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1、桥梁分析线性代数的应用教学插件教学目的和要求：通过桥梁分析问题，使学生：1、了解线性代数在土木工程中的应用；2、了解如何通过做一些使问题简化的假设，建立实际问题的数学模型3、体会学好线性代数知识的重要性；4、激发学习线性代数的兴趣。知识点：线性方程组 向量分解计划学时：1-2 学时必备技能：1. 力的平衡分析；2. 向量分解；3. 求解线性方程组。主要内容1应用场景2问题分析3建立数学模型4课外任务1应用场景解方程组在许多领域都有应用。下面给出一个在土木工程中的应用例子，虽然加入了一些幽默元素，但类似的情形土木工程师会经常遇到。图1:一个危险的情况一位货运司机正驾着卡车为一个数学家聚会运送物资
2、，但他的卡车超载了。 途中，他遇到了一个古老的桁架桥。这座桥没有标明最大承重载荷。由于注意了 到桥下水中有鲨鱼，他想知道自己那超重的卡车能否安全过桥，这辆卡车大约重 10 吨（20，000 磅）。他拿出手机给你打电话，请你帮忙分析，并给出建议。图 1 中卡车正处于使桁架结构内力和压力最大的位置。2问题分析桁架结构很坚固，是由销连接的三角形构成的。因此，桁架结构不会弯曲（变 成一个微笑的或者皱眉的形状），但是可以拉伸或压扁。两个相同的桁架对称地支撑着桥面，桥的两侧各一个（在图 1 中，看不见 第二个桁架，它在第一个后面）。每个桁架结构承载卡车重量的一半。卡车和货 物总重是 20，000 磅，因此
3、每个桁架结构承重 10，000 磅。假设卡车前面比较重， 前轮承受5720磅的重量，后轮承受4280磅，如图2所示。在铰链A处，桥被固 定，当有人刹车时它不会掉进沟里。在铰链 D 处，桥可以自由的滑动这样在热天 它可以膨胀。3.建立数学模型为了判断该桥是否会断裂，可以用节点法。假设，当桥中桁架的任何组件断 裂时，整座桥就会断裂。节点法是分析桁架每个节点的平衡条件。节点平衡要求 该点所受到的所有内力和外力相互平衡，否则，桁架将会移动。42805720图3：节点法的应用如图3所示，有三个未知的外力a , A，和D，作用在桁架与地面接触的节x y y点上。这三个外力与4280磅和5270磅的负载共同
4、作用导致桁架组件的内力。桁架 每个组件的内力可以通过对每个节点运用节点法来确定。图3是节点法在每个节 点应用的示意图。假设内力方向如箭头所示。所有使桁架组件“截断”的力表为 张力，即作用在桁架组件的拉力。为了把卡车的重量从桥的中间转化为桥两端的支撑力，一些组件一定会被压 缩，另一些一定会被拉伸。所以合力结果为负说明先前的假设错误，而那个特殊 的力实际上是压力。在图3中具有负值的力的箭头应向内。为了使桁架满足平衡条件，在每一节点处，X轴方向和y轴方向的合力应分别为0。对应的数学表达式为工f = 0和工f = 0。大小为4280 lb的力作用在Bxy点和大小为5720 lb的力作用在C点说明，卡车
5、重量直接作用在节点处。让我们来看一下如何根据节点法分析任一节点处的受力情况节点A每个桁架用桁架两端节点处的字母表示，如图3,对支点A有四个力的作用a ,xA , F ,和 F :yABAEA表示作用在A点作用在X轴方向上的力，F表示从A点指向B点的力。xABF表示力的方向为从A指向E。AE图4是对力F的分析，演示了如何对力进行分解。在F在Y方向上的分力:AEAE6y = F10 AEF在X轴方向的分力大小:AE8x = F10 AE为了使A点保持平衡状态，该点处X轴方向和Y轴方向的合力分别为0。A点处Y 轴方向的合力：6A F = 0y 10 AE接着你需要求出A点处X轴方向的合力。然后，通过在每一个支点处重复这样 的过程，你可以建立一个方程组以求得各个桁架组件间未知的力。这个方程组有 唯一解（因为未知数的个数和方程的个数相同）。4.课外任务1）确定作用在桁架上的所有的内力和外力。2）为了评估桁架的安全性，你需要确定桁架的每个组件最多能承受多大的力而 不毁坏。一位土木工程专业的学长通过快速计算，报告说每根杆能承受9000 磅 的拉力和6500磅的压力，问卡车是否能安全通过该桥梁。3）对于你的分析和得出的结论写一份技术报告。4）你还可以做一些其他探讨，进行拓展。
线性代数在桥梁分析中的应用
