线性代数公式.pdf

《线性代数公式.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数公式.pdf（28页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、 线性代数 基本运算 A B B A + = + ( ) ( ) C B A C B A + + = + + ( ) cB cA B A c + = + ( ) dA cA A d c + = + ( ) ( )A cd dA c = 0 0 = = c cA 或 0 = A 。 ( ) A A T T = ( ) T T T B A B A = ( ) ( ) T T A c cA = 。 ( ) T T T A B AB = ( ) ( ) ( ) 2 1 21 1 2 = = n n C n n n n n A a A a A a D 2 2 22 22 21 21 + + + = 转置

2、值不变 A A T = 逆值变 A A 1 1 = A c cA n = , , , , , , 2 1 2 1 + = + ( ) 3 2 1 , , = A ，3 阶 矩阵 ( ) 3 2 1 , , = B B A B A + + ( ) 3 3 2 2 1 1 , , + + + = + B A 3 3 2 2 1 1 , , + + + = + B A B A B A B A = = 0 0 ( ) ( ) 1 , = c j i E 有关乘法 的 基本运算 nj in j i j i ij b a b a b a C + + + = 2 2 1 1 线性性 质 ( ) B A B

3、A B A A 2 1 2 1 + = + ， ( ) 2 1 2 1 AB AB B B A + = + ( ) ( ) ( ) cB A AB c B cA = = 结合律 ( ) ( ) BC A C AB = ( ) T T T A B AB = B A AB = l k l k A A A + = ( ) kl l k A A = ( ) k k k B A AB = 不一定 成立！ A AE = ， A EA = ( ) kA kE A = ， ( ) kA A kE = E BA E AB = = 与数的乘 法 的不同之 处 ( ) k k k B A AB = 不一定成立 ！

4、无交换律 因式分解障碍是交换性 一 个矩阵 A 的每个多项式可以因式分解，例如 ( ) ( ) E A E A E A A + = 3 3 2 2 无 消去律 （ 矩 阵和矩阵相乘 ） 当 0 = AB 时 0 = / A 或 0 = B 由 0 A 和 0 0 = / = B AB 由 0 A 时 C B AC AB = / = （无左消去律） 特别的 设 A 可逆，则 A 有消去律 。 左 消去律： C B AC AB = = 。 右消去 律： C B CA BA = = 。 如果 A 列满秩，则 A 有左消去律，即 0 0 = = B AB C B AC AB = = 可逆矩阵 的 性质

5、 i ）当 A 可逆时， T A 也可逆，且 ( ) ( ) T T A A 1 1 = 。 k A 也可逆，且 ( ) ( ) k k A A 1 1 = 。 数 0 c ， cA 也可逆， ( ) 1 1 1 = A c cA 。 ii） A ， B 是两个 n 阶可逆矩阵 AB 也可逆，且 ( ) 1 1 1 = A B AB 。 推 论： 设 A ， B 是两个 n 阶矩阵，则 E BA E AB = = 命 题： 初等矩阵都可逆，且 ( ) ( ) ( ) j i E j i E , , 1 = ( ) ( ) ( ) = c i E c i E 1 1 ( ) ( ) ( ) (

6、) ( ) c j i E c j i E = , , 1 命 题： 准对角矩阵 kk A A A A 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 22 11 = 可逆 每个 ii A 都可逆，记 1 1 22 1 11 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = kk A A A A 伴随矩阵 的 基本性质 ： E A A A AA = = * * 当 A 可逆时， E A A A = * 得 A A A * 1 = ， （求逆矩阵 的伴随矩阵法） 且得： ( ) ( ) = = 1 1 * A A A A ( ) ( ) = = A A A A A 1 1 1 1 * 伴随

7、矩 阵 的 其他性 质 1 * = n A A , 1 * = A A A ( ) ( ) , * * T T A A = ( ) * * 1 A c cA n = , ( ) *, * * A B AB = ( ) ( ) k k A A * * = ， ( ) A A A n 2 * * = 。 2 = n 时， ( ) A A = * * = d c b a A* 关于 矩阵右上 肩 记号 ： T ， k ， 1 ，* i) 任何两个的 次序可交换， 如 ( ) ( ) T T A A * * = ， ( ) ( )* * 1 1 = A A 等 ii) ( ) ( ) 1 1 1 ,

8、= = A B AB A B AB T T T ， ( ) * * * A B AB = 但 ( ) k k k A B AB = 不一定成立！ 线性表示 s , , , 0 2 1 s i , , , 2 1 = + + + s s s x x x 2 2 1 1 2 1 , , , 有解 ( ) = x s , , , 2 1 有解 ( ) ( ) T s x x x , , 1 = = Ax 有解，即 可用 A 的列向量组表示 ( ) s r r r C AB , , , 2 1 = = ， ( ) n A , , , 2 1 = ， 则 n s r r r , , , , , , 2

