《补形法求解立体几何题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《补形法求解立体几何题（6页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、补形法求解立体几何题从一道高考题谈起竺美月奉化市武岭中学在对2006江西省高考理科第20题进行例题教学时，因为没有现成的两两 相互垂直的三条直线，需要添加辅助线来建立空间直角坐标系，相当一部分同学 会感到困难.其实在求解某些立体几何问题时，若能把所求解的几何体补形成特 殊的几何体，则可使求解问题的难度大大降低.下面举例说明之，意在强调教师 在教学过程中补上“补形法求解立体几何题”一课的重要性，以达到拓宽学生思 维的目的.在三棱锥A - BCD中，侧例1（ 2006江西省高考理科第20题）：如图（1）DC的斜边，AD =、密，面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共BD二CD二1，另一个侧
2、面是正三角形.A求二面角B - AC - D的大小.（1）求证：AD丄BC.角，若存在，确定E的位置；若不存在，说明理由.（3）在直线AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30。分析：从题目的条件可以得出AB = AC = BC = 41，因此此三棱锥A-BCD的各棱长可以看作棱长为1的正方体的棱长、面 对角线和体对角线，能考虑到这个特殊的边 长关系，把三棱锥A - BCD的补形成一个正 方体（四个顶点放到正方体的顶点上去）， 如图（2），借助正方体来建立空间直角坐标 系，用向量法来解题，可使求解的难度大大 降低.解：由已知得：AB = AC = BC =、迂，考虑 到三棱锥 A-BCD 边
3、的特殊性，把三棱锥 A-BCD的四个顶点放到正方体的顶点上去，建立空间直角坐标系B-xyz，如图 则 A(1,0,1) 、 B(0,0,0) 、 C(1,1,0) 、 D(0,1,0)(1) AD = (-1,1,-1), BC = (1,1,0)0 AD BC = 0 , /. AD 丄 BC 即 AD 丄 BCAC = (0,1,-1)，设n = (x ,y ,z )为面ABC的法向量，则n丄AC,力丄BC1 1 1 1 1n ac=o, n bc=o11y - z = 0 I z = y11 討 11 ，x + y = 0 I x =- y1 1 1 1取 y = 1，则 n = (-1
4、,1,1)11设 n = (x , y2n AC = 0, n AD = 0222 2,z2)为面ADC的法向量，则n丄AC,n丄AD2y -z =0Iz =y2 2 2 2，-x + y - z = 0 I x = 02 2 2 2n n 2则 n = (0,1,1)2= 柯 = TOT=即所求二面角B - AC - D的大小为arccos还3(3) 假设存在一点 E ，使ED与面BCD成30O角，设E(l,y,l-y)，则ED = (-1,1 - y, y -1),n = (0,0,1)为面 BCD 的法向量，cos=sin30o =1y -1y2 - 4y + 3 x1此时CE=1例2
5、(2003全国高考题12)如图(3), 个四面体的所有棱长都为、庁，四个 顶点在同一个球面上，则此球的表面积为( )A. 3兀B. 4兀C. 3、.；3兀D. 6兀分析：此四面体为正四面体，将正四面体补形 形成一个正方体，如图(4)，则正四面体的棱 长为正方体的的面对角线，所以正方体的棱长 为 1，正四面体体的外接球即为正方体的外接球，而正方体外接球的中心为体对角线的的中点，外接球的直径为体对角线，所以外接球的半径R32S= 4兀R 2 = 3兀球面选(A)AC例3：（2006湖南高考理9），棱长为2 的正四面体的四个顶点都在同一球面上，若过该球球心的一个截面如图（5），则图中三角形（正四面体
6、的截面）的面积为（ ）A.空2B. 3C.迈D.叮32 2分析：将棱长为2的正四面体补形成一个正方体，如图（6），则正方体的棱长为.2,正四面体的外接球 即为正方体的外接球，而正方体外接球的中 心为体对角线的的中点，BM = CM = 3 ABCM在正方体的对角面上，ABCM的BC 边上的高即为正方体的棱长.S截面r 2，选（C）AC例4 :如图（7）,三棱锥P - ABC中，PA、PB、PC两两互相垂直，PA=1 PB=PC=、Ji,则空间一点O到点P、A、B、C等距离d的值为（）A.B.C分析：空间一点O到点P、A、B、C等距离， 即点O为三棱锥P- ABC的外接球的球心，所 求的距离d为
7、三棱锥P- ABC的外接球的半 径，将三棱锥 P-ABC 补形，使三棱锥 P- ABC的四个顶点在长方体的顶点上，则三 棱锥P- ABC的外接球的球心即为长方体的 外接球的球心，而长方体的外接球的球心为长 方体的体对角线的中点，长方体的外接球的直 径为长方体的体对角线，所以三棱锥P- ABC的外接球的半径R二*亨，选C).例5：如图（8）,点P在正方形ABCD所在的平面外，PD丄面ABCD，PD=AD，7/M/、/D1 /；Z/PCB则PA与BD所成角的度数为分析：将四棱锥P-ABCD补形成正方体，如右 图，则PA与BD所成角即PA与PM所成角，而A PAM为等边A ,所求角为60o.注：本文发表于高中数学教与学2007年第7期
补形法求解立体几何题
