的元素，反之亦然。(1)A S,B S.集合集合B就是集合就是集合S中除去集合中除去集合A中元素之后余下来的元中元素之后余下来的元素所组成的集合，可以用文氏图表示。素所组成的集合，可以用文氏图表示。共同特征：共同特征：SABSAB，由由S中不属于中不属于A的所有元的所有元素组成的集合称为素组成的集合称为S中中A的补集，的补集，记作记作CsA.补集的概念：补集的概念：设设A S，读作读作”A在在S中的补集中的补集”如果集合如果集合S包含我们要研究的各个集包含我们要研究的各个集合，这时合，这时S可以看作一个全集。全集通常可以看作一个全集。全集通常用字母用字母U表示。表示。全

20、集的概念：全集的概念：(1)若若A U,则则CUA U(2)对于对于不同不同的全集，同一集合的全集，同一集合A的补集的补集 不相同不相同。(3)CUU=，CU=U。注意：注意：例例1(1)若S2，3，4，A4，3，则CSA_.(2)若S三角形，B直角三角形，则CSB_.(3)若S1，2，4，8，A，则CSA_.(4)若U1，3，a22a1，A1，3，CUA5，则a_数数 学学 运运 用用2斜三角形斜三角形1，2，4，8(5)已知已知A0，2，4，CUA1，1，CUB1，0，2，求，求B_数数 学学 运运 用：用：(6)设全集设全集U2，3，m22m3，Am1，2，CUA5，求求m.1,4m=-

21、4,或或 m=2.(7)设全集设全集U1，2，3，4，Axx25xm0，xU，求求CUA、m.8、不等式组、不等式组 的解集为的解集为A，U=R，试求：试求：A和和CUA，并把它们分别表示在数轴上。，并把它们分别表示在数轴上。21 036 0 xx 1.5 交集、并集 由由S中不属于中不属于A的所有元的所有元素组成的集合称为素组成的集合称为S中中A的补集，的补集，记作记作CsA.补集：补集：设设A S，AxSxxACS且,由两个给定集合得到一个新集合由两个给定集合得到一个新集合的过程称为：集合的运算的过程称为：集合的运算ACsAS用Venn图分别表示下列各组中的三个集合 A=-1,1,2,3,

22、B=-2,-1,1,C=-1,1 A=x|x3,B=x|x0,C=x|0 x3 A=x|x为高一(1)班语文测验优秀者，B=x|x为高一(1)班英语测验优秀者，C=x|x为高一(1)班语文、英语测验都优秀者。仔细观察每组集合，A,B,C之间都具有怎样的关系？情景切入：情景切入：1交集定义：交集定义：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集。记作：AB（读作“A交B”）（intersection set）符号语言为：AB=x xA,且xB 图示为：图示为：ABAB几种交集的情况：几种交集的情况：ABABA（B）ABB A2并集的定义：并集的定义：一般地，由所有属于

23、集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集记作：AB（读作A并B）(union set)符号语言为：AB=x|xA，或xB图示语言为：图示语言为：ABAB填空填空(1)已知已知A=-1,0,1,B=0,1,2,3,AB=_AB=_感感 悟悟 概概 念：念：AB-401234-1-2-365-5x(3)设A=(x,y)|y=-4x+6,B=(x,y)|y=5x-3,AB=_感感 悟悟 概概 念：念：感感 悟悟 概概 念：念：（1）（）（AB）A，（AB）B (AB)A，（AB）B （AB）AB（2）AA A，AA A（3）A ,A A（4）AB BA ，AB BA 交集、并集的运算性

24、质交集、并集的运算性质AB=AAB=AA B（而非A A B B）集合运算关系重要性质集合运算关系重要性质基基 础础 训训 练：练：、设A=x|x为小于的偶数,B=，则AB=_,AB=_。2、设A=x|x，B=x|x，则AB=_,AB=_。3、设A=x|x=2k-1,kZ，B=x|x=2k,kZ，则AB=_,AB=_。4、设A=x|x是锐角三角形，B=x|x是钝角三角形，则 AB=_,AB=_。1.若-2,2x2+2x,1 0,x2,11,4，则x的值 。2.已知xR，集合A=-3,x,x2，B=x3，2x1,2x1，如果AB=-3，求AB。3.已知集合Ax|a-1xa，B=x|0 xa,若A