9、1 2 1 。 s t , , , , , , 2 1 2 1 ， 则存在矩阵C ，使得 ( ) ( )C s t , , , , , , 2 1 2 1 = 线性表示关 系有传递性 当 p s t r r r , , , , , , , , , 2 1 2 1 2 1 ， 则 p t r r r , , , , , , 2 1 2 1 。 等价关系：如果 s , , , 2 1 与 t , , , 2 1 互相可表示 t s , , , , , , 2 1 2 1 记作 t s , , , , , , 2 1 2 1 。 线性相关 1 = s ，单个向量 ， 0 = x 相关 0 = 2 =

10、 s ， 2 1 , 相关 对应分量成比例 2 1 , 相关 n n b a b a b a : : : 2 2 1 1 = = = 向量 个数 s = 维数 n ，则 n 1 , , 线性相（无）关 ( )0 1 = n ( ) n A , , , 2 1 = ， 0 = Ax 有非零解 0 = A 如果 n s ，则 s , , , 2 1 一定相关 0 = Ax 的方程个数 ，则 t , , 1 一定线性相关。 证明 ：记 ( ) s A , , 1 = ， ( ) t B , , 1 = ， 则存在 t s 矩阵C ，使得 AC B = 。 0 = Cx 有 s 个方程，t 个未知数，

11、 t s ，有非零解 ， 0 = C 。 则 0 = = AC B ，即 也是 0 = Bx 的非零解，从而 t , , 1 线性相关。 各性质的 逆 否形式 如果 s , , , 2 1 无关，则 n s 。 如果 s , , , 2 1 有相关的部分组，则它自己一定也相关。 如果 s 1 无关，而 s , , 1 / ，则 s , , 1 无关。 如果 s t 1 1 ， t 1 无关，则 s t 。 推论： 若两个无关向量组 s 1 与 t 1 等价，则 t s = 。 极大无关 组 一个线性无关部分组 ( ) I ，若 ( ) I # 等于秩 ( ) I 6 4 2 1 , , , ，

12、 ( ) I 就一定是极大无关组 s , , , 2 1 无关 ( ) s s = , , , 2 1 ( ) ( ) s s s , , , , , , , , , 1 2 1 2 1 = 另一 种说法： 取 s , , , 2 1 的一个极大无关组 ( ) I ( ) I 也是 , , , , 2 1 s 的极大无关组 ( ) , I 相关。 证 明： ( ) ( ) , , , 1 I I s 相关。 ( ) ( ) ( ) + = s s s s s , , / , 1 , , , , , , , , 1 1 1 1 1 可用 s , , 1 唯一表示 ( ) ( ) s s s =

13、= , , , , , 1 1 ( ) ( ) s t s s t , , , , , , , , , , , 1 1 1 1 1 = ( ) ( ) s t , , , , 1 1 t s , , , , 1 1 ( ) ( ) ( ) t t s s , , , , , 1 1 1 1 = = 矩阵的秩 的 简单性质 ( ) n m A r , min 0 ( ) 0 0 = = A A r A 行满秩： ( ) m A r = A 列满秩： ( ) n A r = n 阶矩阵 A 满秩： ( ) n A r = A 满秩 A 的行（列）向量组线性无关 0 A A 可逆 0 = Ax 只有

14、零解， = Ax 唯一解。 矩阵在运 算 中秩的变 化 初等变换保持矩阵的秩 ( ) ( ) A r A r T = 0 c 时， ( ) ( ) A r cA r = ( ) ( ) ( ) B r A r B A r + ( ) ( ) ( ) B r A r AB r , min A 可逆时， ( ) ( ) B r AB r = 弱 化条件：如果 A 列满秩，则 ( ) ( ) B AB = 证 ：下面证 0 = ABx 与 0 = Bx 同解。 是 0 = ABx 的解 0 = AB = 0 B 是 0 = Bx 的解 B 可逆时， ( ) ( ) A r AB r = 若 0 =

15、AB ，则 ( ) ( ) n B r A r + （ A 的列数， B 的行数） A 列满秩时 ( ) ( ) B r AB r = B 行满秩时 ( ) ( ) A r AB r = ( ) ( ) ( ) B r A r n AB r + + 解的性质 1 0 = Ax 的解的性质。 如果 e , , , 2 1 是一组解， 则它们的任意线性组合 e e c c c + + + 2 2 1 1 一定也 是解。 ( ) 0 0 , 2 2 1 1 = + + + = e e i i c c c A A 2 ( ) 0 = Ax 如果 e , , , 2 1 是 = Ax 的一组解，则 e

16、e c c c + + + 2 2 1 1 也是 = Ax 的解 1 2 1 = + + + e c c c e e c c c + + + 2 2 1 1 是 0 = Ax 的解 0 2 1 = + + + e c c c i A i = ( ) e e e e A c A c A c c c c A + + + = + + + 2 2 1 1 2 2 1 1 ( ) e c c c + + + = 2 1 特别的： 当 2 1 , 是 = Ax 的两个解时， 2 1 是 0 = Ax 的解 如果 0 是 = Ax 的解，则 n 维向量 也是 = Ax 的解 0 是 0 = Ax 的解。 解

