第一部分函数导数及其应用

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1、集合与函数口诀内容子交并补集，还有幂指对函数。性质奇偶与增减，观察图象最明显。复合函数式出现，性质乘法法则辨，若要详细证明它，还须将那定义抓。指数与对数函数，两者互为反函数。底数非的正数，两边增减变故。函数定义域好求。分母不能等于，偶次方根须非负，零和负数无对数；正切函数角不直，余切函数角不平；其余函数实数集，多种情况求交集。两个互为反函数，单调性质都相同；图象互为轴对称，是对称轴；求解非常有规律，反解换元定义域；反函数的定义域，原来函数的值域。幂函数性质易记，指数化既约分数；函数性质看指数，奇母奇子奇函数，奇母偶子偶函数，偶母非奇偶函数；图象第一象限内，函数增减看正负。 函数概念与基本初等函

2、数I（指数函数、对数函数、幂函数）（1）函数 了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数 了解简单的分段函数（09、08）（09），并能简单应用 理解函数的单调性（10、09、08、07）（09、08、07）、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性（11奇、10、09、08偶，07奇）（09、08偶，11、10、07奇）的含义 会运用函数图象（11、09、08）（11、09、08、）理解和研究函数的性质（2）指数函数（11、10、09、08、07）（11、10，09、08

3、、07） 了解指数函数模型的实际背景 理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算 理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点 知道指数函数是一类重要的函数模型（3）对数函数（10、09、08、07）（11、09、08、07） 理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用 理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点 知道对数函数是一类重要的函数模型 了解指数函数与对数函数互为反函数（4）幂函数 了解幂函数（07）（07）的概念 结合函数 的图象，了解它们的变化情况（

4、5）函数与方程 结合二次函（07）数的图象，了解函数的零点（11、10、09、07）（11、09、07）与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数 根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解 （6）函数模型及其应用 了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征；知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义 了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用. 导数及其应用 （1）导数概念及其几何意义 了解导数概念的实际背景 理解导数的几何意义（11、10） （2）导数的运算 能根据导数定义，求函数的导数 能利用下面给出的

5、基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数（理科）能求简单的复合函数（仅限于形如的复合函数）的导数常见基本初等函数的导数公式和常用的导数计算公式：（为常数）， （11、10，09,08,07）（11、10， 09,08,07） 法则1： 法则2： 法则3： （11、10，09,08,07）（11、10，09,08,07）（3）导数在研究函数中的应用 了解函数的单调性与导数的关系（11、10，09,08,07）（11、10，09,08,07）；能利用导数研究函数的单调性（11、10，09,08）（11、10，09,07），会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次） 了解函

6、数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（10、09,07）（08,07）（其中多项式函数一般不超过三次），会求在闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）（11，10）（11、10， 09）函数及其表示 一个方法求复合函数yf(t)，tq(x)的定义域的方法：若yf(t)的定义域为(a，b)，则解不等式得aq(x)b即可求出yf(q(x)的定义域；若yf(g(x)的定义域为(a，b)，则求出g(x)的值域即为f(t)的定义域两个防范(1)解决函数问题，必须优先考虑函数的定义域(2)用换元法解题时，应注意换元前后的等价性 三个要素函数的三要素是：定

7、义域、值域和对应关系值域是由函数的定义域和对应关系所确定的两个函数的定义域和对应关系完全一致时，则认为两个函数相等函数是特殊的映射，映射f：AB的三要素是两个集合A、B和对应关系f.函数的单调性与最值一个防范函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制例如函数y分别在(，0)，(0，)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即(，0)(0，)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(，0)和(0，)，不能用“”连接两种形式设任意x1，x2a，b且x1x2，那么0f(x)在a，b上是增函数；0f(x)在a，b上是减函数(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x)在a，b上是增函数；(x

8、1x2)f(x1)f(x2)0f(x)在a，b上是减函数两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值四种方法函数单调性的判断(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数(3)导数法：利用导数研究函数的单调性(4)图象法：利用图象研究函数的单调性函数的奇偶性与周期性一条规律奇、偶函数的定义域关于原点对称函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件两个性质(1)若奇函数f(x)在x0处有定义，则f(0)0.(2)设f

