新人教B版新教材学高中数学必修第一册第二章等式与不等式不等式及其性质教案

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1、考点数（式）大小比较不等式的性质学习目标会运用作差法比较两个数或式的大小掌握不等式的性质，会用不等式的性质证明不等 式或解决范围问题核心素养逻辑推理逻辑推理问题导学预习教材 P8P6的内容，思考以下问题：如何比较两个实数的大小？不等式的性质有哪些？不等式的性质有哪些推论？比较实数 a，b 的大小（）文字叙述如果 ab 是正数，那么 ab；如果 ab 等于零，那么 ab；如果 ab 是负数，那么 a0ab；ab0ab；ab0ab，那么 acbc.性质：如果 ab，c0，那么 acbc.性质：如果 ab，c0，那么 acb，bc，那么 ac.（传递性）性质：ab ba.推论：如果 abc，则 ac

2、b.（不等式的移项法则）推论：如果 ab，cd，那么 acbd.（同向可加性）推论：如果 ab0，cd0，那么 acbd.推论：如果 ab0，那么 anbn（nN，n）推论：如果 ab0，那么错误 !错误!.名师点拨（）推论表明，不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到 另一边（）推论表明，两个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向（）推论表明，n 个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同 向判断正误（正确的打“”，错误的打“”）（）实数 a 不大于，用不等式表示为 a（ ）（）不等式 x的含义是指 x不小于（ ）（）若

3、 abd，则 ab，cd.（ ）答案：（） （） （） （）设 a，b，cR，且 ab，则（ ）acbcab答案：D错误 !b已知 ab，cd，且 c，d 均不为 0，那么下列不等式一定成立的是（ ）adbcBacbdacbdDacbd解析：选令 a，b，c，d6，可排除 A，B，由不等式的推论知，D 一 定成立若 x，Mxx，Nx，则 M 与 N 的大小关系为_解析：MNxxxxx（x）（x），又因为 x，所以 x0，x0，所以 M N.答案：M N数（式）大小的比较（）比较x与xx的大小；（）已知 a，试比较 M错误!错误 !和 N错误!错误 !的大小【解】 （）x（xx）（xx）（x）x

4、（x）（x）（x）（x）当 x时，有 x0，而x0所以（x）（x）0，所以xxx当 x时，（x）（x）0，所以xxx（）因为 a，所以 M错误 !错误!0，N错误!错误 !0所以错误 !错误!错误!.因为错误 !错误!错误!错误!0，所以错误 !，所以 MxyBxyxyxy0，所以 xyxy，故选已知 xy0，试比较 xy与 xyxy的大小解：由题意，知（ x y）（ xy xy） xxy xyy x（xy） y（xy）（xy）（xy）（xy）（xy）（xy），因为 xy0，所以 xy0，xy0，xy0，所以（xy）（xyxy）0，即 xyxyxy. 比较xyz与xyxz的大小解：因为xyz（

5、 xyxz）xxxxyyzz（x）（xy）（z）0，所以xyzxyxz，当且仅当xy错误!且 z时取等号不等式的性质（）对于实数 a，b，c，有下列说法： 若 ab，则 acbc，则 ab；若 ababb；其中正确的是_（填序号）（）若 cab0，求证：错误!错误!.【解】 （）中，c的正、负或是否为 0 未知，因而判断 ac与 bc 的大小缺乏依据，故不正确中，由 acbc，知 c0，故 c0，所以 ab 成立，故正确中，错误 ! aab，错误! abb，所以 aabb，故正确故填.（）证明：因为 ab0 ab caa，所以 ca0所以 0ca错误!0又因为 ab0，所以错误!错误 !.错误

6、 !利用不等式的性质证明不等式的方法（）简单不等式的证明可直接由已知条件，利用不等式的性质，通过对不等式变形得证（）对于不等号两边式子都比较复杂的情况，直接利用不等式的性质不易得证，可考虑将不等式的两边作差，然后进行变形，根据条件确定每一个因式（式子）的符号，利用符号法则判断最终的符号，完 成证明ab ab；ab ab；ab 错误!b 错误!b0 时，ab才成立，故都错误；对于，只有当 a0 且 ab 时，错误!0，bb0，求证：错误!错误 !.证明：因为 ab0 ，所以 错误! 错误! 0 又因为 ab0 ，两边同乘正数 错误! ，得 错误! 错误 !0两式相乘，得错误 !错误!.利用不等式

7、性质求代数式的取值范围已知x，y（）求 xy的取值范围；（）求xy 的取值范围【解】 （）因为x，y，所以y，所以xy（）由x，y，得x，y6，所以xy8若将本例条件改为xy，求 xy 的取值范围解：因为x，y，所以y，所以xy又因为 xy，所以 xy0，所以xy0，故 xy的取值范围为（，0）若将本例条件改为xy，xy，求xy 解：设xym（xy）n（xy），则错误 !所以错误!即xy错误!（xy）错误!（xy），又因为xy，xy，所以错误 !错误!（xy）0，错误!（xy）错误!， 所以错误 !错误!（xy）错误 !（xy）错误!，即错误 !xy错误 !，的取值范围所以xy错误 !的取值范

