八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球及内切球教师版

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1、八个有趣模型搞定空间几何体的外接球与切球一、有关定义 1球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，简称球. 2外接球的定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的接多面体， 这个球是这个多面体的外接球.3切球的定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体， 这个球是这个多面体的切球.二、外接球的有关知识与方法1性质：性质 1：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等；性质 2：经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆；性质 3：过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面

2、（类比：圆的垂径定理）；性质 4：球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心；性质 5：在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中 两相交弦的中垂线交点是圆心）.2结论：结论 1：长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心；结论 2：若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球相同结论 3：长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之，就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆；结论 4：圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一

3、段中点处；结论 5：圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径；结论 6：直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球；结论 7：圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上；结论 8：圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径；结论 9：侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球.3终极利器：勾股定理、正定理及余弦定理（解三角形求线段长度）；三、切球的有关知识与方法1若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直.（与直线切圆的结论有一致性）.2切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.（类比：与多边形的

4、 切圆）.3正多面体的切球和外接球的球心重合.4正棱锥的切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合.5基本方法：（1）构造三角形利用相似比和勾股定理；（2）体积分割是求切球半径的通用做法（等体积法）.四、与台体相关的，此略.五、八大模型第一讲 柱体背景的模型类型一、墙角模型（三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径）图1-1图1-2图1-3图1-4C（3）题-1（引理）C（3）题-2（解答图）方法：找二条两两垂直的线段，直接用公式（2 R ）2 = a2 + b2 + c2，即2 R = ： a2 + b2 + c2，求岀R例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4 ，体积为16

5、 ，则这个球的表面积是（ C ）A. 16nB. 20kc. 24兀D. 32兀解：V = a2h = 16 , a 二 2 , 4R2 = a2 + a2 + h2 = 4 + 4 +16 = 24 , S 二 24k，选 C；（2）若二棱锥的二个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是9k解：4 R 2 = 3 + 3 + 3 = 9， S = 4kR 2 = 9k ；（3）在正二棱锥S - ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM丄MN，若侧棱SA = 23，则正二棱锥S-ABC外接球的表面积是.36k解：引理：正二棱锥的对棱互相垂直.证明如下：如图（3）-1，取AB,

6、BC的中点D, E，连接AE, CD，AE, CD交于H，连接SH , 则H是底面正二角形ABC的中心，SH 丄平面 ABC，. SH 丄 AB，AC = BC，AD = BD，. CD 丄 AB，. AB 丄平面 SCD，.AB丄SC，同理：BC丄SA，AC丄SB,即正二棱锥的对棱互垂直, 本题图如图（3 ） -2， AM 丄MN，SB/MN，.AM 丄 SB，AC 丄 SB，. SB 丄平面 SAC，.SB 丄 SA，SB 丄 SC，SB 丄 SA，BC 丄 SA，. SA 丄 平面 SBC ， . SA 丄 SC ，故二棱锥S- ABC的二棱条侧棱两两互相垂直，.（2R）2 = （2打）

7、2 + （2打）2 + （2*3）2 = 36，即 4R2 = 36，.正二棱锥S - ABC外接球的表面积是36k .（4）在四面体S - ABC中，SA丄平面ABC, ZBAC二120。, SA二AC二2, AB二1,则该四面体的外接球的表面积为（ D ）A.1hi B7 C.10 兀 D.40兀3解：在 AABC 中，BC 2 = AC 2 + AB 2 - 2 AB - BC - cos 120 = 7 , BC =、刁,AABC 的外接球直径为BCsin ZBAC(2R)2 二(2r)2 + SA2 二+ 4 二 40 , S =3405）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别

8、为6、4、3，那么它的外接球的表面积是解：由已知得三条侧棱两两垂直，设三条侧棱长分别为a，b，c （ a, b, c g R+ ），则ab = 12 bc = 8 , abc = 24 , a = 3 , b = 4 , c = 2 , (2R)2 二 a2 + b2 + c2 二 29 , S = 4兀R2 = 29兀，ac = 66 ）已知某几何体的三视图如图所示,三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形,则该几何体外接球的体积为解： (2R)2 = a2 + b2 + c2 = 3 ,R6）题直观图类型二、对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中,已知三组对棱分别

9、相等,求外接球半径（ AB = CD ,AD = BC ,AC =BD）第一步：画出一个长方体,标出三组互为异面直线的对棱；第二步：设岀长方体的长宽高分别为a, b, c , AD = BC = x,AB = CD = y ， AC = BD = z ，列方程组，a 2 + b 2 = x 2 b 2 + c 2 = y 2 nc 2 + a 2 = z 2(2R)2 = a2 +b2 + c2 =图2-1补充：图 2-1 中，abc x 4 =1 abc .A-BCD63第三步：根据墙角模型，2R ra 2+b2+c 2二产R2x2 + y2 + z 2求岀R.思考：如何求棱长为a的正四面体