9、(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，奇奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇偶奇三种方法判断函数的奇偶性，一般有三种方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)性质法三条结论(1)若对于R上的任意的x都有f(2ax)f(x)或f(x)f(2ax)，则yf(x)的图象关于直线xa对称(2)若对于R上的任意x都有f(2ax)f(x)，且f(2bx)f(x)(其中ab)，则：yf(x)是以2(ba)为周期的周期函数(3)若f(xa)f(x)或f(xa)或f(xa)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T2a；(3)若f(xa)f(xb)(ab)，那么函数f(x)是周期函数

10、，其中一个周期为T2|ab|.指数与指数函数一个关系分数指数幂与根式的关系根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算两个防范(1)指数函数的单调性是由底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按：0a1和a1进行分类讨论(2)换元时注意换元后“新元”的范围三个关键点画指数函数yax(a0，且a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.对数与对数函数一种思想对数源于指数，指数式和对数式可以互化，对数的性质和运算法则都可以通过对数式与指数式的互化进行证明两个防范解决与对数有关的问题时，(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数

11、底数的取值范围三个关键点画对数函数的图象应抓住三个关键点：(a,1)，(1,0)，.四种方法对数值的大小比较方法(1) 化同底后利用函数的单调性(2)作差或作商法(3)利用中间量(0或1)(4) 化同真数后利用图象比较 双基自测1、化简下列各式(其中各字母均为正数)(1)；(2)ab2(3ab1)(4ab3).(3)；(4) (lg 5)2lg 50lg 2；(5) lg lg lg .2、下列函数：f(x) ；f(x)x3x；f(x)ln(x)；f(x)；f(x)lg.其中奇函数的个数是()A2 B3 C4 D53、已知alog0.70.8，blog1.10.9，c1.10.9，则a，b，c

12、的大小关系是()Aabc BacbCbac Dcab4、函数f(x)ln(43xx2)的单调递减区间是()A. B.C. D.5、(1)已知f(x)的定义域为，求函数yf的定义域；(2)已知函数f(32x)的定义域为1,2，求f(x)的定义域6、(1)已知f lg x，求f(x)；(2)定义在(1,1)内的函数f(x)满足2f(x)f(x)lg(x1)，求函数f(x)的解析式7、 讨论函数f(x)(a0)在(1,1)上的单调性8、求f(x)2x234x的最值及相应的x的值x-1,1D.基础达标演练一、 选择题1(人教A版教材习题改编)函数f(x)log2(3x1)的值域为()A(0，) B0，

13、)C(1，) D1，)2(2011江西)若f(x)，则f(x)的定义域为()A. B.C. D(0，)3下列各对函数中，表示同一函数的是()Af(x)lg x2，g(x)2lg xBf(x)lg，g(x)lg(x1)lg(x1)Cf(u) ，g(v) Df(x)()2，g(x)4(2010陕西)某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数yx(x表示不大于x的最大整数)可以表示为()Ay ByCy Dy5设f(x)为奇函数，且在(，0)内是减函数，f(2)0，则xf(x)0的

14、解集为()A (2,0)(2，) B(，2)(0,2)C(，2)(2，) D(2,0)(0,2)6(2011湖南)已知函数f(x)ex1，g(x)x24x3.若有f(a)g(b)，则b的取值范围为()A2，2 B(2，2)C1,3 D(1,3)7(2012保定一中质检)已知f(x)为R上的减函数，则满足f1，则a的取值范围是_2若x0，则x的最小值为_3(2011浙江)若函数f(x)x2|xa|为偶函数，则实数a_.4(2012天津一中月考)已知aa3，则aa1_；a2a2_.5(2011江苏)函数f(x)log5(2x1)的单调增区间是_三、解答题1、求下列函数的定义域：(1)f(x)；(2

15、)f(x).2、(1)已知f(x)是二次函数，若f(0)0，且f(x1)f(x)x1，试求f(x)的表达式(2)已知f(x)2f()2x1，求f(x)3、已知函数f(x)(a0)在(2，)上递增，求实数a的取值范围4、已知函数f(x)对于任意x，yR，总有f(x)f(y)f(xy)，且当x0时，f(x)0，f(1).(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在3,3上的最大值和最小值5、已知函数f(x)是(，)上的奇函数，且f(x)的图象关于x1对称，当x0,1时，f(x)2x1，(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x1,2时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)f(1)f(2

