椭球面上测量计算ppt课件

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1、12 21地球椭球的定义及其几何意义；2常用丈量坐标系统的建立及其在控制丈量中的运用；3各种丈量坐标系统之间的相互转换；4椭球面上几种曲率、弧长、大地线的计算；5地面丈量值程度方向和边长归算到椭球面的方法。知识点及学习要求知识点及学习要求难点在对本章的学习中，有大量的公式推导与运用。各种常用丈量坐标系统的建立与相互转换；几种常用的椭球计算公式；地面观测值归算到椭球面的方法与计算。3 3椭圆的长半轴：椭圆的长半轴：a a椭圆的短半轴：椭圆的短半轴：b b椭圆的扁率：椭圆的扁率：五个根本几何参数五个根本几何参数 aba椭圆的第一偏心率：abae22椭圆的第二偏心率：椭圆的第二偏心率：bbae22

2、a、b称为长度元素称为长度元素扁率反映了椭球体的扁率反映了椭球体的扁平程度扁平程度 e和和e反映椭球体的扁平程反映椭球体的扁平程度，偏心率越大，椭球愈度，偏心率越大，椭球愈扁扁 4 42222,tan,cosactBeBb 22221sin,1cosWeB VeB 式中，式中，W W 第一根本纬度函数，第一根本纬度函数，V V 第二根本纬度函数。第二根本纬度函数。5 5 我国所采用的的我国所采用的的1954年北京坐标系运用的是克拉索夫斯年北京坐标系运用的是克拉索夫斯基椭球参数；以后采用的基椭球参数；以后采用的1980国家大地坐标系运用的是国家大地坐标系运用的是1975国际椭球参数；而国际椭球参

3、数；而GPS运用的是运用的是WGS-84系椭球参数。系椭球参数。6 6abae22bbae22 eaba2222eabb22221222eba2221aeb ()()11122eeeee2221eee22217 7abebae1122 caeace1122 eeeeee1122221 1eVWeWV8 8大地坐标系、大地坐标系、空间直角坐标系空间直角坐标系大地丈量中两种根本坐标系大地丈量中两种根本坐标系子午平面直角坐标系子午平面直角坐标系大地极坐标系大地极坐标系 9 9 P点的子午面NPS与起始子午面NGS所构成的二面角叫做P点大地经度，P点的法线Pn与赤道面的夹角B叫P点的大地纬度，P点的位

4、置用L、B表示。P)()(大地水准面差距高程异常正正常NHHHH假设假设P点不在椭球面上，还点不在椭球面上，还要一个参数：大地高要一个参数：大地高H来表来表示点位。它与正常高及正高示点位。它与正常高及正高的关系为：的关系为：1010以椭球中心以椭球中心O为原点，起为原点，起始子午面与赤道面交线始子午面与赤道面交线为为X轴，在赤道面上与轴，在赤道面上与X轴正交的方向为轴正交的方向为Y轴，椭轴，椭球体的旋转轴为球体的旋转轴为Z轴，构轴，构成右手坐标系成右手坐标系O-XYZ，在该坐标系中，在该坐标系中，P点的位点的位置用置用X、Y、Z表示表示 1111设设P点的大地经度为点的大地经度为L，在过在过P

5、点的子午面上，点的子午面上，以子午圈椭圆中心为以子午圈椭圆中心为原点，建立原点，建立x，y平面平面直角坐标系。在该坐直角坐标系。在该坐标系中，标系中，P点的位置点的位置用用L，x，y表示表示 1212 M为椭圆面子上恣意一为椭圆面子上恣意一点，点，MN为过为过M点的子午线，点的子午线，S为连结为连结MP的大地线长，的大地线长，A为大地线在为大地线在M点的大地方位点的大地方位角。以角。以M为极点、为极点、MN为极为极轴、轴、S为极径、为极径、A为极角，就为极角，就构成了大地极坐标系。构成了大地极坐标系。P点点位置用位置用S、A表示。表示。椭球面上的极坐标椭球面上的极坐标S、A与大地坐标与大地坐标

6、L、B可以相互可以相互换算，这种换算叫大地主题解算。换算，这种换算叫大地主题解算。1313xaBeBaBWcossincos1222222(1)sinsin(1)sin1sinaeBabByeBWVeB 过p 点作法线Pn，它与x 轴之夹角为B，过点作子午圈的切线TP，它与x 轴的夹角为90+B-该角的正切值为曲线在P点处切线的斜率.1414设设Pn=N，那么有：，那么有：yP sinB2(1)PNe2nNecosxNBcosaBxWaNW2(1)sinayeBW2(1)sinyNeB一个有用的结论推导：一个有用的结论推导：1515cos,sin,XxL YxL Zy1616X XY Y2co