17、的情况 判 别 方程： = Ax ，即 = + + + n n x x x 2 2 1 1 有解 n , , , 2 1 ( ) ( ) A A = | ( ) ( ) n n , , , , , , , 2 1 2 1 = 无解 ( ) ( ) A A | 唯一 解 ( ) ( ) n A A = = | 无穷多 解 ( ) ( ) n A A = | 方 程个数 m ： ( ) ( ) m A m A , | 当 ( ) m A = 时， ( ) m A = | ，有解 当 n m 时， ( ) n A ，不会是唯一解 对 于齐次 线 性 方程组 0 = Ax ， 只有 零解 ( ) n

18、A = （即 A 列满秩） （有 非零解 ( ) n A ） 特征值特 征 向量 是 A 的特征值 是 A 的特征多项式 A xE 的根。 两种 特 殊情形： （1 ） A 是上（下）三角矩阵，对角矩阵时，特征值即对角线上的元素。 = 3 2 1 0 0 0 * * A ( ) ( ) ( ) 3 2 1 3 2 1 0 0 0 * * = = x x x x x x A xE （2 ） ( ) 1 = A r 时： A 的特征值为 ( ) A tr , 0 , , 0 , 0 特征值的 性 质 命题： n 阶矩阵 A 的特征值 的重数 ( ) A E r n 命题： 设 A 的特征值为 n

19、, , , 2 1 ，则 A n = 2 1 ( ) A tr n = + + + 2 1 命题： 设 是 A 的特征向量，特征值为 ，即 = A ，则 对于 A 的每个多项式 ( ) A f ， ( ) ( ) x f A f = 当 A 可逆时， 1 1 = A ， | | * A A = 命题： 设 A 的特征值为 n , , , 2 1 ，则 ( ) A f 的特征值为 ( ) ( ) ( ) n f f f , , , 2 1 A 可逆时， 1 A 的特征值为 n 1 , , 1 , 1 2 1 * A 的特征值为 n A A A 2 1 | | , , | | , | | T A

20、的特征值也是 n , , , 2 1 特征值的 应 用 求行列 式 n A , , , | | 2 1 = 判别可 逆 性 是 A 的特征值 E A A E 0 = 不可逆 E A 可逆 不是 A 的特征值。 当 ( ) 0 = A f 时，如果 ( ) 0 c f ，则 cE A 可逆 若 是 A 的特征值，则 ( ) f 是 ( ) A f 的特征值 ( ) 0 = f 。 ( ) c c f 0 不是 A 的特征值 AcE 可逆。 n 阶矩阵的相 似关系 当 UA AU = 时， A B = ，而 UA AU 时， A B 。 相似关 系有 i ） 对 称性 ： A B B A B AU

21、 U = 1 ，则 1 = UBU A ii ）有传 递性 ： B A ， C B ，则 C A B AU U = 1 ， C BV V = 1 ，则 ( ) ( ) C BV V AUV U V UV A UV = = = 1 1 1 1 命题 当 B A 时， A 和 B 有许多相同的性质 B A = ( ) ( ) B A = A ， B 的特征多项式相同，从而特征值完全一致。 A 与 B 的特征向量的关系： 是 A 的属于 的特征向量 1 U 是 B 的属于 的特征向量。 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 = = = = U AUU U U A U U U B A 正

22、定二次 型 与正定矩 阵 性质与判 别 可逆线性变换替换保持正定性 ( ) n x x x f , , , 2 1 变为 ( ) n y y y g , , , 2 1 ，则它们同时正定或同时不正定 B A ，则 A ， B 同时正定，同时不正定。 例如 AC C B T = 。如果 A 正定，则对每个 0 x ( ) 0 = = ACx Cx ACx C x Bx x T T T T （C 可逆， 0 x ， 0 Cx ！） 我 们给 出关于正 定 的以下性 质 A 正定 E A 存在实可逆矩阵C ， C C A T = 。 A 的正惯性指数 n = 。 A 的特征值全大于 0 。 A 的每

23、个顺序主子式全大于 0 。 判断 A 正 定的三种 方 法： 顺 序主子式法。 特 征值法。 定 义法。 基本概念 对称 矩阵 A A T = 。 反对 称矩 阵 A A T = 。 简单阶梯 形 矩阵 ：台角 位置的元素都为 1 ，台 角正上方的元素都为 0 。 如果 A 是一个 n 阶矩阵， A 是阶梯形矩阵 A 是上三角矩阵，反之不一定 矩阵 消 元法： （ 解的 情况 ） 写出 增广矩阵 ( ) A ，用初等行变换化 ( ) A 为阶梯形矩阵 ( ) B 。 用 ( ) B 判别解的情况。 i） 如果 ( ) B 最下面的非零行为 ( ) d 0 , , 0 ，则无解，否则有解。 ii

