四面体外接球的球心、半径求法概要

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1、四面体外接球的球心、半径求法、出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为a, b, c ,则体对角线长为lra2 + b2 + c2 ,几何体的外接球直径2R为体对角线长/【例题】：在四面体ABCD中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为1,，6,3，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。 解：因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长 所以：四面体外接球的直径为AE的长即：4 R 2 = AB 2 + AC 2 + AD 24 R 2 = 12 + 32 + 韶2 = 16 所以 R = 2球的表面积为S = 4兀R 2 = 1

2、6兀二、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，AB丄BC且PA = 7，PB = 5，PC =莎,AC二10,求球O的体积。解: AB 丄 BC 且PA = 7，PB = 5，PC =，AC 二 10,所以知 AC2 二 PA2 + PC2因为 72 + .；512= 102所以PA丄PC所以可得图形为:在RtAABC中斜边为AC在RtAPAC中斜边为AC取斜边的中点O,在 RtAABC 中 OA 二 OB 二 OC在 RtAPAC 中 op = OB = OC所以在几何体中OP

3、二OB二OC二OA，即O为该四面体的外接球的球心1R二一AC二52所以该外接球的体积为V二-兀R3二33【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。三、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解【例题】：已知在三棱锥A-BCD中，AD丄面ABC，设球心坐标为O(x, y, z) 则AO二BO二CO二DO ,由空间两点间距离公式知Cyx 2 + y 2 + z 2 二(x 2)2 + y 2 + z 2x2 + y2 + z2 二 x2 + y2 + (z 2)2ZBAC = 120。，AB 二 AD 二 AC 二 2，求x2 + y2 + z2 (x 1)2 + (y

4、v 3)2 + z2解得x - 1 y七z - 1所以半径为R J2 +(旦)2 + 12 -【结论】：空间两点间距离公式:PQ 、乂x1 x2)2 + ( J y2)2 + (廿 z2)2四、四面体是正四面体处理球的“内切” “外接”问题与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接。作为这种特殊的位置关 系在高考中也是考查的重点，但同学们又因缺乏较强的空间想象能力而感到模糊。 解决这类题目时要认真分析图形，明确切点和接点的位置及球心的位置，画好截 面图是关键，可使这类问题迎刃而解。一、棱锥的内切、外接球问题例1正四面体的外接球和内切球的半径是多少？分析：运用正四面体的二心合一性质，作出截面图

5、，通过点、线、面关系解 之。解：如图1所示，设点O是内切球的球心，正四面体棱长为a 由图形的对 称性知，点O也是外接球的球心设内切球半径为r，外接球半径为R .D正四面体的表面积S表-4 X# a2 a2.1 J3J3正四面体的体积V=-xa2 x AE a2：AB2 BE2a-bcd 3 412“3 a 2 :a 2 -12a 23a 3/ 1S - r 二 V3 表A-BCD3V.r =A BCDS表3迈3 x a 3127 3a 2a12在RtABEO 中，BO2 = BE2 + EO2,即R2 =6 a , 得 R 二 3r4【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球

6、心是重合的，为正四面体高的四h13h等分点，即内切球的半径为丁 （ h为正四面体的高），且外接球的半径，从而可以通过截面图中44RtNOBE建立棱长与半径之间的关系。例2.设棱锥M - ABCD的底面是正方形，且MA = MD，MA丄AB，如果AAMD的面积为1， 试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.解： AB 丄 AD, AB 丄 MA, /. AB 丄平面 MAD，由此，面MAD丄面AC .记E是AD的中点，从而ME丄AD .ME丄平面AC， ME丄EF设球O是与平面MAD、平面AC、平面MBC都相切的球.如图2, 得截面图AMEF及内切圆O设球O的半径为r2 S贝 Q r 二AMEFEF

7、 + EM + MFC不妨设O 平面MEF，于是O是AMEF的内心.AD 二 EF 二 a，丁 S= 1.AAMD2Ir 22,MF =la2 +a(a J2r 2)2a + +a2 +aIa丿 0 ；外分线段P1P2时，0 -定比分点坐标公式、中点坐标公式、三角形重心公式:x + Xxx 1 c 21+X 6工-1)、J y +Xyy 2-y 1+ Xx + xx = 122y + y y 122zx + x + x y + y + y、 、(23,123)四：考点举例及配套课堂练习(一)基础知识训练1下列命题正确的是(例题讲解)(A)单位向量都相等(B)任一向量与它的相反向量不相等10.向