25、B=,求实数a的取值范围练练 习：习：（2）已知集合A=x|x6或x-3，B=x|axa+3，若AB=A，求实数a的取值范围。（3）已知集合A=x|x2+4x=0,xR，B=x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,x R，若AB=A，求实数a的值。1、设全集、设全集 U=1，2，3，4，5，6，7，8，A=3，4，5，B=4，7，8 求：（求：（CU A）(CU B),(CU A)(CU B),CU(AB),CU(AB)专专 题题 训训 练练（韦恩图）：（韦恩图）：从上面的练习我们可以得到从上面的练习我们可以得到 什么启示？什么启示？UUU例例1、全集、全集U=x|x10，xN，AU，U,(C

26、 B)A=1,9，AB=3，A)(C B)=4,6,7，求，求A、B。B(C牛牛 刀刀 小小 试：试：区区 间间 的的 概概 念：念：设设a,b R,且且a0时，方程ax2+bx+c=0的根与函数 y=ax2+bx+c的图象之间的关系ax2+bx+c=0（a0）y=ax2+bx+c(a0)=b2-4ac0=00+bx+c0或或axax2 2+bx+cO(+bx+c0,f:x ，是否为函数？21x函数的概念：函数的概念：设设A、B是两个非空集合，如果按某种对是两个非空集合，如果按某种对应关系应关系f，对于，对于A中的中的每每一个一个元素，在元素，在B中中都有都有惟一惟一的元素和它对应，那么，这样

27、的元素和它对应，那么，这样的单值对应叫做集合的单值对应叫做集合A到集合到集合B的映射的映射(mapping),记作记作:f:A B问题：怎样判断一个对应是不是映射？问题：怎样判断一个对应是不是映射？映射映射9 4 1 332 2 1 1 开平方开平方A B300450600900 求正弦求正弦A B212232111 22 331 4 9 求平方求平方 A B123 乘以乘以2A B 123 456例例2、下列对应是不是下列对应是不是A到到B的映射？的映射？2）A=N+，B=0,1,f:x x 除以除以2得的余数得的余数 1）A=1,2,3,4,B=3,4,5,6,7,8,9 f:x 2x+1

28、3）A=R+，B=R，f:x x的平方根的平方根4）A=x|0 x1，B=y|y1 f:x x的倒数的倒数5)f:x x的面积的面积 ,A=x x是三角形B=y y 0.你能举一些映射的例子吗？你能举一些映射的例子吗？谈谈映射与函数有什么区别与联系？谈谈映射与函数有什么区别与联系？例例3:设设“f：A B”是从是从A到到B的一个映的一个映射，其中射，其中A=B=(x,y)x,yR ，f：(x,y)(x+y,xy).（）求（）求A中元素（，中元素（，2）在）在B中中的对应元素的对应元素（）求（）求B中元素（，中元素（，2）与）与A中中哪个元素对应？哪个元素对应？课堂练习课堂练习1.给出下列关于从

29、集合给出下列关于从集合A到集合到集合B的映射的映射的论述，其中正确的有的论述，其中正确的有A中任何一个元素在中任何一个元素在B中的对应元素是惟一的中的对应元素是惟一的B中的某个元素可能与中中的某个元素可能与中A几个不同元素对应几个不同元素对应集合集合A与与B一定是数集一定是数集符号符号f:A B与与f:B A的含义是一样的的含义是一样的2.设设A=B=a,b,c,d,e,x,y,z (元素为元素为26个个英文字母英文字母),作映射作映射f:A B为为B=a,b,c,d,x,y,zA=a,b,c,d,x,y,z并称并称A中字母拼成的文字为明文中字母拼成的文字为明文,相应的相应的B中对应中对应字母

30、拼成的文字为密文字母拼成的文字为密文(1)”mathematics”的密文是什么的密文是什么?(2)试破译密文试破译密文”ju jt gvooz”nbuifnbujdtIt is funny3.3.已知已知(x x,y y)在映射在映射f f 作用下的对应元素是作用下的对应元素是 (x x-y y,x x+y y),),求哪个点在求哪个点在f f 的作用下对应于的作用下对应于(3,5).(3,5).(4(4，1)1)4.试写出从集合试写出从集合A=a,b到集合到集合B=c,d的所有不同映射的所有不同映射.abcdabcdabcdabcd共计共计4个个思考题：映射与一一映射有何区别？思考题：映射