24、） 如果有解，记 是 ( ) B 的非零行数，则 n = 时唯一解。 n 时无穷多解。 iii ） 唯一解求解的方法（初等变换法） 去掉 ( ) B 的零行， 得 ( ) 0 0 B ，它 是 ( ) c n n + 矩阵， 0 B 是 n 阶梯形矩阵， 从而是上三 角 矩阵。 则 0 n n b ii n n b b 0 1 1 都不为 0 。 ( ) ( ) ( ) E r B A 行 行 就是解。 一个 n 阶行列 式 nn n n n n a a a a a a a a a 2 1 2 22 21 1 12 11 的值： 是 ! n 项的代数和 每一 项是 n 个元素的乘积， 它们共有

25、 ! n 项 n nj j j a a a 2 1 2 1 其中 n j j j 2 1 是 n , , 2 , 1 的一个全 排列。 n nj j a a 1 1 前 面乘的应为 ( ) ( ) n j j j 2 1 1 ( ) n j j j 2 1 的逆序数 ( ) ( ) = n n n j j j nj j j j j j a a a 2 1 2 1 2 1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 1 21 1 2 = = n n C n n n 代数余子 式 ij M 为 ij a 的余子式。 ( ) ij j i ij M A + = 1 定理： 一个行列式的值 D 等于它的某

26、一行（列） ，各元素 与各自代数余子式乘积之和。 n n A a A a A a D 2 2 22 22 21 21 + + + = 一行（ 列）的元素乘上另一行（列）的相应元素代数余子式之和为 0 。 范 德蒙行 列 式 = j i i j n a a a a a ) ( 1 1 1 1 1 2 n C 个 乘法 相关 AB 的 ( ) j i, 位元素是 A 的第i 行和 B 的第 j 列对应元素乘积之和。 nj in j i j i ij b a b a b a C + + + = 2 2 1 1 乘积 矩 阵的列向 量 与行向量 （1 ）设 n m 矩阵 ( ) n A , , , 2

27、 1 = ， n 维列向量 ( ) T n b b b , , , 2 1 = ，则 n n b b b A + + + = 2 2 1 1 矩 阵乘法应 用 于方程组 方程组的矩阵形式 = Ax ， ( ) ( ) T m b b b , , , 2 1 = 方程组的向量形式 = + + + n n x x x 2 2 1 1 （2 ）设 C AB = ， ( ) s A A A AB , , , 2 1 = n ni i i i i b b b A r + + + = = 2 2 1 1 AB 的第i 个列向 量是 A 的列向 量组的线性 组合，组合 系数是 B 的第i 个列向量的各 分

28、量。 AB 的第i 个行向 量是 B 的行向 量组的线性 组合，组合 系数是 A 的第i 个行向量的各 分 量。 矩 阵分解 当矩 阵 C 的每个列向量都是 A 的列向量的线性组合时， 可把C 分解为 A 与一个矩阵 B 的乘积 特别的在 有 关对角矩 阵 的乘法中 的 若干问题 ( ) n n 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , , , 2 1 2 1 ( ) n n , , , 2 2 1 1 = 对角矩阵从右侧乘一矩阵 A ，即用对角线上的元素依次乘 A 的各列向量 对角矩阵从左侧乘一矩阵 A ，即用对角线上的元素依次乘 A 的各行向量 于是 A AE = ， A EA

29、= ( ) kA kE A = ， ( ) kA A kE = 两个对角矩阵相乘只须把对角线上对应元素相乘 对角矩阵 的 k 次方幂只须把每个对角线上元素作 k 次方幂 对 一个 n 阶矩阵 A ，规定 ( ) A tr 为 A 的对角线上元素之和称为 A 的迹数。 于是 ( ) ( ) T k T k T 1 = ( ) T k T tr 1 = ( ) T T tr = 其他形式方阵的高次幂也有规律 例如： = 1 0 1 0 2 0 1 0 1 A 初等矩阵 及 其在乘法 中 的作用 （1 ） ( ) j i E , ：交换 E 的第 j i, 两行或交换 E 的第 j i, 两列 （2

30、 ） ( ) ) (c i E ：用数 ( ) 0 c 乘 E 的第i 行或第i 列 （3 ） ( ) ) ( , c j i E ：把 E 的第 j 行的 c 倍加到第i 行上，或把 E 的第i 列的 c 倍加到第 j 列上。 初等 矩阵从左（右）侧乘一个矩阵 A 等同于对 A 作一次相当的初等行（列）变换 乘 法的 分块法则 一般法 则： 在计算两个矩阵 A 和 B 的乘积时， 可以先把 A 和 B 用纵横线分割成若干小矩阵来进 行，要求 A 的纵向分割与 B 的横向分割一致。 两种 常 用的情况 （1 ） B A, 都分成 4 块 = 22 21 12 11 A A A A A ， =

31、22 21 12 11 B B B B B 其中 1 i A 的列数和 j B 1 的行数相等， 2 i A 的列数和 j B 2 的行数相关。 + + + + = 22 22 12 21 21 22 11 21 22 12 12 11 21 12 11 11 B A B A B A A A B A B A B A B A AB （2 ）准 对角矩阵 kk A A A 0 0 0 0 0 0 22 11 = kk kk kk kk B A B A B A B B B A A A 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 22 22 11 11 22 11 22 1