8、围为错误 !.利用不等式的性质求取值范围的策略（）建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待 求的范围（）同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多 次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围注意 求解这种不等式问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围若，则下列各式中恒成立的是（ ）00D解析：选由，得，所以又因为 ，故0已知a60，b6，求 ab 与错误!的取值范围 解：因为b6，所以6b，所以6ab60，即ab 因为错误 !错误!错误 !，所以错误 !错误!错误 !，所以错误!错误!所

9、以 ab 和错误!的取值范围分别是（，），错误 !.已知 ba，dbdacbdBacbdDadbc解析：选由于 ba，dc，则由不等式的性质得 bdac，故选已知 a （0，），a （0，），记 Ma a ，Na a ，则 M 与 N 的大小关系 是（ ）MNDMN解析：选因为 a （0，），a （0，），所以a 0，a 0，所以 MN，故选已知 a，b 为实数，且 ab，a0，则 a_b错误!.（填“”“”或“”） 解析：因为 ab，a0，所以 a错误!错误 !0，所以 ab错误!.答案：已知 a，bR，xab，yaba，试比较 x 与 y 的大小解：因为 xyababaa（ab）ab（ab

10、）（a），所以当ab 时，xy0，所以 xy；当 ab 时，xy0，所以 xy；当 ab 时，xy0，所以 xb，cd，则 acbd若错误 !错误!，则 ac，则|a|b|a|c若 ab，cd，则 acbd解析：选A 项：a，b，c，d 的符号不确定，故无法判断；B 项：不知道 ab 的符号，无法确定 a， b 的大小；C 项：|a|0，所以|a|b|a|c 成立；D 项：同向不等式不能相减设 a，bR，则“（ab）a0”是“ab”的（ ）充分不必要条件充要条件B必要不充分条件D既不充分也不必要条件解析：选（ab）a0，则必有 ab0，即 ab；而 ab 时，不能推出（ab）a0，如a0，b，

11、所以“（ab）a0”是“ab”的充分不必要条件若 yxx，y xx，则 y 与 y 的大小关系是（ ）y y y y D随 x 值变化而变化解析：选y y （x x）（xx）xx（x）0，所以 y y .故选已知 ab0，则下列不等式一定成立的是（ ）a错误!b错误 !错误 !错误!a错误!b错误!b错误!a错误!解析：选因为 ab0，所以错误 !错误!0，所以 a错误 !b错误 !，故选 设 abc，且 abc0，则下列不等式恒成立的是（ ）abbcacbcabaca|b|c|b|解析：选因为 abc，且 abc0，所以 a0，cc，a0 知，abac.故选6给出四个条件：b0a，0ab，a

12、0b，ab0，能推得错误!错误 !成立的是_ 解析：错误 !错误! 错误!0，所以能使它成立答案：7若 a a ，b b ，则 a b a b 与 a b a b 的大小关系是_ 解析：（a b a b ）（a b a b ） （a b a b ）（a b a b ） a （b b ）a （b b ） （a a ）（b b ）， 因为 a a ，b b ， 所以 a a 0，b b 0， 所以 a b a b a b a b . 答案：a b a b a b a b 8已知三个不等式ab0；错误 !错误!；bcad.若以其中的两个作为条件，余下的一个作为 结论，则可以组成_个正确命题解析： ，

13、 .（证明略）由得错误 !0，又由得 bcad0所以 ab0 .所以可以组成个正确命题答案：9已知 a，bR ，ab0，试比较 ab与 abab 的大小解：因为 ab0，（ab）0，所以 abababaabbaba（ab）b（ba）（ab）（ab）（ab）（ab）（ab）（ab）（ab）0，所以 ababab.0已知a，b，试求下列代数式的取值范围（）|a|；（）ab；（）ab；（）ab.解：（）|a|0，（）ab（）依题意得a，b，相加得ab（）由a，得a6，由b，得6b，由得，0abB 能力提升（09河南省实验中学月考）若错误!错误 !0，则下列结论中不正确的是（ ）ababbab|ab|

14、解析：选因为错误 !错误!0，所以 baa，abb，ab0，所以 A，B，C均正确，因为 ba0，所以|a|b|ab|，故 D 错误，故选若 、 满足错误!错误!，则 的取值范围是（ ）0错误 !错误 !B0解析：选由错误 !错误!，得0，又错误!错误 !，所以错误! （）错误!，即错误 !错误 !.已知 0ab 且 ab，试比较：（）ab与 b 的大小；（）ab 与错误!的大小解：（）因为 0ab 且 ab，所以 0a错误!b，则 abbab（b）aaba（ab）0，所以 abb.（）因为ab错误!a（a）错误!aa错误 !错误 !错误 !错误!0，所以ab错误 !.若 bcad0，bd0，求证：错误!错误 !.证明：错误 ! 错误!错误 ! 错误!错误! 错误 !错误! 错误!错误 !.C 拓展探究已知错误 !a0，Aa，Ba，C错误 !，D错误!，试判断 A、B、C、D 的大小关系解：因为错误 !aABD.则只需说明 BD0，AB0，CA0 即可因为 BDa错误 !错误!错误!，又错误 !a0，a错误!错误!，所以错误 !错误!错误 !，故错误!错误 !错误!0，所以 BD.因为 ABaaa0，所以 AB. 因为 CA错误!（a）错误!错误 !，又a0，a0，错误!错误!错误!0， 所以错误 !0，所以 CA.综上可知，A、B、C、D 的大小关系是 CABD.