7、scoscossin(1)sinXNBLYNBLZNeBcosxNB2(1)sinyNeBcos,sin,XxL YxL Zy当当P P点位于椭球面上时：点位于椭球面上时：1717BHeNLBHNLBHNZYXsin)1(sincos)(coscos)(2La rc tgYXZBNeYXctgBYXBNeZtgBcossin222222或NBYXHeNBZHcos)1(sin222当当P P点不在椭球面上时：点不在椭球面上时：1818酉圈。酉圈。1919MaeW()123221sinWeBMaeceaeMcMaec022329021111()()()2acb2020dBdSM BdxBDEdS

8、sinsinMdxdBB 1sin2cossinWdBdWBBWadBdxdWdBdeBdBeBBeBeBBW122 1222222sinsincossinsincosdxdBaBWeBWaBWWeB sincossin(cos)12233222cosaBxWdxdBaBWeBeB sin(sincos)322221WeB2221sindxdBaBWe sin()321221sinWeBMaeW()123MdxdBB 1sin21212、卯酉圈曲率半径、卯酉圈曲率半径 NaW221sinWeBaN 02222rNBcos平行圈半径平行圈半径r就等于就等于P点的横坐标点的横坐标x子午子午面直角坐

9、标系，即：面直角坐标系，即：xraBWcosNaW23233 3、恣意法截弧的曲率半径、恣意法截弧的曲率半径22221(1)(1cos)2coscos22ARRARReBAR222coseB 当当A=0或或180时，时，RA的值最小，此时的值最小，此时R0=M子午曲率子午曲率半径当半径当A=90或或270时，时，RA的值最大，此时的值最大，此时R90=N卯酉圈曲率半径；当卯酉圈曲率半径；当A由由090时，时，RA之值由之值由MN；当当A由由90180时，时，RA之值由之值由NM。RA值的变化是以值的变化是以90为周期且与子午圈和卯酉圈对称的。为周期且与子午圈和卯酉圈对称的。24244 4、平均

10、曲率半径、平均曲率半径M、N、R的关系：的关系：NR M只需在极点上，它们才相等，且均等于极曲率半只需在极点上，它们才相等，且均等于极曲率半径径c，即：，即：2222(1).bcNaRMNeWVVWNRMc909090 由于由于RA的数值随方位的数值随方位A的变化而变化，给丈量带来不便，在丈量任务中，的变化而变化，给丈量带来不便，在丈量任务中，往往根据一定的精度要求，在一定范围内，把椭球面当作球面来处置，为此，往往根据一定的精度要求，在一定范围内，把椭球面当作球面来处置，为此，就要推求该球面的曲率半径就要推求该球面的曲率半径-平均曲率半径平均曲率半径就是过椭球面上一点的一切法截就是过椭球面上一

11、点的一切法截弧弧(02，当其数目趋于无穷时，它们的曲率半径的算术平均值的极限，当其数目趋于无穷时，它们的曲率半径的算术平均值的极限，就称为平均曲率半径，用就称为平均曲率半径，用R表示表示。25257.4 椭球面上的弧长计算椭球面上的弧长计算1.1.子午线弧长计算公式子午线弧长计算公式dxMdBBeBeBe44222322sin815sin231)sin1(sincossincoscos241212238122184BBBBB32222244433(1sin)1(cos2)44451515(cos2cos4)641664eBeeBeeBeB 2300(1)BBaeXMdBdBW221sinWeB

12、将积分因子按二项式定理展开为级数方式将积分因子按二项式定理展开为级数方式将正弦的指数函数化为余弦的倍数函数将正弦的指数函数化为余弦的倍数函数 322220(1)(1sin)BaeeBdB2626BCBBBAeaX4sin42sin2)1(232222444233451515(1sin)1(cos2)(cos2cos4)44641664eBeeBeeBeB Aee134456424B42161543eeC46415eXaeABBCBdBB()(coscos)1242027272.平行圈弧长公式平行圈弧长公式 cos llSrNB 旋转椭球体的平行圈是一个圆，其半径就是圆上恣意一点的子午面直角坐标