31、与一一映射有何区别？答：主要有两点区别：(1)映射要求A中的元素在B中有唯一的象，而一一映射不仅要求A中的元素在B中有唯一的象，还要求A中不同的元素在B中有不同的象；(2)映射不需要B中的元素都有原象，而一一映射则要求B中的每一个元素都必须有原象。：设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的一个元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做：设A，B是两个集合，是集合A到集合B的映射，如果在这个映射下，对于A中的不同元素，在集合B中有不同的象，而且B中每一个元素都有原象那么这个映射叫做BAf:设设A，B是两个是两个 非

32、空非空 的数集，如果按某种的数集，如果按某种对应法则对应法则f，使对于集合，使对于集合A中的中的 每一个元素每一个元素x，在集合在集合B中都有中都有 惟一惟一 的元素的元素y和它对应，这和它对应，这样的对应样的对应f：AB叫做从叫做从A到到B的一个函数的一个函数（function），通常记为），通常记为y=f(x)，xA 其中，所有的输入值其中，所有的输入值x组成的集合组成的集合A叫做函叫做函数数y=f(x)的定义域（的定义域（domain）。）。函数的概念：函数的本质函数的本质：函数是特殊的对应：函数是特殊的对应 非空非空每一个每一个惟一惟一知知 识识 回回 顾顾函数的三要素是什么函数的三要

33、素是什么?定义域、值域、对应法则 1 1、给定函数时要指明函数的定义域。、给定函数时要指明函数的定义域。2 2、对于用解析式表示的函数，如果没有指、对于用解析式表示的函数，如果没有指明定义域，那么就认为函数的定义域是指使函明定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的输入值的集合。数表达式有意义的输入值的集合。巩固练习,)21(,)(2fxxxf求)()1(),0(nfnff)()(xgxf与xx)(xf)(xg_)2(_,)1(gfff_)4(_)3(ggfg1.若2.已知函数分别由下表给出,1234123423412143那么:3.已知的值求)21(),0(1)(,21)(22f

34、xxxxgfxxg.3234例例1 1 求下列函数的定义域：求下列函数的定义域：651)(2xxxf（1）2143)(2xxxxf（2）xxxxf0)1()(（3）373132)(xxxf（4）?数 学 应 用解：要使函数有意义，必须:0)3)(2(0652xxxx定义域为：32|xxRx且651)(2xxxf（1）32xx且解：要使函数有意义，必须：0210432xxx1314xxxx且或4133xxx或或定义域为：,41,3)3,(2143)(2xxxxf（2）解：要使函数有意义，必须：001xxx01xx 定义域为：011|xxx或xxxxf0)1()(（3）073032xx解：要使函数

35、有意义，必须：3715xxx或 定义域为：),51,3737,373132xxy（4）例2 已知矩形场地的周长为已知矩形场地的周长为8,8,设该矩形的一设该矩形的一边长为边长为x,x,求矩形场地的面积求矩形场地的面积S S关于边长关于边长x x的函的函数关系式数关系式.并求其定义域。并求其定义域。解：解：由题意：另一边长为：由题意：另一边长为：.4228xxxxxxS4)4(2)4,0(函数定义域为函数定义域为：由由边长为正边长为正知：知：xx400归纳：求用函数的定义域时常有以下几种情况归纳：求用函数的定义域时常有以下几种情况:若若f(x)是是整式整式则函数的定义域是则函数的定义域是:若若f

36、(x)是是分式分式，则函数的定义域是，则函数的定义域是:若若f(x)是是偶次偶次根式，则函数的定义域是根式，则函数的定义域是:若若f(x)由由几个部分的数学式子几个部分的数学式子构成的构成的,定义域是定义域是:若若f(x)是由是由实际问题实际问题抽象出来的函数抽象出来的函数,则定义域则定义域:实数集实数集R使使分母不等于分母不等于0的实数集；的实数集；使根号使根号 内的式子内的式子大于或等于大于或等于0的实数集合的实数集合；使使各部分式子都有意义各部分式子都有意义的实数集合的实数集合；应符合应符合实际问题实际问题.例3 若函数若函数 12axaxy求实数求实数a a的取值范围。的取值范围。的定