8、量a和b的数量积：a b =| a | |b Icos。，其中。三0, n 为a和b的夹角。Ib Icos9称为b在a的方向上的投影。a b的几何意义是：b的长度Ib |在a的方向上的投影的乘积,(C)平行向量不一定是共线向量(D)模为0的向量与任意向量共线2.已知正六边形ABCDEF中，若AB = a， FA = b，则BC =()(A)-(a - b)(B )-(a + b)(C) a - b(D)- a + b2 2 23.已知向量e丰0, X g R，a e +九e ,b =2e若向量a与b共线，则下列关系一定成立是1 1 2 (A) X = 0(B) e = 0(C) e e2 1

9、24.若向量a = （一1，x）, b =（一兀，2）共线且方向相同，x =（二）典例分析例1： （1）设a与b为非零向量，下列命题： 若a与b平行，则a与b向量的方向相同或相反； 若AB亍a, CD = b, a与b共线，则A、B、C、D四点必在一条直线上;若a与b共线，则a +a + b ；若a与b反向，则a = b其中正确命题的个数有（A） 1 个（B） 2 个（2）下列结论正确的是(C) 3 个(D) 4 个(A)(B) a - b V a -b(C)若(af)c - (cf )b = 0（D）若a与b都是非零向量，贝皿丄b的充要条件为|a +如=|a 也 错解：（1）有学生认为全正确

10、，答案为4；也有学生认为或是错的，答案为2或3；（2） A或ffffB或C。分析：学生对向量基础知识理解不正确、与实数有关性质运算相混淆，致使选择错误。第（1）小题中，正确的应该是，答案为2。共线向量（a与b共线）的充要条件中所存在的常数九可看作为向量b作伸缩变换成为另一个向量a所作的伸缩量；若a，b为非零向量，则共线的a与b满足a与b同向时a = aa与b反向时a = a-第（2）小题中，正确答案为（D）。学生的错误多为与实数运算相混淆所致。选择支D同时要求学生 明确向量垂直、两个向量的数量积、向量的模之间互化方法，并进行正确互化。例2 设a、b是两个不共线向量。AB=2a+kb BC=a+

11、b CD=a-2bA、B、D 共线则 k=（kWR）解：BD二BC+CD二a+b+a-2b=2a-b 2a+kb二入（2a-b）=2入 a-入 b2=2入且k二-入k=-1例3梯形ABCD，且|AB|=2|DC|,M、N分别为DC、AB中点。AB=a AD=b 用 a，b 来标 DC、BC、MN。11 11111解：DC= AB= a BC=BD+DC=（AD-AB）+DC =b_a+a=b-MN=DN-DM= a_b- a=a_b2222244例 4|a|=10 b=（3,-4）且 ab 求 a解：设 a=（x,y）则x2+y2=100（1） 由 ab 得-4x-3y=0（2）解(1) (2

12、)得 x=6 y=-8。或 x=-6 y=8： a=(6,-8)或(-6,8) 五.归纳小结1向量有代数与几何两种形式，要理解两者的内在联系，善于从图形中发现向量间的关系。2.对于相等向量，平行向量，共线向量等概念要区分清楚，特别注意零向量与任何向量共线这一情况。要善于运用待定系数法。课堂练习1、下列命题正确的是()A.若 I a 1= 0，则 a = 0C.若 a II b，则 I a 1=1 b IB.若I a I=I b I，则 a = b 或 a = bD.若a = 0，则a = 02、已知平行四边形ABCD的三个顶点A(-2,1)、B(-1,3)、C(3,4)，则顶点D的坐标为()A

13、. (1,2)B. (2,2)C. (2,1)D. (2,2)3、设I a I= m(m 0)，与a反向的单位向量是b，则a用b表示为 0 01 1 一 A. a = mb B. a = mbC. a = b D. a = b00m 0m 04、D、E、F分别为AABC的边BC、CA、AB上的中点，且BC = a，CA = b，下列命题中正确命题的个数)1*. - - 1 - 1*1、 AD = a 一 b ； BE = a + b ； CF = a + b ； f2f2f2f2 AD + BE + CF = 0。A.B. 2个C. 3个D. 4个5、化简：CE + AC DE AD =6、7