13、x：22coscos1sinaBrxNBeB假设平行圈上有两点，其经假设平行圈上有两点，其经差差 ，可写出平行圈弧长公式：可写出平行圈弧长公式：12 LLl 28283.子午线弧长和平行圈弧长变化的比较子午线弧长和平行圈弧长变化的比较B 1 单位纬差的子午线弧长随单位纬差的子午线弧长随B B的增大而缓慢地增大；而单位的增大而缓慢地增大；而单位经差的平行圈弧长那么随经差的平行圈弧长那么随B B的增大而急剧缩短。同时还知，子的增大而急剧缩短。同时还知，子午弧长午弧长1 1约为约为110KM110KM，11约为约为1.8KM1.8KM，11约为约为30M30M；而平行；而平行圈弧长仅在赤道附近才与子

14、午线弧长大体相当，随着圈弧长仅在赤道附近才与子午线弧长大体相当，随着B B的增大的增大它们的差值愈来愈大。它们的差值愈来愈大。29297.5 大地线大地线 1.相对法截线的概念相对法截线的概念 1纬度不同的两点，法线必纬度不同的两点，法线必交于旋转轴的不同点；交于旋转轴的不同点；2椭球面上一点的纬度愈高，椭球面上一点的纬度愈高，法线与旋转轴的交点愈低；法线与旋转轴的交点愈低；3当两点的纬度不同，又不当两点的纬度不同，又不在同一子午圈上时，这两点的法在同一子午圈上时，这两点的法线将在空间交错而不相交。因此线将在空间交错而不相交。因此当两点不在同一子午圈上，也不当两点不在同一子午圈上，也不在同一平

15、行圈上时，两点间就有在同一平行圈上时，两点间就有二条法截线存在。二条法截线存在。首先明确以下三点：首先明确以下三点：3030ABnb假定经纬仪的纵轴同假定经纬仪的纵轴同A，B两点的两点的法线重合忽略垂线偏向，如法线重合忽略垂线偏向，如此以两点为测站，那么经纬仪的此以两点为测站，那么经纬仪的照准面就是法截面。用照准面就是法截面。用A点照准点照准B点，那么照准面点，那么照准面 同椭球面的同椭球面的截线为截线为 ，叫做，叫做A点的正法截点的正法截线，或线，或B点的反法截线；同理，由点的反法截线；同理，由B照照A点，那么照准面点，那么照准面 同椭同椭球面的截线为球面的截线为BbA，叫做，叫做B点的正点

16、的正法截线，或法截线，或A点的反法截线。因点的反法截线。因A，B的法线互不相交，故这两条法截的法线互不相交，故这两条法截线不重合。我们把线不重合。我们把 和和BbA叫叫做做A、B两点的相对法截线。两点的相对法截线。BAnaAaBAaB3131当当A A、B B两点位于同一子午圈或同两点位于同一子午圈或同一平行圈上时，正反法截线那么一平行圈上时，正反法截线那么合二为一，这是一种特殊情况。合二为一，这是一种特殊情况。而通常情况下，正反法截线是不而通常情况下，正反法截线是不重合的。因此在椭球面上重合的。因此在椭球面上A A、B B、C C三点处所测得的角度各点上三点处所测得的角度各点上正法截线之夹角

17、将不能构成闭正法截线之夹角将不能构成闭合三角形。为抑制这个矛盾，在合三角形。为抑制这个矛盾，在两点间另选一条单一的大地线替两点间另选一条单一的大地线替代相对法截线，从而得到由大地代相对法截线，从而得到由大地线构成的单一的三角形。线构成的单一的三角形。32322、大地线的定义和性质、大地线的定义和性质 椭球面上两点间的最短曲线椭球面上两点间的最短曲线叫做大地线。叫做大地线。大地线是椭球面上两点间独一最短线，大地线是椭球面上两点间独一最短线，而且位于相对法截线之间，并接近正而且位于相对法截线之间，并接近正法截线，它与正法截线间的夹角为：法截线，它与正法截线间的夹角为：13在一等三角丈量中，在一等三

18、角丈量中，可达千分之四秒，可达千分之四秒，可达千分之一二秒可达千分之一二秒 33333、大地线的微分方程和克莱洛、大地线的微分方程和克莱洛(克莱劳克莱劳)方程方程 dBAMdScosdSBNAdlcossin1大地线微分方程大地线微分方程:表达表达dL，dB，dA与与dS的关系式。的关系式。MdBdSAcosAdSBdlNsincosdA PTr dl cossinsinrdlNBdlAdABdltgBdSPTNctgBNPTNctgB3434dBAMdScossin AdAtgBdSNBNBdBMAAdAcossincossincossinrNBMBdBdr rdrctgAdAlnsinln