37、义域是的定义域是R R，解解:定义域是定义域是R,R,恒成立，012axax时时,显然适合题意显然适合题意.0a当当 4001402aaaa当当 0a时时综上知综上知:实数实数a a 的取值范围为：的取值范围为：40 a)41()41()(xfxfxg例例4 4 若函数若函数)(xfy 的定义域为的定义域为00，11，求函数求函数 的定义域。的定义域。解：要使函数有意义，必须：解：要使函数有意义，必须：14101410 xx45414341xx4341x函数函数)41()41()(xfxfxg的定义域为：的定义域为：4341xx求函数求函数 例5 若函数若函数)(xfy 的定义域为的定义域为0

38、，1，0,)()()(aaxfaxfxg的定义域。的定义域。解：要使函数有意义，必须：解：要使函数有意义，必须：1010axaxaxaaxa11axax1|21a时定义域为时定义域为：当当 当当 210 a时定义域为时定义域为：当当 21a时定义域为时定义域为：2121,1,0|xRxx且33|xx14)()2(2xxf练习练习：xxf11111)()1()2|(|xf（3 3）设）设)(xf的定义域是的定义域是1,2求函数求函数的定义域的定义域。3,00,3011110110 xxx解解:由由知知:142x解解:由由知知:12|2x3|0 x解解:由由知知:本节课学习了本节课学习了求函数定义

39、域的基本方法求函数定义域的基本方法。小结小结:分清五类情况：分清五类情况：把握一种思想：把握一种思想：注意两个要求：注意两个要求：分类讨论。分类讨论。远算的准确性、格式的规范性。远算的准确性、格式的规范性。2.1.2 2.1.2 函数的表示法函数的表示法 设设A，B是两个是两个 非空非空 的数集，如果按某种的数集，如果按某种对应法则对应法则f，使对于集合，使对于集合A中的中的 每一个元素每一个元素x，在集合在集合B中都有中都有 惟一惟一 的元素的元素y和它对应，这和它对应，这样的对应样的对应f：AB叫做从叫做从A到到B的一个函数的一个函数（function），通常记为），通常记为y=f(x)，

40、xA 其中，所有的输入值其中，所有的输入值x组成的集合组成的集合A叫做函叫做函数数y=f(x)的定义域（的定义域（domain）。）。函数的概念：非空非空每一个每一个惟一惟一知识回顾 1 1、给定函数时要指明函数的定义域。、给定函数时要指明函数的定义域。3 3、若、若A A是函数是函数y=f(x)y=f(x)的定义域，则对于的定义域，则对于A A中中的每一个元素的每一个元素x x，都有一个输出值，都有一个输出值y y与之对应，与之对应，我们将所有输出值我们将所有输出值y y组成的集合称为函数的值组成的集合称为函数的值域域 （rangerange）。）。函数的三要素：函数的三要素：对应法则、定义

41、域和值域对应法则、定义域和值域 2 2、对于用解析式表示的函数，如果没有指、对于用解析式表示的函数，如果没有指明定义域，那么就认为函数的定义域是指使函明定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的输入值的集合。数表达式有意义的输入值的集合。回顾函数第一节课中的三个引例回顾函数第一节课中的三个引例 两函数的三要素相同或者两函数的定两函数的三要素相同或者两函数的定义域和对应法则相同义域和对应法则相同.如何判断两个函数是同一个函数呢？如何判断两个函数是同一个函数呢？问题问题1 水从静止开始滴落到水面需水从静止开始滴落到水面需3s，在水滴下落的过程中，在水滴下落的过程中，下落的距离下落的距离

42、y(m)与下落时间与下落时间x(s)之间近似地满足关系之间近似地满足关系式式 。294 xy.若水滴下落若水滴下落1s，你能求出它下落的距离吗？，你能求出它下落的距离吗？2s呢？呢？2、我家、我家2006年年1-12月的电费（双月缴）月的电费（双月缴）月份月份x2 24 46 68 810101212电费电费 y(元元)989894941141141981981181189494 你能根据这个表得出我家在去年的双月你能根据这个表得出我家在去年的双月份各缴了多少电费吗？份各缴了多少电费吗？X/hy/3、如图所示为某市一天、如图所示为某市一天24小时内的气温变化图小时内的气温变化图 凌晨凌晨4时气

43、温是多少？上午时气温是多少？上午8时气温是多少？时气温是多少？下午下午14时气温是多少？时气温是多少？晚上晚上24时气温是多少？时气温是多少？1.1.解析法解析法:把两个变量的函数关系把两个变量的函数关系,用用一个一个等式等式来表示来表示.函数三种表示方法的定义函数三种表示方法的定义:2.列表法列表法：用列用列表格表格来表示两个变来表示两个变量的函数关系量的函数关系.3.图象法图象法：用函数用函数图象图象表示两个变量表示两个变量之间的关系之间的关系.例例.我国人口出生率变化曲线：我国人口出生率变化曲线：例例1 1.某种笔记本每个某种笔记本每个5元，买元，买 （）个笔）个笔记本记为记本记为 （元

