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1、高二数学春季第九讲 乘法原理与排列1问题：问题1从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？分析：这个问题就是从甲、乙、丙3名同学中每次选取2名同学，按照参加上午的活动在前，参加下午活动在后的顺序排列，一共有多少种不同的排法的问题，共有6种不同的排法：甲乙 甲丙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙，其中被取的对象叫做元素问题2从这四个字母中，每次取出3个按顺序排成一列，共有多少种不同的排法？分析：解决这个问题分三个步骤：第一步先确定左边的字母，在4个字母中任取1个，有4种方法；第二步确定中间的字母，从余下的3个字母中取，有
2、3种方法；第三步确定右边的字母，从余下的2个字母中取，有2种方法由分步计数原理共有：432=24种不同的方法，用树型图排出，并写出所有的排列由此可写出所有的排法2排列的概念：从个不同元素中，任取（）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列说明：（1）排列的定义包括两个方面：取出元素，按一定的顺序排列； （2）两个排列相同的条件：元素完全相同，元素的排列顺序也相同3排列数的定义：从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从个不同元素中，任取个元素按照一
3、定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号只表示排列数，而不表示具体的排列4排列数公式及其推导：由的意义：假定有排好顺序的2个空位，从个元素中任取2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列，反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数由分步计数原理完成上述填空共有种填法，=由此，求可以按依次填3个空位来考虑，=，求以按依次填个空位来考虑，排列数公式：（）说明：（1）公式特征：第一个因数是，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是，共有个因数；（2）全排列：当时即个不同元素
4、全部取出的一个排列全排列数：（叫做n的阶乘） 5 阶乘的概念：个不同元素全部取出的一个排列，叫做个不同元素的一个全排列，这时；把正整数1到的连乘积，叫做的阶乘表示： ， 即规定6 排列数的另一个计算公式： 即 = 典型例题：题型一、乘法原理的应用：乘法原理运用的范围是：这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成；每个步骤各有若干种不同的方法来完成这样的问题就可以使用乘法原理解决问题例1、书架上有6本不同的外语书，4本不同的语文书，从中任取外语、语文书各一本，有多少种不同的取法？ 例2、王英、赵明、李刚三人约好每人报名参加学校运动会的跳远、跳高、100米跑、200米跑四项中的一项比赛，问：报名的
5、结果会出现多少种不同的情形？ 二、排列问题的思考模式：1、特殊元素优先考虑：例3、由数字0、1、2、3组成三位数，可组成多少个没有重复数字的三位数？变式训练：用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？2、特殊位置优先考虑：例3、解法二变式训练：从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上，则共有多少种不同的排法？3、扣除法：例3、解法三例4、由数字0、1、2、3组成三位数，可组成多少个不相等的三位数？ 变式训练：（1）从0，1，2，3，4中取出不同的3个数字组成一个三位数，所有这些三位数的个位数字的和是多少？（2）从0，1，
6、2，3，4，5，6，7，8，9中取出不同的5个数字组成一个5位偶数.（1）有多少个这样的数？（2）所有这些5位数的个位数字的和是多少三、排列相关问题的解题方法：1、相邻元素捆绑策略：要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.例5、 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.2、不相邻问题插空策略: 元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端.例6.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少
7、种？3、定序问题倍缩空位插入策略: 定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插空模型处理。例7、7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法4、重排问题求幂策略: 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为种例8、把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法例9、 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法_5、环排问题线排策略：一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有。例10、 8人围桌而坐
8、,共有多少种坐法?6、多排问题直排策略：一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.例11、8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法7、小集团问题先整体后局部策略：小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。例12.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？例13、 5男生和女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有_种变式训练；（1）7个人排成一排,按下列要求有多少种排法?(1)其中甲不站排头,乙不站排尾;(2)其中甲、乙、丙3人必须相邻;(3)其中甲、乙、丙3人两两不相
9、邻;(4)其中甲、乙中间有且只有1人;(5)其中甲、乙、丙按从左到右的顺序排列.四、排列相关的综合问题例14下列排列数中，等于（n5）（n6）（n12）（n13，nN*）的是（）ABCD变式训练：（1） 一条铁路原有m个车站，为适应客运需要，新增加n（n1，nN*）个车站，因而增加了58种车票（起迄站相同的车票视为相同的车票），问原来这条铁路有几个车站?现在又有几个车站?例15n（n1）（n2）4等于（）APn4Bn!4!CPnn4DPnn3变式训练：（1）若，则 ， （2）若则用排列数符号表示 例161!+22!+33!+20082008!=（）A2009!1B2010!1C2011!1D2
10、012!1变式训练：（1）计算：； （2）解方程：3 （3）解不等式：例174名同学分别报名参加学校的足球队，篮球队，乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是（）A34B43C24D12变式训练：（1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？（2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ 例18用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1，2，9的9个小正方形（如图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（）A108种B60种C48种D
11、36种例19如图所示的阴影部分由方格之上3个小方格组成，我们称这样的图案为L形（每次旋转900仍为L形的图案），那么在45个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L形图案的个数是（）A16B32C48D64例20只用1，2，3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有（）A6个B9个C18个D36个例21从1，0，1，2这四个数中选三个不同的数作为函数f（x）=ax2+bx+c的系数，可组成不同的二次函数共有18个，其中不同的偶函数共有个（用数字作答）例22某城市由n条东西方向的街道和m条南北方向的街道组成一个矩形街道网，要从A处走到B处，使所走的
12、路程最短，有多少种不同的走法？例23从0、2中选一个数字从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数其中奇数的个数为（）A24B18C12D6例24有7个座位连成一排，4人就坐，要求恰有两个空位相邻且甲乙两人不坐在相邻座位，则不同的坐法有种（用数字作答）例25将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第i个数为ai（i=1，2，6），若a11，a33，a55，a1a3a5，则不同的排列方法种数为（）A18B30C36D48例26有甲、乙、丙在内的6个人排成一排照相，其中甲和乙必须相邻，丙不排在两头，则这样的排法共有种例27用1，2，3，4，5，6六个数字组成没有重复数字的六位数，要求任何相邻两个数字的奇偶不同，这样的六位数共有个（用数字作答）变式训练：某小组6个人排队照相留念(1)若分成两排照相，前排2人，后排4人，有多少种不同的排法？(2)若分成两排照相，前排2人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种排法？(3)若排成一排照相，甲、乙两人必须在一起，有多少种不同的排法？(4)若排成一排照相，其中甲必在乙的右边，有多少种不同的排法？(5)若排成一排照相，其中有3名男生3名女生，且男生不能相邻有多少种排法？(6)若排成一排照相，且甲不站排头乙不站排尾，有多少种不同的排法？
高二数学 乘法原理与排列精讲