32、1 矩阵方程 与 可逆矩阵 两 类基本 的 矩 阵方程 （ 都 需求 A 是方阵，且 0 A ） ( ) B Ax I = ( ) B xA II = （I ） 的解法： ( ) ( ) x E B A 行 （II）的解法，先化为 T T T B x A = 。 ( ) ( ) T T T x E B A 。 通过逆求解 ： B Ax = ， B A x 1 = 可逆 矩阵 及 其 逆矩阵 定义： 设 A 是 n 阶矩阵， 如果存在 n 阶矩阵 H ，使 得 E AH = ，且 E HA = ，则 称 A 是可逆 矩 阵，称 H 是 A 的逆矩阵，证作 1 A 。 定理： n 阶矩阵 A 可逆

33、 0 A 求 1 A 的方 程 （初等 变换法） ( ) ( ) 1 A E E A 行 伴随矩 阵 ( ) T ij nn n n n n A A A A A A A A A A A = = 2 1 2 22 12 1 21 11 * 线 性表示 可以用 s , , , 2 1 线性表示，即 可以表示为 s , , , 2 1 的线性组合， 也就是存在 s c c c , , , 2 1 使得 = + + + s s c c c 2 2 1 1 记号： s , , , 2 1 线性 相关 性 线 性相关：存在向量 i 可用其它向量 s i i , , , , , 1 1 1 + 线性表示。

34、线 性无关：每个向量 i 都不能用其它向量线性表示 定义 ： 如果存在不全为 0 的 s c c c , , , 2 1 ，使得 0 2 2 1 1 = + + + s s c c c 则称 s , , , 2 1 线性相关，否则称 s , , , 2 1 线性无关。 即： s , , , 2 1 线性相（无）关 0 1 1 = + + s s x x 有（无）非零解 ( ) 0 , , , 2 1 = x s 有（无）非零解 极大 无 关组和秩 定义： s , , , 2 1 的一个部分组 ( ) I 称为它的一个极大无关组，如果满足： i ） ( ) I 线性无关。 ii ） ( ) I

35、再扩大就相关。 ( ) I s , , , 2 1 ( ) ( ) I II s 1 定义：规定 s , , , 2 1 的秩 ( ) ( ) I s # , , , 2 1 = 。 如果 s , , , 2 1 每个元素都是零向量，则规定其秩为 0 。 ( ) s n s , min , , 0 1 有 相同 线性关系 的 向量组 定义 ：两个向量若有相同个数的向量： s s , , , , , , , 2 1 2 1 ，并且向量方程 0 , 2 2 1 1 = + + + s s x x x 与 0 2 2 1 1 = + + + s s x x x 同解，则称它们有相同的线性关 系。 对

36、 应的部分组有一致的相关性。 4 2 1 , , 的对应部分组 4 2 1 , , ， 若 4 2 1 , , 相关，有不全为 0 的 4 2 1 , , c c c 使得 0 4 4 2 2 1 1 = + + c c c ， 即 ( ) 0 , , 0 , , 0 , , 4 2 1 c c c 是 0 2 2 1 1 = + + + s s x x x 的解， 从 而也是 0 2 2 1 1 = + + + s s x x x 的解，则有 0 4 4 2 2 1 1 = + + c c c ， 3 2 1 , , 也相关。 极 大无关组相对应，从而秩相等。 有 一致的内在线表示关系。 设

37、： ( ) s A , , , 2 1 = ， ( ) s B , , , 2 1 = ，则 0 2 2 1 1 = + + + s s x x x 即 0 = Ax ， 0 2 2 1 1 = + + + s s x x x 即 0 = Bx 。 s , , , 2 1 与 s , , , 2 1 有相同的线性关系即 0 = Ax 与 0 = Bx 同解。 反之， 当 0 = Ax 与 0 = Bx 同解时， A 和 B 的列向量组有相同的线性关系。 矩阵 的秩 定理： 矩阵 A 的行向量组的秩= 列 向量组的秩 规定 ( ) = A r 行（列）向量组的秩。 ( ) A r 的计算 ：用初

38、等变换化 A 为阶梯形矩阵 B ，则 B 的非零行数即 ( ) A r 。 命题： ( ) A A r = 的非零子式阶数的最大值。 方程组的 表 达形式 1 = + + + = + + + = + + + m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 2 = Ax 是解 = A 3 = + + + n n x x x 2 2 1 1 有解 n , , , 2 1 基础解系 和 通解 1 0 = Ax 有非 零解时的 基 础解系 e , , , 2

39、 1 是 0 = Ax 的基础解系的条件： 每个 i 都是 0 = Ax 的解 e , , , 2 1 线性无关 0 = Ax 的每个解 e , , , 2 1 / ( ) A n l = 通解 如果 e , , , 2 1 是 0 = Ax 的一个基础解系，则 0 = Ax 的通解为 e e c c c + + + 2 2 1 1 ， i c 任意 如果 0 是 ( ) 0 = Ax 的一 个解 ， e , , , 2 1 是 0 = Ax 的基础 解系， 则 = Ax 的通解 为 e e c c c + + + + 2 2 1 1 0 ， i c 任意 特征向量 与 特征值 定义：如果 0