44、）（元）.试用三种方法表示这个函数关系。试用三种方法表示这个函数关系。x4,3,2,1xy 解解:函数解析式为函数解析式为:y=5x x 1 2 3 4 y 5 10 15 20 它的图像由它的图像由4个孤立点组成，个孤立点组成，如右图所示，这些点的坐标分如右图所示，这些点的坐标分别是别是:(1,5),(2,10),(3,15),(4,20)(x1,2,3,4)优点优点 缺点缺点 列表法列表法 三种表示法的比较：三种表示法的比较：不精确不精确图像法图像法解析法解析法函数关系清楚函数关系清楚;容易从自变量的值求出其容易从自变量的值求出其 对应的函数值；对应的函数值；便于研究函数的性质。便于研究函

45、数的性质。不够形不够形象直观象直观 不必通过计算就知道当自变不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值量取某些值时函数的对应值只适用于自只适用于自变量数目较少变量数目较少的函数的函数 能形象直观的表示出函数能形象直观的表示出函数的变化情况的变化情况例例2.国内投寄信函国内投寄信函(外埠外埠),邮资按下列规则计算邮资按下列规则计算:1.信函质量不超过信函质量不超过100g时时,每每20g付邮资付邮资80分分,即信函质即信函质量不超过量不超过20g付邮资付邮资80分分,信函质量超过信函质量超过20g,但不超过但不超过40g付邮资付邮资160分分,依次类推；依次类推；2.2.信函质量大于信函质

46、量大于100g且不超过且不超过200g时时,每每100g付邮资付邮资200分分,即信函质量超过即信函质量超过100g,但不超过但不超过200g付邮资付邮资(A(A+200)分分(A(A为质量等于为质量等于 100 的信函的邮资的信函的邮资),),信函质量信函质量超过超过200g,但不超过但不超过300g付邮资付邮资(A(A+400)分分,依次类推依次类推.设一封设一封xg(0 x200)的信函应付的邮资为的信函应付的邮资为y(单位单位:分分),试试写出以写出以x为自变量的函数为自变量的函数y的解析式的解析式,并画出这个函数的图并画出这个函数的图象象.它的图象是它的图象是6条线段条线段(不不包括

47、左端点包括左端点),都平行于都平行于x轴轴,如图所示。如图所示。解解:这个函数的定义域为这个函数的定义域为0 x200,函数解析式为函数解析式为:.200,100(,600,100,80(,400,80,60(,320,60,40(,240,40,20(,160,20,0(,80 xxxxxxy注意：注意：表示函数的式子可以不止一个表示函数的式子可以不止一个,对对于分几个式子表示的函数于分几个式子表示的函数,不是几个不是几个函数函数,而是一个而是一个分段函数分段函数;分段函数的定义域是每段函数的并分段函数的定义域是每段函数的并集集;函数的图象不一定是一条或几条无函数的图象不一定是一条或几条无限

48、长的平滑曲线限长的平滑曲线,也可以是一些孤立也可以是一些孤立的点、一些线段、一段曲线等。的点、一些线段、一段曲线等。例例3.21世纪乐园要建造一个世纪乐园要建造一个直径为直径为20米米的圆形的圆形喷水池喷水池,如图所示如图所示.计划在喷水池的周边靠近水面的计划在喷水池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头位置安装一圈喷水头,使喷出的水柱在使喷出的水柱在离池中心离池中心4m处达到最高处达到最高,高度为高度为6m,另外还要在喷水池的中心设另外还要在喷水池的中心设计一个装饰物计一个装饰物,使各方向喷来的水柱在此处会合使各方向喷来的水柱在此处会合.这这个装饰物的高度应当如何设计？个装饰物的高度应当如何设计