10、体积，如何求其外接球体积?例2(1)如下图所示三棱锥A - BCD ,其中AB二CD二5, AC二BD = 6, AD二BC = 7,则该三棱锥外接球的表面积为.解：对棱相等，补形为长方体，如图2-1,设长宽高分别为a b, c , 2( a 2 + b 2 + c 2)二25 + 36 + 49二110, a2 + b2 + c2 = 55 , 4R2 = 55 , S 二 55兀(1)题图(2)在三棱锥 A - BCD 中，AB = CD = 2 , AD = BC = 3 , AC = BD = 4，则三棱锥 A - BCD 外接29球的表面积为.兰“2解：如图2-1，设补形为长方体，三

11、个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为a,b,c,则a2 + b2 = 9,b2 + c2 = 4 , c2 + a2 = 16 :. 2(a2 + b2 + c2) = 9 + 4 +16 = 29 , 2(a2 + b2 + c2) = 9 + 4 +16 = 29 ,292929a 2 + b 2 + c 2 =, 4 R 2 =, S = n222(3) 正四面体的各条棱长都为远，则该正面体外接球的体积为3)解答题解：正四面体对棱相等的模式，放人正方体中，2R =占，R弓,V =討乎=n4)棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如下图，则图中三 角形(正

12、四面体的截面)的面积是.（4）题解答图解：如解答图，将正四面体放人正方体中，截面为APCO,面积是J2.类型三、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）题设：如图 3-1，图 3-2，图 3-3,直三棱柱接于球（同时直棱柱也接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意 三角形）第一步：确定球心O的位置，O是AABC的外心，则OO丄平面ABC ；第二步：算岀小圆O的半径AO = r， OO = AA =h （ AA = h也是圆柱的高）；1 1 1 2 1 2 1第三步：勾股定理：OA 2 = O A 2 + OO 2 n R 2 = (2)2 + r 2 n R =72 + (2)2，解岀 R例 3（1

13、）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，9且该六棱柱的体积为9，底面周长为3，则这个球的体积为8解：设正六边形边长为a，正六棱柱的高为h，底面外接圆的半径为r，则a =1，2正六棱柱的底面积为s=6 手-（2）2=子，卩柱=sh=h=8，“=，4 r 2=12+E=4也可r 2=（）2+1=1），r=1，球的体积为岭求吉;（2）直三棱柱ABC - A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB = AC = AA】=2 , ABAC = 120。，则此球 的表面积等于.解：BC 23 , 2r = 4 , r = 2 , R = p5 , S = 20

14、k ；sinl20(3)已知AEAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA EB 3, AD 2,ZAEB 60。，则多面体 E- ABCD 的外接球的表面积为. l6k解：折叠型，法一：AEAB 的外接圆半径为 r , OO 1, R 1 + 3 2 ；3)题3法一：O M -1 2R 2 3 +13 4 , R 2 , S 16k ；44表法三：补形为直三棱柱,可改变直三棱柱的放置方式为立式,算法可同上,略.换一种方式,通过算圆柱的 轴截面的对角线长来求球的直径：(2R)2 (2J3)2 + 2 16 , S 16k ；表k(4)在直三棱柱ABC - ABC中，AB 4, AC

15、6, A AA 4，则直三棱柱ABC - ABC的外接 球的表面积为.160 k3解：法一：BC 16 + 36-2-4-6-2 -28R2 r 2 +（竺）2 空 + 4 - 40 , S233 表160k3法一：求圆柱的轴截面的对角线长得球直径，此略.第一讲 锥体背景的模型类型四、切瓜模型(两个大小圆面互相垂直且交于小圆直径正弦定理求大圆直径是通法)POAC图4-1ACB图4-2OCB图4-3ACB图4-41.如图4-1，平面PAC丄平面ABC，且AB丄BC (即 AC为小圆的直径)，且P的射影是AABC的外 心O三棱锥P - ABC的三条侧棱相等O三棱P - ABC的底面AABC在圆锥的

