解析几何常用公式定理

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1、解析几何常用公式定理-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company Onel解析几何常用公式（景斌汇编）（内部资料仅限东方之子学校学生使用1倾斜角（00 0(A0)则点(x , y )在直线右侧；如果Ax + By + C 0)则点(x , y )0 0 0 0 0 0 0 0在直线左侧；如果Ax + By + C = 0 (A0)则点(x , y )在直线上0 0 0 0(2) 线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最值问题，统称为线性规划；满足线性约 束条件的解(x,y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫可行域12. 圆(一)圆方程常见形式：(1)标准式：(x-a)2+(

2、y-b)2=r2 (R0)，其中(a，b)为圆心，r 为半径；DEVD 2 + E 2 4 F(2) 般式：X2+y2+Dx+Ey+F=0,配方得：(x + )2 + (y + )2 =4（3）参数式：（x-a）2+（y-b）2=R2 （R0）的参数式为：心弓0为参数0 e 0,2兀）y 二 r sin 0 + b圆与二元二次方程一一对应，这些二元二次方程方程特征为：（ 1）二次项中无 xy 交叉项；（ 2） x2， y2 项前面系数相等；（3） x, y的一次项系数D, E及常数项F满足D2+E2-4F0（二）直线Ax + By + C = 0与圆（x - a）2 + （y 一 b）2 =

3、r2的位置关系有三种Aa + Bb + C丄n 亠丄n If丄n 亠若d =_.， d r 0相离，d = r o相切，d r + r 相离(2)1 1 2 1 2ICC = r + r 外切1 1 2 1 2(3) r 一 r |C C r + r121 1 212相交(4)|CC = r - r |内切1 1 2 1 21(5) ICC r -r I 内含1 1 2 121外离外切相父内切内含13 圆锥曲线（一）椭圆与双曲线1.第一定义椭圆：若F1 F2是两定点，P为动点，且|PF| + pFj = 2a（ a为常数）则P点的轨迹是椭圆（当PF + PF = 2a = IFF I时，则P点

4、的轨迹是线段）1 1 2 1 1 21双曲线：若F1 F2是两定点，|PF-IPFqII = 2a |FF |（ a为常数），则动点P的轨迹是双曲2a = |FF |时，则P点的轨迹是射线）八LGPg 7)D耳j一标准方程乂 + 21 = 1（a0, b0）中心在原 a 2 b 2点，焦点在x轴上兰+ 21 = 1 （a0, b0）中心在原 b 2 a 2点，焦点在y轴上范围a x a， -b y ba y a， b x b对称性关于x轴、y轴、原点对称（原点为中心）顶点四个顶点A、A、B、B1212焦点F1（-C，），F 2（c，）F1（，-C），F 2（，c）轴长轴|A A |=2a,短轴

5、|B B |=2b12 12离心率e = C（0 e 1）离心率越大，椭圆越扁，离心率越小，椭圆越圆（反记a法）准线,a 2 x = c,a 2 y = c通径通径长2b 2a焦准距竺c2第二定义椭圆：若F1为定点，I为定直线，动点P到F1的距离与到定直线l的距离之比为常数e （0e1），则动点P的轨迹是双曲线3.椭圆的标准方程及几何性质标准方程乂 21 = 1（a0, b0）中心在原 a 2 b 2点，焦点在x轴上2!兰=1 （a0, b0）中心在 a 2 b 2原点，焦点在y轴上范围x ay a对称性关于x轴、y轴、原点对称（原点为中心）顶点A(- a,0) B(a,0)A(0,-a),

6、B(0,a)4双曲线的标准方程及几何性质焦点F (-c,0),F (c,0)1 2F (0,-c),F (0,c)1 2轴实轴长|A A |=2a,虚轴长|B B |=2b,焦点在实轴上12 12离心率e = - (e 1)离心率越大，双曲线越开阔a准线x = 聖c准线垂直于实轴，且在两顶点的 内侧,a2y = c准线垂直于实轴，且在两顶点 的内侧渐近线丰by = xaay = xb通径通径长2b 2a焦准距竺c5.焦半径：(1) 椭圆：|PF1 =a + ex )或 |PF| =a + ey (负半轴)PF | = a - ex 或 |PF | = a - ey (正半轴)焦半径范围a-c

7、PF c-a6.焦半径之积(1)椭圆：I PF II PF 1=1201 + COS 0(2)双曲线：I PF II PF I= e2x2 -a2 =1201 - COS07. 焦点三角形面积1 1 0S FPF = I FF II y I= I PF II PF Isin 0= b 2 tan -(椭圆)1 2 2 1 2 0 2 1 2 21 1 0S FPF = I FF II y I= I PF II PF Isin- = b2cot-(双曲线)1 2 2 1 2 0 2 1 2 28弦长公式：|AB| = J(1+k 2)( x+ x )2 一 4 xx =2 1 2?1+扛 y.+

8、2)2 -4 y.29.补充知识：1 具有共同渐近线的双曲线系若双曲线方程为上-竺=1 =渐近线方程：乂 -竺=0 n y = bxa2 b2a2 b2a若渐近线方程为y = bx - 上=0 n双曲线可设为乂 -兰 “a a ba2 b2若双曲线与竺-21 = 1有公共渐近线，可设为兰-竺=九a2 b2a2 b2（九0，焦点在x轴上，九v 0，焦点在y轴上）2等轴双曲线：当a = b时o离心率e =、2 o两渐近线互相垂直，分别为y= 土 x，此时双曲线为等轴双曲线，可设为x2 - y2二九3.优美椭圆和优美双曲线 我们把离心率等于黄金比耳1的椭圆称为优美椭圆，设乂 +二=l（a b 0）为

9、优美椭2a 2 b 2圆， F、A 分别为它的左焦点和右顶点， B 是它的短轴的一个端点，则有：（1）ZABF = 90。;（2）b2 = ac（2）我们把离心率等于黄金比倒数即竺!的双曲线称为优美双曲线，设乂-21 = 1（a b 0）2a 2 b 2为优美双曲线，F、A分别为它的左焦点和右顶点，B是它的虚轴的一个端点，则有： （1）ZABF = 90;（2 ）b 2 = ac3.共轭双曲线：我们把“以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线”定义为原双曲线的 共轭双曲线x2y 2y 2 x2=1特征 1：具有共同渐近线特征 2：焦距相等特征3：+ = 1二）抛物线（一）定义：到定点 F

10、与定直线 l 的距离相等的点的轨迹是抛物线 即到定点F的距离与到定直线l的距离之比是常数e （e=1）（二）图形:(三)基本性质：方程：y2 = 2px,( p 0), p为焦准距；焦点：( ,0)，通径 |AB = 2p ；准线：x =；2焦半径：|cf =+彳,过焦点的弦长cd=x + x + p通径最短=2 pxo注意：抛物线y2二2px上的动点可设为P (竺2p四) 抛物线的重要性质： 已知 AB 是抛物线 y 2 =2 px (p 0)的焦点弦，F为抛物线的焦点，A(x , y ) B (x , y )1 1 2 2p21) y - y = p2,x - x =-1 2 1 2 4(2) |AB| = x + x + p =(0为直线AB与x轴的夹角)12sin2 0(3) SAOB=2sin04)1+AF1bf为定值I(5)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切(6) ZADB = 90 (直径所对的圆周角是直角)O(7)ZAFB = 90(8)连接焦点和准线上任意一点的线段被y轴平分(三角形中位线)