49、？yx解：解：过水池的中心任意选取一过水池的中心任意选取一个截面，如图所示。由物理学个截面，如图所示。由物理学知识可知，喷出的水柱轨迹是知识可知，喷出的水柱轨迹是抛物线型。建立如图所示的直抛物线型。建立如图所示的直角坐标系，由已知条件易知，角坐标系，由已知条件易知，水柱上任意一个点距中心的水水柱上任意一个点距中心的水平距离平距离x(m)与此点的高度与此点的高度y(m)之间的函数关系是之间的函数关系是:).100(6)4(),010(6)4(2221xxaxxay).100(6)4(),010(6)4(2221xxaxxay).100(6)4(61),010(6)4(6122xxxxy;61,0

50、,101ayx得由.61,0,102ayx得由于是，所求解析式是于是，所求解析式是:.310m所以装饰物的高度为310y,0 x时当解决此类应用题：关键关键步骤步骤设、列、解、答。设、列、解、答。实际问题实际问题数学问题数学问题分析、抽象分析、抽象灵活运用数形结合思想灵活运用数形结合思想课堂练习 1.请举出几个生活中的函数实例，并请举出几个生活中的函数实例，并用合适的方法表示它们用合适的方法表示它们.2.画出下列函数的图象画出下列函数的图象:(1)f(x)=2x,xZ，且|x|2；(2)y=1,1,x0，+)x(,0)函数的三种表示法函数的三种表示法分段函数意义分段函数意义函数知识的应用函数知

51、识的应用2.13 2.13 函数的单调性函数的单调性观察下列函数的图象，指出图象变化的趋势观察下列函数的图象，指出图象变化的趋势xyOxyOxyO22)(xxf32)(2xxxfxxf1)(RxRx),0(x 如图为我市如图为我市20062006年元旦年元旦2424小时内的气温变小时内的气温变化图观察这张气温变化图：化图观察这张气温变化图：问题问题1 1 怎样描述气温随时间增大的变化情况？怎样描述气温随时间增大的变化情况？问题问题3 3 在区间在区间4 4，1616上，气温是否随时间增大而增大？上，气温是否随时间增大而增大？问题问题2 2 怎样用数学语言来刻画上述时段内怎样用数学语言来刻画上述

52、时段内“随着时间的增大随着时间的增大气温逐渐升高气温逐渐升高”这一特征这一特征？t1t2f(t1)f(t2)你能明确说出你能明确说出“图象呈逐渐上升趋势图象呈逐渐上升趋势”的意思吗？的意思吗？在某一区间内，当x的值增大时，函数值y也增大 图象在该区间内呈上升趋势 当x的值增大时，函数值y反而减小 图象在该区间内呈下降趋势 如何用数学语言来准确地表述函数的如何用数学语言来准确地表述函数的 单调性呢？单调性呢？怎样表述在区间（0，+）上当x的值增大时，函数y的值也增大？反思：能不能说，由于x1时，y3；x2时，y5就说随着x的增大，函数值y也随着增大?x123453，5，7，9n个正数x1x2x3

53、xn1 23 n如果对于区间如果对于区间(o，+)上上任意任意两个值两个值x1和和 x2，当，当x1 x2时，时，都有都有y1 y2，那么可以说随着，那么可以说随着x 的增大，函数值的增大，函数值y 也增大也增大一般地，设函数一般地，设函数y f(x)的定义域为的定义域为A，区间，区间I A 如果对于区间如果对于区间I内的任意两个值内的任意两个值x1、x2，当，当x1x2时，都时，都有有f(x1)f(x2)，那么就说，那么就说yf(x)在区间在区间I上是单调增函数，上是单调增函数，I称为称为yf(x)的单调增区间的单调增区间 如果对于区间如果对于区间I I内的任意两个值内的任意两个值x1、x2

54、，当当x1x2时时，都都有有f(x1)f(x2)，那么就说那么就说yf(x)在区间在区间I上是单调减函数上是单调减函数，I称为称为yf(x)的单调减区间的单调减区间1 1、单调增函数与单调减函数、单调增函数与单调减函数区间区间I任意任意当当x1x2时，都时，都有有f(x1)f(x2)2 2、单调性、单调区间、单调性、单调区间 若函数若函数yf(x)在区间在区间I上是单调增函数或单调减上是单调增函数或单调减函数函数，那么就说函数那么就说函数yf(x)在区间在区间I上具有单调上具有单调性性单调增区间和单调减区间统称为单调区间单调增区间和单调减区间统称为单调区间 单调增区间：单调增区间：单调减区间：