16、)f(2013)的值6、已知函数f(x)x3(a0且a1)(1)求函数f(x)的定义域；(2)讨论函数f(x)的奇偶性；(3)求a的取值范围，使f(x)0在定义域上恒成立7、已知f(x)log4(4x1)(1)求f(x)的定义域；(2)讨论f(x)的单调性；(3)求f(x)在区间上的值域 幂函数与二次函数五个代表函数yx，yx2，yx3，yx，yx1可做为研究和学习幂函数图象和性质的代表两种方法函数yf(x)对称轴的判断方法(1)对于二次函数yf(x)对定义域内所有x，都有f(x1)f(x2)，那么函数yf(x)的图象关于x对称(2)对于二次函数yf(x)对定义域内所有x，都有f(ax)f(a

17、x)成立的充要条件是函数yf(x)的图象关于直线xa对称(a为常数)函数图象一条主线数形结合的思想方法是学习函数内容的一条主线，也是高考考查的热点作函数图象首先要明确函数图象的形状和位置，而取值、列表、描点、连线只是作函数图象的辅助手段，不可本末倒置两个区别(1)一个函数的图象关于原点对称与两个函数的图象关于原点对称不同，前者是自身对称，且为奇函数，后者是两个不同的函数对称(2)一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称也不同，前者也是自身对称，且为偶函数，后者也是两个不同函数的对称关系 三种途径明确函数图象形状和位置的方法大致有以下三种途径(1)图象变换：平移变换、伸缩变换、对称

18、变换(2)函数析式的等价变换(3)研究函数的性质函数与方程一个口诀用二分法求函数零点近似值的口诀为：定区间，找中点，中值计算两边看同号去，异号算，零点落在异号间周而复始怎么办？精确度上来判断 两个防范(1)函数yf(x)的零点即方程f(x)0的实根，是数不是点(2)若函数yf(x)在闭区间a，b上的图象是连续不间断的，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)f(b)0，满足这些条件一定有零点，不满足这些条件也不能说就没有零点如图，f(a)f(b)0，f(x)在区间(a，b)上照样存在零点，而且有两个所以说零点存在性定理的条件是充分条件，但并不必要三种方法函数零点个数的判断方法：(1)直接求零

19、点：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点 变化率与导数、导数的运算 一个区别曲线yf(x)“在”点P(x0，y0)处的切线与“过”点P(x0，y0)的切线的区别：曲线yf(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，若切线斜率存在时，切线斜率为kf(x0)，是唯一的一条切线；曲线yf(x)过点P(x0

20、，y0)的切线，是指切线经过P点，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条一种法则(1)导数的四则运算法则三个防范1利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆2要正确理解直线与曲线相切和直线与曲线只有一个交点的区别导数的应用直线与曲线有且只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线；反之直线是曲线的切线，但直线不一定与曲线有且只有一个公共点两个条件(1)f(x)0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分条件(2)对于可导函数f(x)，f(x0)0是函数f(x)在xx0处有极值的必要不充分条件三个步骤求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定

21、义域；(2)求导数f(x)；(3)由f(x)0(f(x)0)解出相应的x的范围当f(x)0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f(x)0时，f(x)在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间两个注意(1)注意实际问题中函数定义域的确定(2)在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较三个防范(1)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念(2)f(x0)0是yf(x)在xx0取极值的既不充分也不必要条件如y|x|在x0处取

22、得极小值，但在x0处不可导；f(x)x3，f(0)0，但x0不是f(x)x3的极值点(3)若yf(x)可导，则f(x0)0是f(x)在xx0处取极值的必要条件双基自测1、分别画出下列函数的图象：(1) y|lg x|；(2) y2x2；(3) yx22|x|1；(4)y.(5)y2x11；(6) ysin|x|；(7) y|log2(x1)|.2、求下列各函数的导数：(1)y；(2) y(x1)(x2)(x3)；(3) ysin*；(4)y；3、(2012安康模拟)函数f(x)sin xx零点的个数是()A0 B1 C2 D34、(2010天津)函数f(x)2x3x的零点所在的一个区间是()A

