常数项级数的概念和

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1、1一、常数项级数的概念常数项级数的概念常数项级数的概念和和性质性质二、收敛级数的基本性质2定义定义,321nuuuu如如果果给给定定一一个个数数列列，记为记为 1nnu,3211nnnuuuuu即即nuuuu321则由这数列构成的表达式则由这数列构成的表达式称为常数项级数，称为常数项级数，叫做级数的一般项叫做级数的一般项项项其中第其中第nun)1(一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念的的部部分分和和数数列列为为级级数数称称数数列列)1(ns常数项级数常数项级数(1)(1)的前的前n 项的和可构造一个新的数列项的和可构造一个新的数列,11us ,212uus ,21nnuuus ,.)(?l

2、im)(?321有有没没有有极极限限转转化化成成讨讨论论有有没没有有和和讨讨论论nnnsuuuu3定义定义，有有极极限限的的部部分分和和数数列列如如果果级级数数ssunnn1 没没有有极极限限，如如果果ns发发散散则则称称级级数数1nnu收收敛敛，则则称称级级数数 1nnu.1sunn 并并且且例例1 1.321是是发发散散的的证证明明级级数数 n证证这级数的部分和为这级数的部分和为nsn321,2)1(limlimnnsnnn所给级数是发散的所给级数是发散的.2)1(nn4.)1(11的的收收敛敛性性判判定定级级数数nnn解解,111)1(1 nnnnun由由于于一一般般项项因此因此,)1(

3、1431321211 nnsn部部分分和和)111()4131()3121()211(nn.111 n,1)111(limlim nsnnn.1)1(11nnn该该级级数数收收敛敛且且.111suussunnnnnnn收收敛敛，并并且且则则称称级级数数，有有极极限限的的部部分分和和数数列列如如果果级级数数定定义义例例25)1()34()23()12(nnns部部分分和和的的敛敛散散性性判判定定级级数数1)1(nnn解解,)11(limlimnsnnn.11 n发发散散级级数数1)1(nnn发发散散没没有有极极限限，则则称称级级数数如如果果收收敛敛，并并且且则则称称级级数数，有有极极限限的的部部

4、分分和和数数列列如如果果级级数数定定义义1111.nnnnnnnnnnussuussu课堂练习课堂练习P255.3(1)6.),0(20的的收收敛敛性性为为公公比比讨讨论论等等比比级级数数qaaqaqaqaaqnnn解解,1时时 q12 nnaqaqaqas.11qqan 例例3,1 q若若，qasnn1lim,1 q若若，则则nnqlim，nnslim 级数级数收敛收敛.级数级数发散发散，则则0limnnq,1时时 q,1 q若若，则则 nasnnnlimlim 级数级数发散，发散，,1 q若若,)1(limlim1不不存存在在则则aaasnnnn 级数级数发散发散.综上综上 .,1,10发

5、发散散时时当当收收敛敛时时当当qqaqnn).1(10 qqaaqnn并并且且7用法用法:P255第第4题中有三道小题用到此结论题中有三道小题用到此结论.67)1(6767,122发发散散例例如如 nnn.1|67 qq且且公公比比.3131311,2收收敛敛又又如如 n.1|31 qq且且公公比比s并并且且和和.233111)1250().1(1.,1|,1|002例例并并且且发发散散时时收收敛敛时时Pqqaaqqqaqaqaqaqannnnn8为等比级数，为等比级数，.35q公公比比,1|q.该该级级数数发发散散.35)1(353535 3322的的敛敛散散性性判判定定级级数数nnn解解)

6、1250().1(1.,1|,1|002例例并并且且发发散散时时收收敛敛时时Pqqaaqqqaqaqaqaqannnnn课堂练习课堂练习9.?5454154 20若若收收敛敛求求其其和和是是否否收收敛敛级级数数nn为为等比级数等比级数,.54q公公比比,1|q,该该级级数数收收敛敛解解054nn并并且且.55411)1250().1(1.,1|,1|002例例并并且且发发散散时时收收敛敛时时Pqqaaqqqaqaqaqaqannnnn课堂练习课堂练习10二、收敛级数的基本性质二、收敛级数的基本性质性质性质1有有相相同同的的敛敛散散性性与与则则设设常常数数 11,0nnnnukuk证证;211n