19、lnArCrACsin代入代入两边积分得：两边积分得：麦尼儿定理：麦尼儿定理：3535rACsin1221sinsinAArr上式阐明：在旋转椭球面上，大地线各点的平行圈上式阐明：在旋转椭球面上，大地线各点的平行圈半径与大地线在该点的大地方位角的正弦的乘积等半径与大地线在该点的大地方位角的正弦的乘积等于常数。于常数。利用这个关系式可以检查利用这个关系式可以检查纬度与方位角计算的正确纬度与方位角计算的正确性性coscosaBxrNBW36367.6 7.6 将地面观测的方向值归算到椭球面将地面观测的方向值归算到椭球面 重点重点 1 1、将地面观测的程度方向归算至椭球面、将地面观测的程度方向归算至

20、椭球面-三差矫正三差矫正 归算中两个根本要求：归算中两个根本要求：1以椭球面的法线为基准；以椭球面的法线为基准；2将地面观测元素化为椭球面上大地线的相应元素。将地面观测元素化为椭球面上大地线的相应元素。将程度方向归算至椭球面，包括垂线偏向矫正、标高差将程度方向归算至椭球面，包括垂线偏向矫正、标高差矫正及截面差矫正，习惯上称此三项为三差矫正。矫正及截面差矫正，习惯上称此三项为三差矫正。37371)cossin(ctgZAAmmu 1)cossin(tgAAmm垂线偏向矫正的计算公式垂线偏向矫正的计算公式 u1垂线偏向矫正垂线偏向矫正 把以垂线为根据的地面观测的程度方向值归算到以法线把以垂线为根据

21、的地面观测的程度方向值归算到以法线为根据的方向值而应加的矫正数称为垂线偏向矫正。为根据的方向值而应加的矫正数称为垂线偏向矫正。3838h标高差矫正：由照准点高度引起的矫正标高差矫正：由照准点高度引起的矫正前面已得出结论：不在同一子午面或不前面已得出结论：不在同一子午面或不在同一平行圈上的两点的法线是不共面在同一平行圈上的两点的法线是不共面的。因此，当进展程度方向观测时，假的。因此，当进展程度方向观测时，假设照准点高出椭球面某一高度，那么照设照准点高出椭球面某一高度，那么照准面就不能经过照准点的法线同椭球面准面就不能经过照准点的法线同椭球面的交点，由此引起的方向偏向的矫正称的交点，由此引起的方向

22、偏向的矫正称标高差矫正，以标高差矫正，以 表示。表示。h1222222sincos)1(2ABHe 22(1)/MaHH常2222221cos)1(2BHeK 112sinAKh 照准点大地纬度照准点大地纬度 测站点至照准点的大地方位角测站点至照准点的大地方位角 与照准点的纬度与照准点的纬度B2B2对对应的子午圈曲率半径应的子午圈曲率半径 照准点的觇标高照准点的觇标高 标高差矫正主要与照准点的标高差矫正主要与照准点的高程有关。高程有关。3939g3 3截面差矫正截面差矫正将法截弧方向化为大地线方向应加的矫正叫截面差矫正将法截弧方向化为大地线方向应加的矫正叫截面差矫正 11221222sinco

23、s)2(12ABSeg 11(2)N1221222cos)2(12BSeK 122sinAKg 测站点大地纬度测站点大地纬度 与测站点的纬度与测站点的纬度B1B1对应的对应的 卯酉圈曲率半径卯酉圈曲率半径 截面差矫正主要与测站点至照准点截面差矫正主要与测站点至照准点间的间隔间的间隔S S有关。有关。4040各等三角丈量在归算时对取位的要求：各等三角丈量在归算时对取位的要求：一等需算至一等需算至0.001；二等为二等为0.01；三等和四等为三等和四等为0.1。在普通情况下，一等三角丈量应加三差矫正；二等三角在普通情况下，一等三角丈量应加三差矫正；二等三角丈量应加垂线偏向矫正和标高矫正，而不加截面

24、差矫正；三丈量应加垂线偏向矫正和标高矫正，而不加截面差矫正；三等和四等三角丈量只需在等和四等三角丈量只需在 或或H2000m时，才分时，才分别思索加垂线偏向矫正和标高差矫正。别思索加垂线偏向矫正和标高差矫正。01 41412 2、将天文方位角归化为大地方位角、将天文方位角归化为大地方位角-起始方位角了解起始方位角了解 ()sinuAL背景：在布设国家天文大地网时，为了控制三角网中方位角传背景：在布设国家天文大地网时，为了控制三角网中方位角传算误差的积累，要求在一等三角锁的两端和中央，以及二等网算误差的积累，要求在一等三角锁的两端和中央，以及二等网的中间等处，都要在起始边的两个端点上，用天文观测