40、 ，并且 A 与 线性相关，则称 是 A 的一个特征向量。此时，有数 ，使 得 = A ，称 为 的特征值。 设 A 是数 量矩阵 E ，则对每个 n 维列向量 ， = A ，于是，任何非 零列向量都 是 E 的 特征向量，特征值都是 。 特征 值有限特征向量无穷多 若 = A ， ( ) ( ) c c cA c A = = = ( ) ( ) 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 c c A c A c c c A A A + = + = + = = 每个 特征向量有唯一特征值，而有许多特征向量有相同的特征值。 计算 时先求特征值，后求特征向量。 特征向量 与 特

41、征值计 算 0 , = A ( ) 0 , 0 = A E 是 ( ) 0 = x A E 的非零解 命题： 是 A 的特征值 0 = A E 是属于 的特征向量 是 ( ) 0 = x A E 的非零解 称多项 式 A xE 为 A 的特征多项式。 是 A 的特征值 是 A 的特征多项式 A xE 的根。 的重数： 作为 A xE 的根的重数。 n 阶矩阵 A 的特征值有 n 个： n , , , 2 1 ，可能其中有的不是实数，有的是多重的。 计算步 骤： 求出 特征多项式 A xE 。 求 A xE 的根，得特征值。 对每 个特征值 i ，求 ( ) 0 = x A E i 的非零解，得

42、属于 i 的特征向量。 n 阶矩阵的相 似关系 设 A ， B 是两个 n 阶矩阵。如果存在 n 阶可逆矩阵U ，使得 B AU U = 1 ，则称 A 与 B 相似， 记作 B A 。 n 阶矩阵的对 角化 基本定 理 A 可对角化 A 有 n 个线性无关的特征向量。 设可逆 矩阵 ( ) n U , , , 2 1 = ，则 = n AU U 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 1 ( ) ( ) n n n n U A , , , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , , , 2 2 1 1 2 1 2 1 = = i i i A = ， n i , ,

43、 2 , 1 = 判 别法则 A 可对角化 对于 A 的每个特征值 ， 的重数 ( ) A E n = 。 计算：对每个特征 值 i ，求出 ( ) 0 = x A E i 的一个基础解 系，把它们 合在一起， 得到 n 个线性无关的特征向量， n , , 1 。令 ( ) n U , , , 2 1 = ，则 = n AU U 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 1 ，其中 i 为 i 的特征值。 二次型（ 实 二次型） 二次型及 其 矩阵 一个 n 元二次型的一般形式为 ( ) j i j i ij n i i ii n x x a x a x x x f = + =

44、2 , , , 1 2 2 1 只有平 方项的二次型称为标准二次型。 形如： 2 2 1 2 2 2 2 1 q p p p x x x x x + + + + + 的 n 元二次型称为规范二次型。 对每个 n 阶实矩阵 A ，记 ( ) T n x x x x , , , 2 1 = ，则 Ax x T 是一个二次型。 ( ) Ax x x x x f T n = , , , 2 1 称 A 的秩 ( ) A 为这个二次型的秩。 标准二 次型的矩阵是对角矩阵。 规范二 次型的矩阵是规范对角矩阵。 可逆线性 变 量替换 设有一 个 n 元二次型 ( ) n x x x f , , , 2 1

45、，引进新的一组变量 n y y y , , , 2 1 ，并把 n x x x , , , 2 1 用 它们表示。 + + + = + + + = + + + = n nn n n n n n n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 2 2 1 1 2 2 22 1 21 2 1 2 12 1 11 1 （并 要求矩阵 = nn n n n n c c c c c c c c c C 2 1 2 22 21 1 12 11 是可逆矩阵） 代入 ( ) n x x x f , , , 2 1 ，得 到 n y y , , 1 的一个二次型 (

46、) n y y g , , 1 这样的操作称为对 ( ) n x x f 1 作了一次可逆线性变量替换。 设 ( ) T n y y y Y , , , 2 1 = ，则上面的变换式可写成 CY x = 则 ( ) ( ) n T T T n y y g ACY C Y Ax x x x f , , 1 1 = = = 于是 ( ) n y y g , 1 的矩阵为 AC C T ( ) AC C C A C AC C T T T T T T = = 实对称矩 阵 的合同 两个 n 阶实对称矩阵 A 和 B ， 如果存在 n 阶实可逆矩阵C ，值 得 B AC C T = 。称 A 与 B 合

47、同， 记作 B A 。 命题： 二次型 ( ) Ax x x x f T n = 1 可用可逆线性变换替换化为 ( ) B A BY Y y y g T n = 1 二次型的 标 准化和规 范 化 1 每个 二次型都 可 以用可逆 线 性变量替 换 化为标准 二 次型和规 范 二次型。 也就是 每个实对称矩阵都会同于对角矩阵和规范对角矩阵。 设 A 是一个实对称矩阵，则存在正交矩阵Q ，使得 AQ Q D 1 = 是对角矩阵。 D AQ Q AQ Q T = = 1 D A ， D A 2 标准 化和规范 化 的方法 正交 变换法 配 方法 3 惯性 定理与惯 性 指数 定理 ：一个二次型用可