14、、已知向量a| = 3,b = (1,2)，且a丄b，则a的坐标 若 a 2 = 1, b 2 = 2, C b )a = 0，则力与方的夹角为.8、已知向量 a = 3e1 2e2, b = 4片 + e2,其中弓=(1,0), e2 = (0,1)(1) a - b; a + b 的值;(2) a与b的夹角。9、10、如图，设O为 AABC 内一点，PQ BC，且= t，OA = BCOC = c,试用a，b，c表示OP, OQ.D， B， B，D，5，0 ；6，()，(曇怎7，45 0,8， (1)a b=10,|a + b| =5 巨(2) 0 =arccos 旦2219, -110,

15、 Op = (1-1) a +tb , OQ = (1-1) a +t c如果向量a与b，c的夹角都是60，而b丄c，且I a I=I b I=I c I= 1，求(a 2c) (b + c)的值。平面向量测试题一、单项选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知e、e是两个单位向量，下列命题中正确的是 （）1 2A. e - e = 1B. e 丄 eC. e2 = e2D. e / e1 2 1 2 1 2 1 2C (4，5)，D 在 BC 上，且SAABC二3SAABD，2. 下列命题中：若a与b互为负向量，则a+b=O；若k为实数，且ka=O,则a=0或k=0；若 ab

16、 = O,则a=0或b=0；若a与b为平行的向量，则ab=lallbl ；若al=1,则a=1.其中假命题的 个数为（）A. y26.已知A. 3向量a=(1,A. (4, 8)a=(2.B. 2i21), b=(3,入),B.1C. 3込若（2ab）丄b，则入C.1 或 37.2），lbl=4lal，且a、b共线，则b可能是B. （4， 8） C. （4， 8）7 一D.22的值为()D.3 或 1( )D. (8， 4)8.已知 ABC中,A. 30AB = a，AC = b，a -b 0, b0）.设点P （a，b） 在y=f （x）的图象上，那么P点移动到点（）D. (0， 0)A.

17、（2a, 0）B. （2a, 2b） C. （0, 2b）A.(8,2运B. 0,空 C.4D.12.,的取值范围是 b2已知a (x,1)b (2,3x)那么一a” +二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13.向量 a=（2k+3,3k+2）与 b=（3, k）共线，则 k=14. 已知a = | 9,k,b =(k,8)且a与b为互相平行的向量，贝Ok的值为.k2丿15. 向量a=(1, 1),且a与(a+2b)的方向相同，则ab的取值范围是.16. |AB = 8,|AC| = 12,则BC取值范围用区间表示为.三、解答题(本大题共6小题，共74分)17. (本小题满分12

18、分)设O为原点，O = 61)oB =(-1,2)OC丄OBBC/OA，试求满足OD+ OA = OC的OD的坐标.18. (本小题满分12分)设e1和e2是两个单位向量，夹角是60，试求向量a = 2e1 + e2和b = -3e1 + 2e2的夹角.19. (本小题满分12分)已知AC = 5-6,BC = 42AC与AB的夹角为40，求AC- BC与CB的夹角1 BC- AC1 (长度保留四位有效数字，角度精确到).一、1. C2.C 3. B4.A 5. C6.C 7. B8.C 9. A10.A 11. C12.C二、13. 3 2114. 土 615. (- 1,+J16.(4,2

19、02三、17.解：设 OB = (x,y)贝0 OC = 0? +OX = (x + 3,y +1)BC = OC-OB = (x + 4,y -1 由OC 丄 OB得:-(x + 3)+ 2(y + 1)= 0,即x - 2y + 1 = 0由 BC/ 0?，得3 - 1)-(x + 4)= 0,即x - 3y + 7 = 0 由,联立，解得x = 11, y = 6,即OD坐标为61,6)|b|2 = 9|e I2 + 4|e I2 - 12e e1r12=9 + 4 -12 x 1 x 1 x 1 = 7.218-解:W = l2e1 + e2|,|b| = |-3e1 + 2e2l .

20、 |a 2 = 4|e I2 + |e I2 + 4e e1 2X 1 2 =4 +1 + 4 x 1 x 1 x 1 = 7,2/ a - b =(2e + e ) (- 3e + 2e )- 6|e I2 + e1 2 1 2 1 1=-6 +1 +故 e =120.4.25.6 x sin 40,sinB =sin 404.2=0.875.19.解：由正弦定理4C二JBC,得卫_sin B sin A sin B B = 59,因为 AC- BC与CB 夹角，为B角之补角，即 121. C = 180- 40 -59 = 81, |AB = . AC2 + BC2 - 2AC BC co

