公路工程中的选线问题

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1、公路工程中的选线问易智华 朱定国 许礼林（武汉测绘科技大学 430070）指导教师：胡元明 编者按：本答案的假设合理，特别是使用了等高线跟踪插值方法与等高线搜索前进方法，图上作业法，并且比 较了几种方案，考虑得比较细致，文字图形清楚，计算结果也令人满意。摘要 本文采用线形插手工描绘的方法，对已知部分高程点的地区作出等高线图，并以此图为基础，进行线路 设计。本文重点讲述了等高线“跟踪”插值过程和利用等高线图进行公路设计，提出了几种不同的方案，并且对 这些方案进行了比较和讨论，提供出一种认为最满意的结果。本文还尝试运用层次分析法对这些方案进行评 估。最后，本文对所涉及到的公路选线作了推广，并总结出

2、线路选线需考虑的一般问题。一、问 题 的 提 出要在一山区修建公路，首先测得一些地点的高程，数据见表1 （平面区域0WxW5600, 0W yW4800，表中数据为坐标点的咼程，单位：米）。数据显示：在y=3200处有一东西走向的山 峰；从坐标（2400， 2400）到（4800， 0）有一南北走向的山谷；在（2000， 2800）附近有一山 口湖，其最高水位略高于1350米，雨季在山谷中形成一溪流。经调查知，雨量最大时溪流水面（x - 2400）4 w与（溪流最深处的）x坐标关系可近似表示为 w（x）= -一 4 + 5 （2400WxW4000）。V 2 丿公路从山脚（0， 800）处开始

3、，经居民点（4000， 2000）到矿区（2000， 4000）。已知路 段工程成本及对路段坡度a （上升高程与水平距离之比）的限制如表2。表1：略表2 工程限制条件及单位费用表工程种类一般路段桥梁隧道工程成本（兀/ 米）30020001500 （长度300 密米）；3000 （长度300 米）对坡度a的限制a 0.125a =0a 0.1001）试给出一种路线设计方案，包括原理、方法及比较精确的路线位置（含桥梁，隧道）， 并估算该方案的总成本。2）如果居民点改为3600WxW4000，2000WyW2400的居民区，公路只须经过居民区即 可，那么你的方案有什么改变。二、建 模 的 假 说1.

4、 所给地区的地形是连续的，不存在断层，悬崖，可用线形插值方法确定直线的走向。2. 所给地区的工程地质条件都满足工程建设的要求，不存在对工程建设有害的因素，如地 震带，溶岩地区等。3. 由于题目没有给出公路的等级及规格，可以忽略公路的宽度，而只考虑其线形。4. 桥梁的长度必须大于溪流水面最宽时的宽度。5. 隧道的建设不考虑通风等次要因素。6. 尽管填方，挖方在线路上的工程费用中占很大比例，但题目题设没有给出填方，挖方的 具体要求，建模时暂不予考虑。三、与问题有关的某些概念及原理 1等高线的概念、特征和应用：1. 概念：等高线是地面上高程相等的临近的各点的闭和曲线，也就是水平面与地面相交的曲 线。

5、2. 特征：（1）在同一条等高线上的各点的高程相等；（2）等高线是闭和的曲线；（3）不同高程的等高线不能相交；（4）等高线与分水线（山脊线），合水线（山谷线）正交；（5）两等高线间的垂直距离称为平距，等高线平距的大小与地面坡度的大小成反比。3. 等高线在地形图中的应用：（1）可以根据等高线确定地面点的高程；（2）根据等高线间的平距确定其坡度。其原理为：若已知地形图上等高距为H,要确定图上两 等高线的倾角或坡度，则量出该两等高线间的平距宽度 ，按下式计算：h坡度 a = tg Y =-a20 1如图 1： a= tgy = 300 = 15 （比例尺：1： 1000 单位：m）四、建模的初期工作