16、底上，顶点P点也是圆锥的顶点.解题步骤： 第一步：确定球心O的位置，取AABC的外心 O ,| P,O,O 三点共线;第一步：先算岀小圆01的半径AO1 r，再算岀棱锥的高PO1 h (也是圆锥的高);第三步：勾股定理：OA 2 二 OA 2 + OO 2 n R 2 二(h R )2 + r 2，解岀 R ；事实上，AACP的外接圆就是大圆，直接用正弦定理也可求解岀R .2.如图4-2,平面PAC丄平面ABC，且AB丄BC (即 AC为小圆的直径)，且PA丄AC，则 利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：(2R)2二PA2 + (2r)2 0 2R =、PA2 + (2r)2 ；R2 = r2

17、+ OO2 0 R = Jr2 + OO 21、13.如图4-3，平面PAC丄平面ABC，且AB丄BC (即 AC为小圆的直径)OC2 = O C2 + O O2 o R2 = r2 + O O2 o AC = 2R2 O O211114题设：如图4-4,平面PAC丄平面ABC，且AB丄BC (即 AC为小圆的直径)第一步：易知球心O必是APAC的外心，即APAC的外接圆是大圆，先求岀小圆的直径AC = 2r ； 第二步：在APAC中，可根据正弦定理丄=丄=丄=2R，求岀R.sin A sin B sin C例4 (1)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为2、.：3，则该

18、球的表面积为.解：法一：由正弦定理(用大圆求外接球直径)；法二：找球心联合勾股定理，2R = 7， S = 4兀R 2 = 49兀；(2) 正四棱锥S ABCD的底面边长和各侧棱长都为，各顶点都在同一球面上，则此球体积为4兀解：方法一：找球心的位置，易知r = 1，h = 1，h = r，故球心在正方形的中心ABCD处，R = 1，V = 一3 方法二：大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是ASAC的外接圆，此处特殊，RtASAC的斜边是球半径，4兀2 R = 2，R = 1，V =.3(3) 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正 三棱锥的体积是(

19、 )A.屋B.込dD.43412解：高h = R = 1，底面外接圆的半径为R = 1，直径为2 R = 2，设底面边长为a，则2 R = 2， a =、；3， S = a2 =，三棱锥的体积为V = Sh =-；sin 60。4434(4) 在三棱锥P ABC中，PA = PB = PC =J3，侧棱PA与底面ABC所成的角为60。，则该三棱锥外接球的体积为( )A.兀B.C. 4兀D.-33.3解：选D,由线面角的知识，得AABC的顶点A, B, C在以r =为半径的圆上，在圆锥中求解，R = 1 ；2(5) 已知三棱锥S ABC的所有顶点都在球O的求面上,AABC是边长为1的正三角形,S

20、C为球O的直径,且SC = 2，则此棱锥的体积为( )A解：OO = t R2 r2i2詬T岭求类型五、垂面模型(一条直线垂直于一个平面)1题设：如图5, PA丄平面ABC，求外接球半径.图5解题步骤：第一步：将AABC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD，连接PD，则PD必过 球心O ；第二步：01为AABC的外心，所以OO1丄平面ABC，算岀小圆01的半径O” r (三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得 一-2r )， OO PA ；sin A sin B sin C12第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：(2R)2 PA 2 + (2r )2 o 2 R 、P

21、A2 + (2r )2 ； R2 r2 + OO2 o R 、:r2 + OO 21 12题设：如图5-1至5-8这七个图形，P的射影是AABC的外心o三棱锥P ABC的 三条侧棱相等o三棱锥P ABC的底面AABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的 顶点.第一步：则p, o, oi三点共线;确定球心O的位置，取AABC的外心o第二步：先算岀小圆01的半径AO1 = r，再算岀棱锥的高PO1 = h （也是圆锥的高）;第三步：方法二：勾股定理：OA 2 = O A 2 + OO 2 n R 2 = （h R ）2 + r 2，解岀 R11 小圆直径参与构造大圆，用正弦定理求大圆直径得球的直径.例

22、 5 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）CA. 3兀B. 2兀C.空D.以上都不对解：选 C，法一：（勾股定理）利用球心的位置求球半径，球心在圆锥的高线上，2 16(73 R)2 +1 = R2, R = 3 , S = 4兀R2 =兀；法二：（大圆法求外接球直径）如图，球心在圆锥的高线上，故圆锥的轴截面三角形 PMN 的外接圆是大24圆，于是2 R=sn莎r下略；第三讲 二面角背景的模型类型六、折叠模型题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠（如图6）AHCB图6第一步：先画岀如图6所示的图形，将ABCD画在小圆上，找岀ABCD和AABD的外心H和H ；