25、的方法的中间等处，都要在起始边的两个端点上，用天文观测的方法测定它们的天文经度、天文纬度和该边的天文方位角测定它们的天文经度、天文纬度和该边的天文方位角(包含测站包含测站垂线的子午面与测站垂线和照准面所张成的垂直面的夹角垂线的子午面与测站垂线和照准面所张成的垂直面的夹角)。在特种工程丈量控制网中，有时也有这样的要求。天文方位角在特种工程丈量控制网中，有时也有这样的要求。天文方位角是以测站的垂线为根据的，因此必需将它归算至椭球面以测站是以测站的垂线为根据的，因此必需将它归算至椭球面以测站点相应的法线为根据的大地方位角点相应的法线为根据的大地方位角A，这种归算又称起始方位，这种归算又称起始方位角的

26、归算。角的归算。测站点到照准点的大地方位角测站点到照准点的大地方位角测站点处相应方向的天文方位角测站点处相应方向的天文方位角测站点的天文经度测站点的天文经度测站点的大地经度测站点的大地经度测站点的天文纬度测站点的天文纬度垂线偏向矫正数垂线偏向矫正数 当照准点目的高度不大时，天顶距当照准点目的高度不大时，天顶距Z Z接近于接近于9090时，垂线偏向矫正数可勿略时，垂线偏向矫正数可勿略不计，因此上式可写为：不计，因此上式可写为：()sinAL 上式又称为拉普拉斯方程式，大地方位角又叫拉普拉斯方位角，在三上式又称为拉普拉斯方程式，大地方位角又叫拉普拉斯方位角，在三角点上观测天文经度、天文纬度时，该点

27、叫拉普拉斯点。角点上观测天文经度、天文纬度时，该点叫拉普拉斯点。42423 3、观测天顶距受垂线偏向影响的矫正了解、观测天顶距受垂线偏向影响的矫正了解AAzuzzsincos11 11 11 AAzuzzsincos22 22 22 AAusincos 垂线偏向在测线上的分量：垂线偏向在测线上的分量：A为测站点至照准点的大地方位角。为测站点至照准点的大地方位角。大地天顶距大地天顶距21ZZ 和的计算公式的计算公式 利用上式公式计算出的大地天顶距利用上式公式计算出的大地天顶距Z可用于计算可用于计算高差，此高差称为大地高差。三角高程丈量的精度是高差，此高差称为大地高差。三角高程丈量的精度是有限的，

28、假设提高其计算精度，必需设法抑制大气折有限的，假设提高其计算精度，必需设法抑制大气折光的影响，同时要在天顶观测值中引入垂线偏向矫正光的影响，同时要在天顶观测值中引入垂线偏向矫正数。数。43437.7 将地面观测的长度归算到椭球面重点将地面观测的长度归算到椭球面重点1 1、基线尺量距的归算、基线尺量距的归算 )(22122121HHuuhuusu 1垂线偏向对长度归算的影响垂线偏向对长度归算的影响:在基线端点在基线端点1和和2处处垂线偏向在基线方垂线偏向在基线方向上的分量向上的分量 各个测段各个测段丈量的高丈量的高差总和差总和 基线端点基线端点1和和2处的大处的大地高地高 垂线偏向对长度归算的影

29、响垂线偏向对长度归算的影响高程对长度归算的影响高程对长度归算的影响此项矫正数值普通比较小，能否需求应结合测区及计算此项矫正数值普通比较小，能否需求应结合测区及计算精度要求的实践情况进展详细分析。精度要求的实践情况进展详细分析。44442 2高程对长度归算的影响：高程对长度归算的影响：RHRHRSSmm1010)1(RHSSm基线两端点平基线两端点平均大地高程均大地高程 基线方向法截基线方向法截线曲率半径线曲率半径)1(220RHRHSSmm将上式展开级数，取至二次项将上式展开级数，取至二次项 20002mmHHHSSSSSRR)(2)1(122110HHuuRHSSm 45452 2、电磁波测