6、由前叙可知,要进行公路选线,必须有一定精度的地形图, 但在问题中只提供了一些规则格网点上的高程。因此,我们必 须根据这些高程尽可能准确地反映出该地区的地势,以便确定 路线的走向和成本的预算。为此,我们建立等高线“跟踪”插值 模型,以便“生成”一幅地形图。等高线“跟踪”插值模型 数据特点 所给高程数据点位间隔过大,不利于用二次曲线或者其它类似方法拟合,但由 于它是以规则格数据形式给出的,因此有利于构造“跟踪”信息,实现数据插值。 操作特点 采用简单的线形插值,简便易行,同时其数据场很有规则,插值步骤具有很强 规律性,适于计算机编程计算。 具体过程（1）依次计算各等高线和网格边交点的坐标值。（2）

7、找出一条等高线起始等高点并确定判断和识别条件,以追踪一条等值线的全部等高点。（3）根据前面提到的等高线的特征及地势的大致走向,联络各等高点绘制光滑曲线。 算法分析（1）内插等值点的位置：假设制图地区由m*n个网格点数据组成，并设沿相x方向 的分割记为j=1，2,，n；沿用y方向的分割记为i=1，2， ，m。则对于任一网格点的高程数据可以表示为B，设单位i,j网格边长为d,则网络点的坐标计算计算为：x =jd;y =idoi,ji,j显然，对于m*n个网格点区域，只有（m-1） n条纵边和（nT）m 条横边。对于位于任一边上的等高点位置，我们可以表示为： 纵边上的等高点Hiji=l,2, ,（m

8、-l）;，Jj=1,2,，n横边上的等高点Siji=l,2,，m;j=1,2, ,（n-l）.为了计算等高点在网格边上的位置，首先要确定等值线与网格边相交的条件，设等高线高 程值w,显然，只有w值处于相邻网格点数值之间，该边才能有等高点。因此，我们可用下式 来判断：（B -w）（B -w） 0时，在横边上有等高点；（B -w）（B -w） 0时，在纵边上 i,ji,j+1i,ji+1,j有等高点。若上式成立，我们即可采用线形内插方法计算出等值点位置。我们有ABCD网格（图2）,其高程依次为B ,B ,B ，和B，若在横边AB边内插等高点A，A离A点的距离记为i,j i,j+1 i+1,j i+

9、1,j+1S ，则：i，jw BS 人w Bi 二 ij ,令 d 二 1S 二irjB B di,j B Bi, j+1i, ji, j+1i, j显然这里计算的s.是一个相对比值，是横边为一个单位的几分之几，即OWS. S1。同理， 对于纵边AC之间插等高点B时，该点到A距离记为H，当纵边d=1时，有：“i，jwBH 二i，ji, j B Bi+1, ji, j同样 OWH W1。（ 2）追踪等高点为了确定追踪方案，我们要确定某仪等值线在矩形网格内走向的几种可能，并通过确定等 值线走向与等高点坐标之间的关系来建立跟踪条件。由于等高点位于网格边上，所以等高线通 过相邻网格的走向只有四种可能：

10、自上而下，自下而上，自左向右，自右向左。因此，若找到 某一值线头位于某一网格边上，该网格边往往是相邻网络的公共边，即是前一网络的出口边又 是后一网格的进入边，则进入边的方向对于每一个网格都有上，下，左，右四种情形，即追踪 等高点有四种可能。下面分别讨论四种可能。先谈自下而上追踪，在图3中，我们可以看到，在方格I上有等高点a ，它的位置有三种 情况，即H（I,j）,S（I,J）和H （I,j+1）II号方格上a 2：等高点为S（I+1,j）,显然，我们比较a ： 和a 2的坐标位置，可以得到a 点取整的纵坐标，一定小于a ?点取整的纵坐标。因此，只要 满足i i的条件（i 表示a点横坐标），即可