23、12第二步：过H和H分别作平面BCD和平面ABD的垂线，两垂线的交点即为球心O ,连接OE,OC ；12第三步：解AOEH ,算岀OH ,在RtAOCH、中，勾股定理：OH 2 + CH 2二OC 2注：易知O, H E,H 2 四点共面且 四点共圆，证略.例6(1)三棱锥P - ABC中，平面PAC丄平面ABC， PAC和MBC均为边长为2的正三角形，则解：三棱锥P - ABC外接球的半径为.如图，2r = 2r122sin 60。r = r1213R 2=O2H 2+ri2=3+3=3，R=；法二:号诂，OiH =占，AH =1)题(2)题-1(2)题-2(3)题R 2=AO 2=AH 2

24、+OiH 2+OiO 2=3,(2)在直角梯形ABCD中，AB / CD，ZA = 90。，ZC = 45。，AB = AD = 1，沿对角线BD折成四面 体A-BCD，使平面ABD丄平面BCD，若四面体A-BCD的顶点在同一个球面上，则该项球的 表面积为4解：如图，易知球心在BC的中点处，作=4；(3) 在四面体S - ABC中，AB丄BC , AB = BC = 2，二面角S - AC - B的余弦值为斗，则四 面体S - ABC的外接球表面积为6“解：如图，法一：cosZSOB = cos(ZOOO + 上)=-3 ,ii 22336sin ZOOO =, cos ZOO O =,12

25、3， 12 3 5C CI r2OO =i2= , R2 = 1 + = , S = 4兀R2 = 6兀；1 cos ZOOO22 212法二：延长BO到D使DO = BO = r ,由余弦定理得SB = J6 , SD = J2 ,大圆直径为2R二SB = J6 ；(4) 在边长为2J3的菱形ABCD中，ZBAD = 60。，沿对角线BD折成二面角A - BD - C为120。的四 面体 ABCD ，则此四面体的外接球表面积为 28“(4)题图解：如图，取BD的中点M , AABD和ACBD的外接圆半径为r = r = 2 , AABD和ACBD的外心O , O1 2 1 2到弦BD的距离(

26、弦心距)为d =d = 1 ,12法一：四边形OOMO的外接圆直径OM = 2 , R =白,S = 28n ；1 2法二：OO】= 3 , R = ： 7 ；法三：作岀 ACBD 的外接圆直径 CE，则 AM = CM = 3 , CE = 4 , ME = 1, AE = J7 , AC = 3 芒,cos ZAEC =7 +16 - 272 、：订 4sin ZAEC = 32=272R=ACsin ZAEC2.7(5)在四棱锥 ABCD 中，ZBDA = 120。，ZBDC = 150。, AD 二 BD = 2 , CD 二 j3，二面角 A BD C的平面角的大小为120。，则此四

27、面体的外接球的体积为解：如图，过两小圆圆心作相应小圆所在平面的垂线确定球心，抽象化C(5)题解答图-1O(5)题解答图-2AB = 23， r = 2，弦心距 O M =百3， BC = J13，22=4H，om = O1O2 = 2 訂，2sin120。=J13，弦心距 OM = 2 J3 ,OO1法一：.R2 = OD2 = MD2 + OM 2 = 29，R =、29，气=宇;法二：OO 2 = OM 2 OM 2 = 25,. R 2 = OD 2 = r 2 + OO 2 = 29，R =何，.V = 11629 兀2222球类型七、两直角三角形拼接在一起(斜边相同,也可看作矩形沿对

28、角线折起所得三棱锥)模型沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B AC D, )125仃兀64125125兀= ，选C题设：如图7, ZAPB = ZACB = 90。，求三棱锥P ABC外接球半径(分析：取公共的斜边的中点O，连接OP,OC，则OA = OB = OC = OP =1 AB，. O为三棱锥P ABC外接球球心，然后在OCP中2求出半径)，当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都 为定值.例 7(1)在矩形 ABCD 中，AB = 4， BC = 3 ,则四面体ABCD的外接球的体积为(C125125A.兀B.兀12954解：(1) 2R

29、= AC = 5， R = ， V =兀R3 =兀-2 3386(2)在矩形ABCD中，AB = 2，BC = 3，沿BD将矩形ABCD折叠，连接AC，所得三棱锥A BCD的外接球的表面积为解：BD的中点是球心o , 2R = BD = yl3 , s = 4兀R2 = 13兀.第四讲 多面体的切球问题模型类型八、锥体的切球问题1题设：如图8-1,三棱锥P - ABC上正三棱锥，求其切球的半径. 第一步：先现出切球的截面图， E,H 分别是两个三角形的外心； 第二步：求DH = 1 BD , PO = PH - r , PD是侧面AABP的高； 第三步：由APOE相似于APDH，建立等式：竺=