30、距的归算、电磁波测距的归算 前提：前提：1)在椭球面上两点间大地在椭球面上两点间大地线长度与相应法截线长度之差是极线长度与相应法截线长度之差是极微小的，故可忽略不计，这样可将微小的，故可忽略不计，这样可将两点间的法截线长度以为是该两点两点间的法截线长度以为是该两点间的大地线长度；间的大地线长度；2)两点间的法两点间的法截线长度与半径等于其起始点曲率截线长度与半径等于其起始点曲率半径的圆弧长相差也很微小半径的圆弧长相差也很微小(如当如当S=640KM时，之差等于时，之差等于0.3米；米；S=200KM时，之差等于时，之差等于0.005m)。由于工程丈量中边长。由于工程丈量中边长普通为几公里，最长

31、也不过十几公普通为几公里，最长也不过十几公里，因此，这种差别又可忽略不计。里，因此，这种差别又可忽略不计。因此所求的大地线长度可以以为是因此所求的大地线长度可以以为是半径半径RA相应的圆弧长。相应的圆弧长。232121224)1)(1()(1AAARDRHRHDHHDS46462322421AAmRDRHDDhDS由于控制点由于控制点之高差引起之高差引起的倾斜矫正的倾斜矫正的主项，经的主项，经过此项矫正，过此项矫正，测线已变成测线已变成平距。平距。由于平均测由于平均测线高出参考线高出参考椭球面而引椭球面而引起的投影改起的投影改正，经过此正，经过此项矫正后，项矫正后，测线已变为测线已变为弦线。弦

32、线。是由弦长改是由弦长改化为弧长的化为弧长的矫正项。矫正项。)1)(1()(121212AARHRHDHHDd简化后：简化后：47477.8 椭球面上三角形的解算重点椭球面上三角形的解算重点1、用勒让德尔定了解算球面三角形、用勒让德尔定了解算球面三角形 假设：半径为假设：半径为140KM范围内的椭球面可当作球面范围内的椭球面可当作球面上的一部分对待。计算阐明：当三角形边长小于上的一部分对待。计算阐明：当三角形边长小于240KM时，就可把它当作球面三角形解算，两者时，就可把它当作球面三角形解算，两者对应的边长相等，对应角之差小于对应的边长相等，对应角之差小于0.001。勒让德尔定理：假设平面三角

33、形和球面三角形对勒让德尔定理：假设平面三角形和球面三角形对应边相等，那么平面角等于对应球面角减去三分应边相等，那么平面角等于对应球面角减去三分之一球面角超。之一球面角超。4848301 AA301 BB301 CC定理阐明：假设球面三角形的各角减去三分之一定理阐明：假设球面三角形的各角减去三分之一球面角超，就可得到一个对应边相等的平面三角球面角超，就可得到一个对应边相等的平面三角形，因此就可按平面三角形的解法解算此三角形，形，因此就可按平面三角形的解法解算此三角形，所得到的边长即为球面边长同时也是椭球面边所得到的边长即为球面边长同时也是椭球面边长，从而到达解算球面三角形的目的。长，从而到达解算

34、球面三角形的目的。4949 2RFF为平面三角形的面积。为平面三角形的面积。2、球面角超的计算：、球面角超的计算：1112222sinsinsin222bcAacBabCFRRRR22fR设：f值可以以纬度为引数，在专门的数表中查取。值可以以纬度为引数，在专门的数表中查取。111sinsinsinf bcAf acBf abC 化算平面角需求用球面角超，而球面角超的计算又需求用化算平面角需求用球面角超，而球面角超的计算又需求用平面角，因此可直接用球面角替代平面角计算球面角超，平面角，因此可直接用球面角替代平面角计算球面角超，虽然带有误差，但研讨阐明：当边长不大于虽然带有误差，但研讨阐明：当边长

35、不大于90km时，这时，这种误差小于种误差小于0.0005，可忽略。，可忽略。50507.9 大地主题解算的高斯平均引数公式了解大地主题解算的高斯平均引数公式了解如下图，知如下图，知P1点的大地坐标点的大地坐标 ，P1至至P2点的大地线长点的大地线长S及其大地方位角及其大地方位角A12，计算，计算P2点的点的大地坐标大地坐标 和大地线和大地线S在在P2点的反方位角点的反方位角A21，这类问题叫做，这类问题叫做大地主题正解。假设知大地主题正解。假设知P1和和P2点点的大地坐标的大地坐标 和和 ，计算计算P1至至P2点的大地线长点的大地线长S及其正、及其正、反大地方位角，这类问题叫做大地反大地方位角，这类问题叫做大地主题反解。主题反解。11,BL22,BL11,BL22,BL5151本章小结：本章小结：