48、逆线性变换替换化出的标准形的各个平方项的系数中，大于 0 的个数 和小于 0 的 个数是由原二次型所决定的，分别称为原二次型的正、负惯性指数。 一个二次型化出的规范二次型在形式上是唯一的，也即相应的规范对角矩阵是唯一的。 用矩阵的语言来说：一个实对称矩阵 A 合同于唯一规范对角矩阵。 定理 ：二次型的 正、负惯性 指数在可逆 线性变量替 换下不变； 两个二次型 可互相转化 的充 要 条件是它们的正、负惯性指数相等。 实对 称矩阵的正（负）惯性指数就等于正（负）特征值的个数。 正定二次 型 与正定矩 阵 定义： 一个二次型 ( ) n x x x f , , , 2 1 称为正定二次型，如果当

49、n x x , , 1 不全为 0 时， ( ) 0 , , , 2 1 n x x x f 。 例如，标准二次型 ( ) 2 2 2 2 2 1 1 2 1 , , , n n n x d x d x d x x x f + + + = 正定 0 i d ， n i , , 1 = （必要性“ ”， 取 1 1 = x ， 0 2 = = = x x x ，此时 ( ) 0 0 , , 0 , 1 1 = d f 同 样可证每 个 0 i d ） 实对 称矩阵正 定 即二次型 Ax x T 正定，也就是：当 0 x 时， 0 Ax x T 。 例如实对角 矩阵 n 0 0 0 0 0 0 0

50、 0 0 0 0 0 2 1 正定 0 i ， n i , , 1 = 定义 ： 设 A 是一个 n 阶矩阵， 记 r A 是 A 的西北角的 r 阶小方阵， 称 r A 为 A 的第 r 个顺序主子 式（或 r 阶顺序主子式） 。 附录一 内 积，正交 矩 阵，实对 称 矩阵的对 角 化 一 向 量的内积 1定义 两个 n 维实向量 , 的内积是一个数，记作 ( ) , ，规定为它们对应分量乘积之和。 设 = = n n b b b a a a 2 1 2 1 , ，则 ( ) n n b a b a b a + + + = 2 2 1 1 , T = 2性质 对称 性： ( ) ( ) ,

51、 , = 双线 性性质： ( ) ( ) ( ) , , , 2 1 2 1 + = + ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 , , , + = + ( ) ( ) ( ) c c c , , , = = 正交 性： ( ) 0 , ，且 ( ) 0 0 , = = ( ) = = n i i a 1 2 , 3 长 度 与正交 向量 的长度 ( ) = = = n i i a 1 2 , 0 0 = = c c = 单位向 量：长度为1 的向量 0 0 1 ， 0 1 0 ， 2 2 0 2 2 ， 若 0 ，则 是单位向量，称为 的单位化 。 1 1 = = 两个向 量 , 如果内积为

52、 0 ： ( ) 0 , = ，称它们是正交的。 如果 n 维向量组 s , , , 2 1 两两正交，并且每个都是单位向量，则称为单位正交向量组 。 例 1 如 果向量组 s , , , 2 1 两两正交，并且每个向量都不为零向量，则它们线性无关。 证： 记 ( ) s A , , , 2 1 = ，则 = 2 2 2 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 s T A A 则 ( ) ( ) s A r s A A r T = = , 即 ( ) s r s = , , 1 。 例 2 若 A 是一个实的矩阵，则 ( ) ( ) A r A A r T = 。 二 正 交矩

53、阵 一个实 n 阶矩阵 A 如果满足 E AA T = ，就称为正交矩阵。 1 = A A T 定理 A 是正交矩阵 A 的行向量组是单位正交向量组。 A 的列向量组是单位正交向量组。 例 3 正 交矩阵 A 保持内积，即 ( ) ( ) , , = A A = A 证： ( ) ( ) , , = = = T T T A A A A 例 4（ 04 ） A 是 3 阶正 交矩阵，并且 1 11 = a ，求 = 0 0 1 Ax 的解。 三 施 密特正交 化 方法 这是把 一个线性无关的向量组改造为与之等价的单位正交向量组的方法。 c = = 1 2 设 3 2 1 , , 线性无关 正交

54、化：令 1 1 = ( ) ( ) 1 1 1 2 1 2 2 , , = （设 1 2 2 k = ， ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 1 2 , , , k = 当 ( ) ( ) 1 1 1 2 , , = k 时， 1 2 , 正交。 ） ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 2 1 1 1 3 1 3 3 , , , , = 单位 化：令 1 1 1 = ， 2 2 2 = ， 3 3 3 = 则 3 2 1 , , 是与 3 2 1 , , 等价的单位正交向量组。 四 实 对称矩阵 的 对角化 设 A 是一个实的对称矩阵，则 A 的每个特征值都是实数。 对每 个特