11、自下而上的追踪。如果有a点，它一定1a 2a 113位于方格II的另外三边上。同理，可以讨论得到自左而右（图 4），自上而下（图 5）和自右向左（图 6）的追踪情 况。已知a3点是位于II号方格的其余三边上，如何确定是其中的哪一边呢？这是一个十分重要 的问题，必须合理地选择其余三边上的一个等高点。不然，将会出现同一等高线的交叉和分支 走向不确定的多义性。例如某一网格上的四点联结的状况可有三种情况（图 7）。a、b即为多义性，c是不允许的，必须排除。对于等高线联结的多义性，情况是比较复杂 的。对于相同等高线点可以有多种方式联结，手工勾绘等高线时经常出现，这情况的处理往往 根据实践经验和对制图对象

12、物理背景的理解作出的，即参考周围等高线的定向和趋势，为强调 等高线之间的协调一致，突出表现区域特征而作出各种选择。根据一般规律，首先是考虑等值 线原来前进的方向，即顺着原来等高线走向延伸下去，其次是根据距离远近的选择a3点。在内插等高点时，当遇到网格高程值和等高线相等的情况，此时，等高线必须通过网格 点。而该网格点同时又是四个相邻网格的公共交点（图 8）。于四个相邻横边和纵边上得到不是 0 就是 1 的四个值（即 S （i，j） =0，H （i，j） =1，S （i，j-1） =1，H （i-1, j） =1）。追踪点 时，一定会发生重复和追踪混乱的问题。对此情况，必须预先给予处理，其方法是对

13、该网格点 加上一个足够小的数组给予纠正。根据以上步骤，我们绘制了一幅1： 20000等高线地形图，作为下一步工作的依据。（如图15，其中注记了高程网格数据） 此方法采用的是先行插值法，以便实现手工绘图。如果采用二元分段等距抛抛插值方 法或者双三次样条插值方法加密数据场，这样精度高些。由于时间的关系，我们只编制了二元 分段插值的程序，附在后面，以供参考。五、建立公路定线的操作模型1. 建造桥梁、隧道的一般原则： （1）中小型桥梁、隧道走向服从道路的走向；（2）道路的走向服从大桥梁、大隧道的走向。2. 对坡度值的要求，本题要求公路的坡度小于 0.125 ，桥梁的坡度为 0 ，隧道的坡度小于 0.1

14、。3. 不考虑 “ 1. ” 所说的情况，现在将地图上进行公路定线的原理 3 ， 4 及方法叙述如下： （1）展线法 展线的方法是先确定该路段容许的设计平均坡度，然后，据此计算相邻两等高线间所应有 的长度（宜等于等高线间距与平均坡度之比值），并按地形图比例尺将其换算成图纸上应表示 的已缩小的长度，以此缩小的长度为准，自路线起、终点开始分别向上、向下在两等高线之间 依次作截距交会于各等高线上成若干平面转折点。最后将各转点相连成平面上的转折线，并在 有关转角点间布置相应必要的平面线和回头曲线。（2）回头曲线法 当路线起、终点位于同一很陡的山坡面，为了克服高差过大，一方面要顺山坡逐步展线； 另一方面

15、又需一次或多次地将路线折回原来的方向，形成“之字线”路线。这种顺地势反复盘旋而 上的展线，往往会遇到路线平面转折角大于 90度，按通常设置平面线方法，曲线长会过短，纵 坡会过大。为了克服这种困难，常采用在转角顶点的外侧设置回头曲线的方法来布置路线。（3）展线法和回头曲线法的例子 展线法以图 9为例，已知路段起、终点 A、D 之间高差为18 米，距离L1为225米，其纵坡i1为18/225；由于i1较大，决定采取 平均坡度为 5%进行展线。该处比例尺为 1：5000，先计算相邻5米两等高线间为符合坡度5%要求的必要长度Al二005 = I。米则A在地形图上经按上述比例尺缩小后的实际长度为100/