21、sC=U5.62 + 4.22 -2 5.6 4.2cos81=6.453.三角函数题解1. （2003上海春，15）把曲线ycosx+2yl=0先沿x轴向右平移个单位，再沿y轴向下平移1个单B. (y1) sinx+2y3=0D. (y+1)sinx+2y+1=0位，得到的曲线方程是()A. ( 1 y) sinx+2y3=0 C. (y+1) sinx+2y+1=01答案：C解析：将原方程整理为:1y= 2 + cos x因为要将原曲线向右、向下分别移动2个单位和11个单位，因此可得y=兀一1为所求方程.整理得（y+1） sinx+2y+1=0.2 + cos（ x -）评述:本题考查了曲

22、线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式如果对平移有深刻理解,可直接化为:（y+1） cos （x 2 ） +2 （y+1） 1=0，即得 C 选项.2. （2002春北京、安徽，5）若角a满足条件Sin2a 0，cosa sina 0，则a在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2. 答案：B 解析：sin2a =2sina cosa 0sina cosa 0即sina与cosa异号，.a在二、四象限，又cosa sina 0.cosa cosx成立的x取值范围为（）兀兀5兀A. (, )U(n ,)424B. (, n )4冗5兀C.(,)44冗5兀3兀D. (, n ),)4

23、42兀 5兀5答案：C解法一：作出在（0, 2n ）区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标4和 乂，由图46可得C答案.式f （x） cosxVO的解集是A. (0, 1)(2, 3)兀兀B. (1, 2 ) U( , 3)C. (0, 1)(2 , 3)D. (0, 1)U(1, 3)图46图47解法二：在单位圆上作出一、三象限的对角线，由正弦线、余弦线知应选C.（如图47）6. （2002北京，11）已知f （x）是定义在（0, 3）上的函数,f （x）的图象如图41所示，那么不等 ）6答案：C解析：解不等式f （x） cosxVOf (x) 0 f f (x) 0cos x 0或

24、 v1 x 3v兀或 x 兀12A.y=cos2xB.y=2lsinxl1C.y=(3)cosxD.y=cotx7答案：B解析:1 + cos 2 xA 项：y=cos2x=2,x=n，但在区间（2，n ）上为增函数.B项:作其图象48,由图象可得T=n且在区间（,n ）上为减函数.C项:兀1函数y=cosx在（刁，n ）区间上为减函数，数y= （ 3 ） x为减函数.因此y=1兀(3) cosx 在(2， n )0 x 1兀0 x 10x90, .B90A,.cosBVsinA, sinBcosA，故选 B.10. (2001 全国文，1) tan300 +cot405。的值是( )A.1+

25、、：3B.1 sin0，那么下列命题成立的是()A.若a、0是第一象限角，则cosa cos0 B.若a、0是第二象限角，则tana tan0C.若a、0是第三象限角，则cosa cos0 D.若a、0是第四象限角，则tana tan011.答案：D解析：因为在第一、三象限内正弦函数与余弦函数的增减性相反，所以可排除A、C,在第二象限内 正弦函数与正切函数的增减性也相反，所以排除B.只有在第四象限内，正弦函数与正切函数的增减性相同.12答案：D解析：因为函数y=xcosx是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A、C,当 xW(0,)时，y=xcosxVO.213. (1999 全国，4)函数

26、f (x) =Msin (wx+ P ) (w 0),在区间a, b上是增函数，且f (a)= M, f (b) =M,则函数g (x) =Mcos (wx+ P )在a, b()A.是增函数B.是减函数C.可以取得最大值一mD.可以取得最小值一m兀兀13.答案：C 解法一：由已知得M0,2 +2kn Wwx+ p W 込 +2kn (kZ )，故有g (x)在a.b上不是增函数，也不是减函数，且当wx+ P =2kn时g （x）可取到最大值M,答案为C.解法二：由题意知，可令W =1, p =0,区间a, b为,M=l,则 g （x）为cosx，由基本余弦函数的性质得答案为C.评述：本题主要

27、考查函数y=Asin （wx+ P ）的性质，兼考分析思维能力要求对基本函数的性质能熟 练运用（正用逆用）；解法二取特殊值可降低难度，简化命题.则a e(14. (1999 全国，11)若 sina tana cota0)C. (0,兀兀兀14.答案：B解法一：取a =可，7代入求出sina、tana、cota之值，易知a = 7适合，又3 66兀兀只有6 G（ 4，0），故答案为B.兀兀解法二：先由 sina tana 得：a 丘（2， 0），再由 tana cota 得:a 丘（一4 , 0）厶l评述：本题主要考查基本的三角函数的性质及相互关系，1995年、1997年曾出现此类题型，运用特