7、nnnuuusu 的的部部分分和和为为设设,limlimlimnnnnnnskks nnnnkukukuku 211 的的部部分分和和为为则则有有相相同同的的敛敛散散性性与与 11nnnnuku限限，同同时时有有极极限限或或同同时时无无极极与与nns,时时当当 n.nks 11也也收收敛敛，且且其其和和为为则则级级数数、分分别别收收敛敛于于和和、如如果果级级数数 svusvunnnnnnn111)(,性质性质2证证.lim,lim,11 nnnnnnnnnnsssvu并并且且、的的部部分分和和分分别别为为与与设设的的部部分分和和则则 1)(nnnvu)()()(2211nnnvuvuvu )(

8、)(2121nnvvvuuu ,nns )(limlimnnnnns 收敛，收敛，1)(nnnvu且且其其和和为为 s,s12也也收收敛敛，且且其其和和为为则则级级数数、分分别别收收敛敛于于和和、如如果果级级数数 svusvunnnnnnn111)(,性质性质2?)(,:111是是否否收收敛敛则则级级数数发发散散收收敛敛若若级级数数问问 nnnnnnnvuvu?)(,:111是是否否发发散散则则级级数数两两个个都都发发散散和和若若级级数数问问 nnnnnnnvuvu(用反证法可证其发散用反证法可证其发散.)(不一定不一定,举两个例可证举两个例可证.)13证证.21 nkkkuuu它的部分和为它

9、的部分和为nkkknuuu 21,knkss 限限，同同时时有有极极限限或或同同时时无无极极与与nkns ,时时当当 n 类似可证明在级数前面加上有限项，不会改变级类似可证明在级数前面加上有限项，不会改变级数的收敛性数的收敛性.所以两级数的敛散性相同所以两级数的敛散性相同所得新级数为所得新级数为项去掉，项去掉，的前的前将级数将级数kunn 1性质性质 在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的敛散性变级数的敛散性.,是是常常数数时时ksn.项项的的和和是是原原来来级级数数的的前前其其中中nksnk 14性质性质4且且其其和和不不变变收收敛敛括括号号后后

10、所所成成的的级级数数仍仍然然则则对对这这级级数数的的项项任任意意加加收收敛敛如如果果级级数数,1 nnu证证.lim,1sssunnnn 即即设设按某一规律加括号构成新级数如下按某一规律加括号构成新级数如下:)()()(1111211kknnnnnuuuuuu,11nsA ,limlim430ssAPnnkk 知知定定理理根根据据上上册册,22nsA .,的的一一个个子子数数列列为为原原级级数数部部分分和和数数列列显显然然nksA则则为为设设新新级级数数的的部部分分和和数数列列,kA且且其其和和不不变变仍仍然然收收敛敛故故加加括括号号后后所所成成的的级级数数,knksA 15注意：加括弧后所成

11、的级数收敛注意：加括弧后所成的级数收敛,原原级数级数不一定收不一定收敛敛.(即逆命题不成立即逆命题不成立)11()11(,加加括括号号后后的的级级数数例例如如 1111原原级级数数收敛收敛,发散发散.推论：如果加括弧后所成的级数发散推论：如果加括弧后所成的级数发散,则原来级数也则原来级数也发散发散.(为为逆否命题逆否命题)且且其其和和不不变变然然收收敛敛加加括括号号后后所所成成的的级级数数仍仍则则对对这这级级数数的的项项任任意意收收敛敛如如果果级级数数性性质质,41 nnu16性质性质5 5（级数收敛的必要条件）（级数收敛的必要条件）即即趋趋于于零零，则则它它的的一一般般项项收收敛敛如如果果级