55、单调减区间：4，140，4，14，24你能找出气温图中的单调区间吗你能找出气温图中的单调区间吗?回顾回顾我们初中学过的函数我们初中学过的函数xyOxyOxyO22)(xxf32)(2xxxfxxf1)(问题问题 讨论函数讨论函数 的单调性的单调性1)(xxxf思考思考xyO113、用定义法证明函数单调性的步骤：、用定义法证明函数单调性的步骤：取值；取值；作差变形；作差变形；定号；定号；判断判断22)(xxf证明：函数证明：函数 在在R R上是单调减函数上是单调减函数证：设证：设 是是R R上的任意两个值，且上的任意两个值，且 ，21,xx21xx 21xx,021 xx0)(221xx,0)(

56、)(21xfxf).()(21xfxf 即即 22)(xxf在在R R上是单调减函数上是单调减函数取值取值作差变形作差变形定号定号判断判断)22()22()()(2121xxxfxf)(221xx 则则证明：函数证明：函数 在区间在区间1 1，）上是单调增函数上是单调增函数证：设证：设 是区间是区间 1 1，）上任意两个值，）上任意两个值，且且 ，21,xx21xx 32)(2xxxf 在区间在区间 1 1，）上是）上是单调增函数单调增函数32)(2xxxf211xx,021 xx0221 xx,0)()(21xfxf).()(21xfxf 即即 取值取值作差变形作差变形定号定号判断判断)32

57、()32()()(22212121xxxxxfxf)2)(2121xxxx)(2)(212121xxxxxx则则证：设证：设 是区间（是区间（，0 0）上任意两个值，）上任意两个值，且且 ，21,xx21xx 021 xx,012 xx021xx,0)()(21xfxf).()(21xfxf 即即 证明：函数证明：函数 在区间（在区间（，0）上是单调上是单调减函数减函数xxf1)(在区间（在区间（，0 0）上是单调减函数）上是单调减函数xxf1)(取值取值作差变形作差变形定号定号判断判断212111)()(xxxfxf2112xxxx 则则习题训练习题训练1 1、判断下列函数的单调性、判断下列

58、函数的单调性32)()1(2xxxf132)()2(xxxf|12|2|)()3(xxxf|32|)()4(2xxxf32)(2xxxfxyO1;1）上是单调增函数，在（.,1）上是单调减函数在（32)(2xxxf32)(2xxxf2)1(2x,如图如图），）和（，在（11132)(xxxf.上都是单调减函数112132)()2(xxxxf，如图，如图112)(xxfxyO-12|12|2|)()3(xxxf2,13221,321,31xxxxxxxyO2321|12|2|)(xxxf）上为单调减函数，在（21）上为单调增函数。，在21-1xyO31|32|)()4(2xxxf31,3231,

59、3222xxxxxxx或在函数|32|)(2xxxf,)3,1()1,(上是单调减函数和上是单调增函数。和),3()1,1(2 2、若函数、若函数 在在 上是增函数，在上是增函数，在 上是减函数，则上是减函数，则实数实数m的值为的值为 ;2,)(,2 mmxxxf54)(2 变：若函数变：若函数 在在 上是增函数，则实数上是增函数，则实数m的范围为的范围为 ;mmxxxf54)(2 2,)变：若函数变：若函数 的单调的单调递增区间为递增区间为 ,则实数则实数m的值为的值为 .mmxxxf54)(2 2,)-16m-16-163、若定义在、若定义在R上的单调减函数上的单调减函数 满满足足 ，你知

60、道，你知道 的取的取值范围吗？值范围吗？)3()1(afafa)(xf变变:若定义在若定义在R上的函数上的函数 对任意的正数对任意的正数 都有都有 ,求满足求满足 的的 的取值范围。的取值范围。)()(xfdxfa)(xf)12()1(afafd变变:若定义域改为若定义域改为(-1,1)呢？呢？小结 1、函数的单调性的定义函数的单调性的定义 2、判断、证明函数的单调性方法判断、证明函数的单调性方法 3、函数的单调性的应用函数的单调性的应用思考：思考：若若 为定义在数集为定义在数集A上的增函数上的增函数,且且 ,试判断下列函数的单调性试判断下列函数的单调性:)(xf0)(xf)(23)1(xfy