16、500米， 即0.02米。今自A,D点分别以0.02米为截距作弧依次交个等高 于A A A 3。然后加以连接，并且在有关平面转折点布置必要123 的适合曲线，即得出图 9 所示的展线方案。 回头曲线法 这里列举几种回头曲线形式：4. 问题的求解在A,B区域（见图14、15），如果不进行回头曲线的测设的话，公路的坡度将超0.125， 这就不符合问题的要求；但如果我们测设回头曲线，将形成“之”字形的盘山道，大大增加公路的 里程和营造费用。所以，我们在选取路线时，在满足坡度限制的条件下，尽可能不测设回头曲 线，也就是说尽量避免在A区和B区测设公路。（1）为了选线的方便，我们找到了一种比较简便的方法，

17、来确定公路取向范围。方法具体 如下：由公路必过的定点为圆心，以R为搜索半径，画圆弧，交相邻的等高线于两点。取其中一点为圆心，在以搜索半径R作圆弧，返回上步。R搜索半径0 路线在该点取向范围 R的选取由坡度a决定（如图10）AD AB两点咼差由上式可知，如果a越小，则搜索半径R越大；同样，我们将R取比较大时，a将比较 小。（如图 11）。由于等咼线是通过线形插值的方法获得的，这就存在着截断误差，下面分析这个误差对 R 的影响。AD - h - hhB、hA的为通过线形插值得到的高程。B AB A假设截断误差中的误差为 mh ，则有：m 2 - -1 (m 2R a 2hBh+ m 2 ) - 2

18、m 2 / a 2 hhAd （ AD ）dh - dhdR ,dR baaaah由此可知，如果截断误差mh很大，R的中误差mR将很大；若搜索半径仅取R = A D的 话，仍将可能造成线路的坡度过大。我们可以通过在实践操作中，选取较大的R =R+mR来妥善 解决，这里我们取搜索半径 R=800+10m。由于我们所绘制的等高线是由格网高程插值点得到的，因此我们对搜索半径R的传递误差 可以不考虑。（2）矿区部分道路拟定原则 根据展线法和回头曲线以高差100米、最大坡度0.125进行展线，可大致表示为如图12所 示从绘制的等高线图上我们可以看出，若公路在I区走线，偏离山峰越来越远，导致道路走 线拉长

19、，隧道长度增加，故不可取；若在 III 区走线，虽使得隧道长度有所减少，但会使对面 山坡公路走线带来困难。因为对面山坡坡面较陡，要满足| （H -H）/D | 4400米，等高线间的平距越来越大，而在其对应 的北面坡等高线的变化并不十分明显在山峰南部x P2 ，故选方案 1。这里仅举此例以作说明，原因是我们的定权及确定标度都有很强的主观因素。要想通过层 次分析法得到更客观的评估标准，需要建立专家评估系统，使评估尺度科学化、规则化、标准 化，这样才更具说服力。七、关于建模的几点推广及对线路测设的认识1. 本问题所考虑的只是公路选线的问题，我们可以把它推广到铁路、管道、给排水系统等 线形工程。2.

20、 如果在更大范围内考虑有线形工程构成的网格系统，运用此方法将会创造巨大的经济效 益、社会效益和生态效益。3. 通过本问题的研究，我们认识到在进行某项重大决策时，主管部门进行专家咨询和多个 方案的比较，是至关重要的。八、本模型的优点及改进方向本模型比较系统地介绍了由已知高程点格网绘制等高线进行公路定线及方案比较的全过 程，具有条理性和实用性，能够推广到类似的工程中去。本题所讨论的地形比较简单，对工程具体要求比较粗糙，这主要是由于所给问题没有提供 更多的人文和地理信息如地质、水文、气候和地形条件，以及居民点、矿区的规模和性质。否 则，我们将考虑得更仔细，甚至可以做出居民区的规划图。本题所提供的高程数据比较稀疏，因此不便进行土方量的计算。在实际工程中，土方量的 工程费用是很大的，如果能够提供比较详细的地形资料，如 1：1000的地形图，那我们将进行 这方面的考虑。参考文献1 测量学，中国建筑工业出版社， 19902 计算机地图制图原理，武汉测绘科技大学出版社， 19933 秦昆，桥梁工程测量，测绘出版社， 19914 城市道路与交通，中国建筑工业出版社， 1981