55、征值 ，重数 ( ) A E r n = 。即 A 可以对角化。 属于 不同特征值的特征向量互相正交。 于是： 存在正交矩阵Q ，使得 AQ Q 1 是对角矩阵。 对每个 特征值 ，找 ( ) 0 = x A E 的一个单位正交基础的解，合在一起构造正交矩阵。 设 A 是 6 阶的有3 个特征值 1 （二重） ， 2 （三重） ， 1 （一重） 找 1 的 2 个单位正交特征向量 2 1 , 。 找 2 的3 个单位正交特征向量 5 4 3 , , 。 找 3 的一个单位特征向量 6 。 ( ) 6 5 4 3 2 1 , , , , , = Q 例5（ 04 ） A 是3 阶实对称矩阵， (

56、 ) 2 = A r ， 6 是它的一个二重特征值， 0 1 1 ， 1 1 2 和 3 2 1 都是属于 6 的特征向量。 （1 ）求 A 的另一个特征值。 （2 ）求 A 。 解 ：（ 1 ）另一个特征值为 0 。 （2 ）设 3 2 1 x x x 是属于 0 的特征向量，则 = + = + + = + 0 3 2 0 2 0 3 2 1 3 2 1 2 1 x x x x x x x x 此方程 组 3 = n ， ( ) 2 = A r ， ( ) 1 = A r n ，基础解系包含一个解，任何两个解都相关。 于是， 每个非零解都是属于 0 的特征向量。 0 0 0 1 1 0 1

57、0 1 3 2 1 1 1 2 0 1 1 = 1 1 1 是一个解。 = 0 6 0 0 6 6 0 12 6 1 1 0 1 1 1 1 2 1 A 4 2 2 2 4 2 2 2 4 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 6 6 12 0 6 6 1 1 1 1 1 2 0 1 1 = 4 2 2 2 4 2 2 2 4 A 附录二 向 量空间 1 n 维向 量空间及 其 子空间 记为 n R 由全部 n 维实向量构成的集合， 这是一个规定了加法和数乘这两种线性运算的集合， 我们把它称为 n 维向量空间。 设V 是 n R 的一个子集，如果它满足 （1 ）当 2 1 , 都属于

58、V 时， 2 1 + 也属于V 。 （2 ）对V 的每个元素 和任何实数 c ， c 也在V 中。 则称V 为 n R 的一个子空间。 例如 n 元齐次方程组 0 = AX 的全部解构成 n R 的一个子空间，称为 0 = AX 的解空间。 但是非 齐次方程组 = AX 的全部解则不构成 n R 的子空间。 对于 n R 中的一组元素 s , , , 2 1 ，记它们的全部线性组合的集合为 ( ) 任意 i s s s c c c c L + + + = 2 2 1 1 2 1 , , , ，它也是 n R 的一个子空间。 2 基， 维数，坐 标 设V 是 n R 的一个非 0 子空间（即它含

59、有非 0 元素） ， 称V 的秩为其维数，记作 V dim 。 称V 的排了次序的极大无关组为V 的基。 例如 0 = AX 的解空间的维数为 ( ) A r n ，它的每个有序的基础解系构成基。 又如 ( ) ( ) s s r L , , , , , , dim 2 1 2 1 = ， s , , , 2 1 的每个有序的极大无关组构成 基。 设 k , , , 2 1 是V 的一个基，则V 的每个元素 都可以用 k , , , 2 1 唯一线性表示： k k c c c + + + = 2 2 1 1 称其中 的系数 ( ) k c c c , , , 2 1 为 关于基 k , , ,

60、 2 1 的坐标，它是一个 k 维向量。 坐标有 线性性质： （1 ）两 个向量和的坐标等于它们的坐标的和： 如果 向量 和 关于基 k , , , 2 1 的坐标分别为 ( ) k c c c , , , 2 1 和 ( ) k d d d , , , 2 1 ，则 + 关于基 k , , , 2 1 的坐标为 ( ) ( ) ( ) k k k k d d d c c c d c d c d c , , , , , , , , , 2 1 2 1 2 2 1 1 + = + + + （2 ）向 量的数乘的坐标等于坐标乘数： 如果向量 关于基 k , , , 2 1 的坐标为 ( ) k c

61、 c c , , , 2 1 ，则 c 关于基 k , , , 2 1 的坐标为 ( ) ( ) k k c c c c cc cc cc , , , , , , 2 1 2 1 = 。 坐标的意义：设V 中的一个向量组 t , , , 2 1 关于基 k , , , 2 1 的坐标依次为 t , , , 2 1 ，则 t , , , 2 1 和 t , , , 2 1 有相同的线性关系。 于是， 我们可以用坐标来判断向量组的相关性，计算秩和极大无关组等等。 3 过渡 矩阵，坐 标 变换公式 设 k , , , 2 1 和 k , , , 2 1 都是V 的一个基，并设 1 在 k , , , 2 1 中的