23、(2，1) B(1,0)C(0,1) D(1,2)5、已知函数f(x)x34x25x4.(1)求曲线f(x)在x2处的切线方程；(2)求经过点A(2，2)的曲线f(x)的切线方程6、(2011重庆)设f(x)2x3ax2bx1的导数为f(x)，若函数yf(x)的图象关于直线x对称，且f(1)0.(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)的极值基础达标演练一、选择题1(人教A版教材习题改编)为了得到函数ylg的图象，只需把函数ylg x的图象上所有的点()A向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D

24、向右平移3个单位长度，再向下平移1 个单位长度2(2011安徽)若点(a，b)在ylg x图象上，a1，则下列点也在此图象上的是()A B(10a,1b)C. D(a2,2b)3函数y1的图象是()4(2011陕西)函数yx的图象是()5已知图中的图象对应的函数为yf(x)，则图的图象对应的函数为()Ayf(|x|) By|f(x)| Cyf(|x|) Dyf(|x|)6(2011安徽)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2x2x，则f(1)()A3 B1 C1 D37.(人教A版教材例题改编)如图中曲线是幂函数yxn在第一象限的图象已知n取2，四个值，则相应于曲线C1，C2，C

25、3，C4的n值依次为()A2，2 B2，2C，2,2， D2，2，8(2011浙江)设函数f(x)若f()4，则实数等于()A4或2 B4或2C2或4 D2或29已知函数f(x)x22x2的定义域和值域均为1，b，则b等于()A3 B2或3 C2 D1或210(2011山东)曲线yx311在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A9 B3C9 D1511(2011福建)若关于x的方程x2mx10有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是()A(1,1)B(2,2)C(，2)(2，)D(，1)(1，)12(2011福建)若a0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则

26、ab的最大值等于()A2 B3 C6 D913已知函数f(x)x4x32x2，则f(x)()A有极大值，无极小值 B有极大值，有极小值C有极小值，无极大值 D无极小值，无极大值14(2010山东)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A13万件 B11万件 C9万件 D7万件15若函数yf(x)在R上递增，则函数yf(x)的零点()A至少有一个 B至多有一个 C有且只有一个 D可能有无数个16如图所示的函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是()A B C D17(2011新

27、课标全国)在下列区间中，函数f(x)ex4x3的零点所在的区间为()A. B.C. D.18(人教A版教材习题改编)函数f(x)(x2a)(xa)2的导数为()A2(x2a2) B2(x2a2)C3(x2a2) D3(x2a2)19(2011湖南)曲线y在点M处的切线的斜率为()A B. C D.20(2011江西)若f(x)x22x4ln x，则f(x)0的解集为()A(0，) B(1,0)(2，)C(2，) D(1,0)21(2012烟台模拟)函数f(x)x22ln x的递减区间是()A(0,1 B1，)C(，1)，(0,1) D1,0)，(0,122(2012长沙一中月考)若点P是曲线y

28、x2ln x上任意一点，则点P到直线yx2的最小值为()A1 B. C. D.二、填空题1如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0)_；li _(用数字作答)2(人教A版教材习题改编)在高台跳水运动中，t s时运动员相对水面的高度(单位：m)是t1(t)4.9t26.5t10，高台跳水运动员在t1 s时的瞬时速度为_3函数f(x)x33x21的递增区间是_4(2011广东)函数f(x)x33x21在x_处取得极小值5若函数f(x)在x1处取极值，则a_.6(人教A版教材习题改编)已知函数f(x)x2xa在区间(0,1)上

29、有零点，则实数a的取值范围是_7(2012武汉模拟)若函数f(x)(xa)(bx2a)(常数a、bR)是偶函数，且它的值域为(，4，则该函数的解析式f(x)_.三、简答题1、已知a为实数，且函数f(x)(x24)(xa)(1)求导函数f(x)；(2)若f(1)0，求函数f(x)在2,2上的最大值、最小值2、函数f(x)x3ax2b的图象在点P(1,0)处的切线与直线3xy0平行(1)求a，b；(2)求函数f(x)在0，t(t0)内的最大值和最小值3、已知函数f(x)x3ax23x.(1)若f(x)在1，)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若x3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间4、已知函数f(x)|x24x3|.(1)求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合Mm|使方程f(x)m有四个不相等的实根5、已知函数f(x)x22ax2，x5,5(1)当a1时，求函数f(x)的最大值和最小值(2)求实数a的取值范围，使yf(x)在区间5,5上是单调函数7