28、 殊值法求解较好.15. （1999全国文、理，5）若f （x） sinx是周期为n的奇函数，则f （x）可以是（）A.sinxB.cosxC.sin2xD.cos2x15.答案：B1解析：取f (x) =cosx，则f (x) sinx= 2 sin2x 为奇函数，且 T=n .是（评述：本题主要考查三角函数的奇偶与倍角公式.16. （1998 全国，6）已知点 P （sina cosa , tana ）在第一象限，则在0, 2n 内a的取值范围3兀(才,n)A.(3兀U(n ,423兀5兀C.,U(B 解法一：P (sina cosa , tana )在第一象限，有tana 0,16答案：

29、A、C、D中都存在使tana 0是图中阴影部分，又兀兀5兀tana 0可得- -或疗cos2x，则x的取值范围是（）3兀兀5A.xl2kn 4 n x2kn +，kwZB.xl2kn + 4 x2kn +4 n，kZ兀兀兀3C.x|kn xkn +， kwZD.x|kn + xkn + 4n， kwZ兀318.答案：D 解析一：由已知可得 cos2x=cos2xsin2x0，所以 2kn + 2x2kn + n， kZ.解得 k兀3n + 4 xkn + 4n，kZ （注：此题也可用降幕公式转化为cos2xcos2x 得 sin2x1 sin2x， sin2x2 .因此有 sinx- 或 si

30、nx.由正弦函数的图兀35757象(或单位圆)得 2kn + x2kn + 4 n 或 2kn + 4n x2kn + 4 n (kZ), 2kn +4 n x2kn +4 n兀3兀兀可写作（2k+1） n + x （2k+1） n + ，2k为偶数，2k+1为奇数，不等式的解可以写作nn + xn抚n +才，nWZ.评述：本题考查三角函数的图象和基本性质，应注意三角公式的逆向使用.19. （1995全国文，7）使sinxWcosx成立的x的一个变化区间是（）冗 3兀C. 4，TD. 0, n 19.答案：Ass兀兀5兀解法一：由已知得：v2 sin (x 4 )3 所以 2kn +n 也 4

31、 W2E +2n，2kn + 4 0W解法二:3兀令 k= 1 得WxW ，选 A.2兀2兀J32兀1取工=可，有 sin = _2，C0S丁 二一，排除 C、严JsiiTC J03L；4y=ZQSnD,取 x=图 411有 sin 3,cos 1231=2，排除B，故选A.解法三：设y=sinx，y=cosx.在同一坐标系中作出两函数图象如图411，观 察知答案为A.解法四：画出单位圆，如图412,若sinxWcosx，显然应是图中阴影部分，故 应选A.评述：本题主要考查正弦函数、余弦函数的性质和图象，属基本求范围题，入 手容易，方法较灵活，排除、数形结合皆可运用.图 41220. (199

32、5 全国，3)函数 y=4sin (3x+ 4)+ 3cos (3x+ )的最小正周期是( )A.6nB.2nD.320.答案:C43解析：y = 4sin (3x+4 )+ 3cos (3x+ 4 )=5 5 sin(3x+ )+ 5 cos(3x+ ) =5sin (3xC可3兀兀2兀=4)所以函数y=sin (3x+ 4)+3cos (3x+ )的最小正周期是T=-亍.故应选C.评述:本题考查了 asina +bcosa=、卫 2 + b 2 sin (a + P )，其中 sin Pb!x-a 2 + b 2，cos Pa，及正弦函数的周期性. i； a 2 + b 2521. (19

33、95全国，9)已知&是第三象限角，若sin40 +cos40 = 9，那么sin20等于()A.2迈T22C.3DD. 3521.答案：A 解法一：将原式配方得(sin2 +cos20 ) 22sin20 cos2。= 9158于是1 sin220 = 9， sin220 = 9，由已知，0在第三象限,3兀故 2kn +n 0 2kn + - 从而 4kn +2n 20 4kn +3n故20在第一、二象限，所以sin20 =会2，故应选A.3兀解法二：由 2kn +n 0 2kn + 三，有 4kn +2n 0，应排除 B、2罷45D,验证 A、C,由 sin20 =3，得 2sin20 co