61、)(11)2(xfy2)()3(xfy)()4(xfy 函数的单调性（三）函数的单调性（三）观察上图观察上图 说出何时温度最高说出何时温度最高,何时温度最低？何时温度最低？观察下列函数图象并指出对于任意观察下列函数图象并指出对于任意xRxR，与与 的大小关系。的大小关系。)(xf)1(fxyO1)1()(2 xxf1xyO14)1()(2xxf任意任意xRxR，都有，都有任意任意xRxR，都有，都有)1()(fxf)1()(fxf函数最大值函数最大值一般地一般地,设设 的定义域为的定义域为A.)(xfy如果存在如果存在x0A,使得对于任意的使得对于任意的xA,都有都有 那么称那么称 为为 的最

62、大值的最大值,记为记为)()(0 xfxf)(xfy)(0 xf)(0maxxfy函数最小值函数最小值一般地一般地,设设 的定义域为的定义域为A.如果存在如果存在x0A,使得对于任意的使得对于任意的xA,都有都有 那么称那么称 为为 的最小值的最小值,记为记为)(xfy)()(0 xfxf)(0 xf)(xfy)(0minxfy讨讨 论论 设函数设函数 的定义域为的定义域为a,b,)(xfyminy(1)若若 是增函数是增函数,则则 ,.)(xfymaxy(2)若若 是减函数是减函数,则则 ,.)(xfymaxyminy)(bf)(af)(bf)(af讨讨 论：论：判断下列说法是否正确判断下列

63、说法是否正确(1)单调函数一定有最大值和最小值单调函数一定有最大值和最小值.(2)在定义域内不具有单调性的函数一在定义域内不具有单调性的函数一定没有最大值和最小值定没有最大值和最小值.例例1.如图为函数如图为函数 的图象的图象,指出它的最大值、最小值及单调区间指出它的最大值、最小值及单调区间.7,4),(xxfy求函数的单调区间时，如果函数既有单调增区间，又有单调减区间，必须分别写出 例例2.求下列函数的最小值求下列函数的最小值.xxy2)1(2 3,1,1)2(xxy变题变题1:你能求上述函数的最大值及值域吗你能求上述函数的最大值及值域吗?变题变题2:求下列函数的值域求下列函数的值域.)4,

64、0,2)1(2xxxy012,1)2(xxxy且 变题变题3:求求 的最小值的最小值.)4,0,2)(2xaxxxf 例例3.已知函数已知函数 的定义域是的定义域是a,b,acb.当当xa,c时时,是单调增函数是单调增函数;当当xc,b时时,是单调减函数是单调减函数.试证明试证明 在在x=c时取得最大值时取得最大值.)(xfy)(xf)(xf)(xf练习练习 1.求求f(x)=x2+2x在在 0,10 上的最大值和最上的最大值和最小值小值.2.函数函数 在区间在区间(-2,-1上有最大值吗上有最大值吗?有有最小值吗最小值吗?3.已知已知y=x2+ax+3，x1,1，求求y的最大值的最大值.xy

65、1小结：小结：1.函数最大值与最小值的概念函数最大值与最小值的概念;2.求函数最大值与最小值要充分发求函数最大值与最小值要充分发挥函数单调性和图象的作用挥函数单调性和图象的作用;2.12.1函数图像及简单性质总结函数图像及简单性质总结 设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，使对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有惟一的元素y和它对应，这样的对应 f：A B 叫 做 从 A 到 B 的 一 个 函 数（function），通常记为y=f(x)，xA 其中，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y=f(x)的定义域（domain）。函数的概念：非空非空每一个每一个惟一惟一知识回顾 1 1

66、、给定函数时要指明函数的定义域。、给定函数时要指明函数的定义域。3 3、若、若A A是函数是函数y=f(x)y=f(x)的定义域，则对于的定义域，则对于A A中中的每一个元素的每一个元素x x，都有一个输出值，都有一个输出值y y与之对应，与之对应，我们将所有输出值我们将所有输出值y y组成的集合称为函数的值组成的集合称为函数的值域域 （rangerange）。）。函数的三要素：函数的三要素：对应法则、定义域和值域对应法则、定义域和值域 2 2、对于用解析式表示的函数，如果没有指、对于用解析式表示的函数，如果没有指明定义域，那么就认为函数的定义域是指使函明定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的输入值的集合。数表达式有意义的输入值的集合。X/hy/如图所示为某市一天如图所示为某市一天24小时内的气温变化图小时内的气温变化图 小强小强2007年年1-12月的电费（双月缴）月的电费（双月缴）月份月份x2 24 46 68 810101212电费电费 y(元元)9898949411411419819811811894940 2 4 6 8 10 1220018016012080