30、P0，解岀rDH PD2题设：如图8-2,四棱锥P - ABC是正四棱锥，求其切球的半径第一步：先现出切球的截面图， P,O,H 三点共线；第二步：求FH =丄BC，PO二PH - r，PF是侧面APCD的高;2第三步：由APOG相似于APFH，建立等式:OG _ PO解出BF3题设：三棱锥P - ABC是任意三棱锥，求其的切球半径 方法：等体积法，即切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等 第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设切球的半径为r，建立等式：V _ V + V + V + V nP- ABCO-ABCO-PABO-PACO-PBCV _1S - r +1S

31、- r +1S - r +1S - r _ !(S + S + S + S ) - rP- ABC 3 AABC3 PAB3 PAC3 PBC3 AABCAPABPACAPBC3V第三步：解岀r _Vp ABCS + s + s + sOABCOPABOPACOPBC例8 (1)棱长为a的正四面体的切球表面积是W ,6解：设正四面体切球的半径为r，将正四面体放人棱长为的正方体中(即补形为正方体)，如图，则11 a 3a 3P ABC 3 正方体又 V _ 4 丄 Sr _ 4 丄旦 A2 r _ 3 a2r ,P ABC 33 43上並r二 ,r =. , 切球的表面积为S = 4兀r2 =（

32、注：还有别的方法，此略）36：22*6表6（2）正四棱锥S - ABCD的底面边长为2，侧棱长为3，则其切球的半径为解：如图，正四棱锥S - ABCD的高h二、訂，正四棱锥S - ABCD的体积为VSABCD4訂3侧面斜高h = 2辽，正四棱锥S - ABCD的表面积为S = 4 + 8色，1表正四棱锥S - ABCD的体积为V = 1S r = 4 + 8、迈 r,S - ABCD 3 表3訂(2迈-1)7(2)题（3）三棱锥P - ABC中，底面AABC是边长为2的正三角形,PA丄底面ABC，PA _ 2，则该三棱锥的切球半径为_巴J3 + J 7 + 4 解：如图，S _芒，S _ S

33、_ 2，S _訂，AABCAABPAACPABCPS _；3 + 4 +、訂，表三棱锥P - ABC的体积为V_仝3，P- ABC3P(3)题另一表达体积的方式是 VP-ABCrv-3 +、订 + 42*32訂 r _ . r 3 3 运+、订+ 4习题：1若三棱锥S - ABC的三条侧棱两两垂直，且SA _ 2，SB _ SC _ 4，则该三棱锥的外接球半径为（） A. 3 B. 6 C. 36 D. 9解：【A】（2R）2 _ ：4 +16 +16 _ 6， R _ 3 【三棱锥有一侧棱垂直于底面，且底面是直角三角形】【共两种】 _2.三棱锥S - ABC中，侧棱SA丄平面ABC,底面AB

34、C是边长为3的正三角形，SA _ 2/3，则该三32兀棱锥的外接球体积等于.3竺3AQ 0仃解：2r = 2 , (2R)2 = 4 +12 = 16 , R2 = 4 , R = 2，外接球体积一兀8 =sin 60。33侧棱长为2 ，则该三棱锥的外接球体积等【外心法(加中垂线)找球心; 正弦定理求球小圆半径】3.正三棱锥S - ABC中，底面ABC是边长为的正三角形，于.解：AABC外接圆的半径为，三棱锥S - ABC的直径为2 R =2427-7 =卞，外接球半径R二飞, sin 60 v3-v3CA/IQQO iroLT或R 2 = (R -a +1，R =飞，外接球体积V二-KR3二

35、厅冗. 二务，333 33274三棱锥P - ABC中，平面PAC丄平面ABC，PAC边长为2的正三角形，AB丄BC，则三棱锥P- ABC外接球的半径为.242解：APAC的外接圆是大圆，2 R =2=二，R亠，sm 60。 J3yJ3PA二PC二3，AB丄BC，则三棱锥5.三棱锥P-ABC中，平面PAC丄平面ABC，AC = 2,P-ABC外接球的半径为.PA2 + PC2 - AC29 + 9 - 47解：cosZP =-2 PA - PC2 - 3 - 3 92 R丄=2二症，R二痘4j2 2J248si-2 ZP = 1 - (7)2 =空，si- ZP =辽981996.三棱锥P - ABC中，平面PAC丄平面ABC，AC二2，PA丄PC，AB丄BC，则三棱锥P - ABC 外接球的半径为.解：AC是公共的斜边，AC的中点是球心O,球半径为R = 1