34、s20 = 9，并与 sin40 +cos40 = 9 相加得(sin20 +cos2Q ） 2=1成立，故选A.g对称，那么a等于（）评述：本题考查了学生应用正余弦的平方关系配方的能力及正弦函数值在各象限的符号的判别22. （1994全国文，14）如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x= C.lD.-122.答案:D解析：函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x= g对称,表明：当x=时，函数取得最大值I i 兀：a2 +1，或取得最小值一：a2 +1，所以有sin ( ) +a cos ()2=a2+1,解得 a= 1.评述：本题主要考查函数y=asinx+bcosx

35、的图象的对称性及其最值公式.23. （1994全国，4）设0是第二象限角，则必有（0 0A.tan 2 cot0 0B. tan cos20 0D.sin cos 57743汶图 413兀023.答案：A解法一：因为&为第二象限角，则2kn +込cot 2 .兀兀 0解法二：由已知得：2kn + 0 2kn +n， kn + 2 兀5兀 03nkn + ， k 为奇数时，2nn H q cot-，选 A.I厶厶厶厶评述：本题主要考查象限角的概念和三角函数概念，高于课本.兀L24. (2002上海春，9)若f(x)=2sinw x (0W V1)在区间0, 3 上的最大值是*2 ,则 =32兀2

36、4答案:4解析:V02n.f (x)在0,3区间上为单调递增函数3兀3.*./ (x)=f ( max3)即 2sin 32又,V0W 1解得W =426725. （2002北京文，13) sin5 n，cos 5 n，tan 5 n从小到大的顺序是.62兀7兀6兀7兀2兀25.答案:cos5 n Vsin- Vtan5解析：cos-0， tan- =tan_5-*.*0xx2兀2兀7兀2兀6兀sinx0 .：tan- sin-0.tan- sin- Xos-5-sin 7。+ cosl5。sin 8。26. (1997 全国，18) cos7。 sinl5。sin8。的值为26.答案：2 I

37、3sin7 + cos15。sin 8。 sin(15。 8。)+ cos15。sin 8。 sin15。cos8。解析：=解析：cos7。 sin15。sin8。cos(15o 8。) sin15。sin8。cos15。cos8。二 tanl5 = 1 皿30。= 2-打sin 30。评述：本题重点考查两角差的三角公式、积化和差公式、半角公式等多个知识点27. (1996 全国，18) tan20 +tan40 + p 3 tan20 tan40 的值是tan 20。+ tan 40。27.答案：J3 解析：tan60 =，.:tan20 +tan40 =：3 v3tan20 tan40，1

38、 tan 20。tan 40。.tan20 +tan40 +：3tan20 tan40 =*328. （1995全国理，18）函数y=sin （x石）cosx的最小值是3 兀1兀兀1兀128.答案： 一彳 解析：y=sin (x) cosx=sin (2x) sin = sin (2x) 4 6266262兀当 sin （2x ） = 1 时,634.1 1函数有最小值，y最示2 ( 1 2)=评述：本题考查了积化和差公式和正弦函数有界性(或值域).x x29. (1995上海，17)函数y = sin2 +cos2在(Tn , 2n )内的递增区间是3兀兀xx；x 兀兀 x 兀29.答案：2

39、，2 解析：y = sin 2 +cos ? = v2 sin （ + ），当 2kn ? W ? + 才 W2kn兀3兀兀 兀+ （kEZ）时，函数递增，此时 4kn WxW4kn + （kZ）,只有 k=0 时，,呈（一2n，2n ）.130. （1994 全国，18）已知 sin。+cos0 = 5，Q E（0，n ），则 cot 的值是.330.答案：一4解法一：设法求出sin和cos， cot便可求了，为此先求出sin cos的值.1将已知等式两边平方得l+2sin cos = 251变形得 12sin cos =2 25，即49（sin cos ） 2= 251又 sin +cos

40、 = 5， E（0， n ）则2 3兀4，如图 414所以 sin cos4于是 sin = 5， cos3=5， cot =34.解法二：将已知等式平方变形得sincos =1225， 又 e（0， n ）,有 cos 0sin，且 cos43=5，得 cot = 4.1123、sin是二次方程x2 5x 25 =0的两个根，故有cos = 5， sin评述：本题通过考查三角函数的求值考查思维能力和运算能力，方法较灵活1J331. （2000 全国理，17）已知函数y= 2cos2x sinxcosx+1, xER.(1) 当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；(2) 该函数的图象可由y=sinx (xER)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？1 311聚31.解：(1) y= cos2x+sinxcosx+1=(2cos2x1)+= (