12、级数数0lim,1 nnnnnuuu证证.lim,1sssunnnn 即即设设）（1limlim nnnnnssuss .0.lim1ssnn 1)1(433221,1nnn例如例如这个级数发散这个级数发散.),(1)1(limlim1不不存存在在nnunnnn用法用法:如果级数的一般项不趋于零如果级数的一般项不趋于零,则级数发散则级数发散.证毕证毕.017.,01limlim,131211,但但是是它它是是发发散散的的即即敛敛的的必必要要条条件件虽虽然然满满足足收收调调和和级级数数例例如如 nunnnn注意注意:级数的一般项趋于零是级数收敛的必要条件而不级数的一般项趋于零是级数收敛的必要条件

13、而不是充分是充分条件条件.lim,)(sssnnn 且且设设它它的的部部分分和和为为假假定定调调和和级级数数收收敛敛反反证证法法证证.0)lim(2 ssssnnn,lim2304ssnnP 上上册册定定理理,事事实实上上,212 nnnnnnn2111 ,0)lim(2 nnnss.所所以以调调和和级级数数发发散散矛矛盾盾的的序序号号为为偶偶数数的的子子数数列列是是nnss2nnnssnn2121112 .,0lim1收收敛敛即即 nnnnuu,21)lim(2nnnss18.311的的敛敛散散性性判判定定nn).131(3111nnnn解解.131111都都是是发发散散的的一一样样和和知知

14、由由性性质质nnnn.11312111是是发发散散的的调调和和级级数数nnn有有相相同同的的敛敛散散性性与与则则设设常常数数性性质质11,01nnnnukuk课堂练习课堂练习P255.4(2),1,311发发散散且且级级数数常常数数nnk19.)3121(1的的敛敛散散性性判判定定nnn),1|,21(211 qqnn且且公公比比收收敛敛),1|,31(311 qqnn且且公公比比收收敛敛知知性性质质由由2251P.)3121(1收收敛敛 nnn解解也也收收敛敛，且且其其和和为为则则级级数数、分分别别收收敛敛于于和和、如如果果级级数数性性质质 svusvunnnnnnn111)(,2课堂练习课

15、堂练习P255.4(5)20nnnnu31limlim 解解.312发散发散级数级数 nn.312的的敛敛散散性性判判别别级级数数nn.0111 nn131lim 趋趋于于零零，即即则则它它的的一一般般项项收收敛敛如如果果级级数数级级数数收收敛敛的的必必要要条条件件性性质质0lim,)(52531 nnnnnuuuP.?,0lim:1请请举举例例说说明明收收敛敛吗吗能能保保证证满满足足问问nnnnuu.,0lim:1收收敛敛不不能能保保证证满满足足答答nnnnuu课堂练习课堂练习P255.4(3).,01limlim1,1它它是是发发散散的的满满足足调调和和级级数数例例如如nunnnnn21.

16、)(,:111发发散散则则级级数数发发散散收收敛敛若若级级数数证证明明 nnnnnnnvuvu(反证法反证法)练习练习 证证,2251,)(1知知性性质质则则由由收收敛敛假假定定Pvunnn ,)(1收收敛敛nnnnuvu .1收收敛敛即即 nnv.矛矛盾盾22?)(,:111为为什什么么是是否否发发散散则则级级数数都都发发散散和和若若级级数数问问 nnnnnnnvuvu答答:不一定不一定.练习练习 解解,0)1(111收收敛敛而而 nn.1111)1(;1111111发发散散发发散散例例如如 nn.2)11(11发发散散 nn23作业作业:P255 1,2,3(1)(2),4.24结束结束2

17、5nnnnnu1limlim 解解,0lim nnu由由于于,1e0 .152532发散发散知级数知级数性质性质根据根据 nnnPnnn1lim xxxxxxeelnlimln1lim .12的的敛敛散散性性判判别别级级数数练练习习 nnn1lim1xxe )(0型型)(型型 xxx1lim 26)12)(12(2nnun一般项一般项12112171515131311nnsn部部分分和和,11211limlimnsnn.1)12)(12(21nnn且且解解,121121nn,1211n级级数数收收敛敛.)12)(12(21的的敛敛散散性性判判定定级级数数nnn课堂练习课堂练习P255.3(2).111suussunnnnnnn收收敛敛，并并且且则则称称级级数数，有有极极限限的的部部分分和和数数列列如如果果级级数数定定义义