数学物理方法第一章谷风教学

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1、 复变函数论复变函数论 主要内容主要内容 第一章第一章 复变函数复变函数 第二章第二章 复变函数的积分复变函数的积分 第三章第三章 幂级数展开幂级数展开 第四章第四章 留数定理留数定理 第五章第五章 傅里叶变换傅里叶变换 第六章第六章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换1沐风教育/1.1 1.1 复数的概念及四则运算复数的概念及四则运算1.1.1 1.1.1 复数概念复数概念2沐风教育/1 1.1 1.2 2 复复数数的的基基本本代代数数运运算算 1.四则运算四则运算加加（减减）法法：121212()i()zzxxyy 乘乘法法：121212121221()i()z zzzx xy yx yx y 除除

2、法法：1111 21 21 21 2222222222222ii (0)izxyxxy yyxx yzzxyxyxy 复数的四则运算也满足交换律结合律和分配律。复数的四则运算也满足交换律结合律和分配律。3沐风教育/1.2 复数的表示复数的表示 1.2.1 1.2.1 复数的几何表示复数的几何表示 P r o x y x y 图 1.1 4沐风教育/5沐风教育/0 x y 图 1.2 02 k 6沐风教育/7沐风教育/8沐风教育/9沐风教育/1.2.4 共轭复数共轭复数10沐风教育/1.3 1.3 复数的乘幂与方根复数的乘幂与方根1.3.1复数的乘幂 定定理理 1 1.3 3.1 1 两个复数相

3、乘，其模等于它们模的乘积，其辐角等于它们辐角的和.)sin(cos:ninrzzzzznnn 定义11沐风教育/12沐风教育/13沐风教育/2 i2 2 cos()isin(),(0,1,2,1)knnnkkkrernnknw14沐风教育/例例 求1的n次方根，并讨论根在复平面单位圆周上的位置.15沐风教育/16沐风教育/1.4 区域区域的概念000:zzzzz的 邻域 点集称为 的 邻域邻域的去心称为点集邻域的去心0000:zzzzz17沐风教育/闭区域：区域D与它的边界一起构成闭区域有界区域：如有正数使得区域D中每一个点都满足Mz M则D称为有界的，否则称为无界的孤立点所构成是两个圆周及其

4、若干个化但边界有变它仍是区域点如在圆环内去掉若干个此域称为圆环域构成两个圆周其边界由是一有界区域如点集,.,2010201rzzrzzrzzrz18沐风教育/2.单连通域与多连通域19沐风教育/作业梁昆淼:P6 1.2，1.5，1.7；2.4，2.7；3.7，3.8；20沐风教育/复变函数复变函数的定义：设G是的集合，如果有一个法则存在，按照该法则，对于G中的每一个z有确定的复数与之对应则称复变数是复变数的函数记作iyxzivu z)(zf21沐风教育/22沐风教育/)(zf等价两个二元实函数),(),(yxvvyxuu2z考察函数即xyiyxiyxivu2)(222因此2z对应22yxuxy

5、v223沐风教育/如果 和反函数 都是单的，则称 是一一映射.也称 和是一一对应的.)(zf)(z)(zfG*G今后如无特殊说明，所讨论的函数均为单值函数.24沐风教育/6.复变函数的极限和连续性1.函数的极限定义：内有定义，去心 有没有意义都可以 时，00zz0z)(0zf0zz Azf)(记作Azfzz)(lim025沐风教育/.函数的连续性定义：如果则称在处连续如果在区域内每一点处处连续，则说在内连续)()(lim00zfzfzz)(zf0z)(zfD)(zfD定理1：在处连续的充要条件是：其实部、虚部都在处连续)(zfiyxz000),(00yx26沐风教育/定理2.连续函数的和、差、

6、积、商（分母不为零）仍连续连续函数的复合函数仍连续关于的多项式函数znnzazazaazp.)(2210z关于的有理式函数在复平面内所有的点处都连续mmnnzbzbzbbzazazaazQzP.)()(22102210在复平面除分母为零的点外都连续27沐风教育/7 解析函数的概念复变函数的导数与微分.1)()(zfzzfw.)(00处的导数在极限值为时的极限存在，则称此当若zzfzzw28沐风教育/.000的方式是任意的即必须强调：定义中zzzzz.)()(内可导在内处处可导，则说在区域内可导：如果区域DzfDzfD29沐风教育/的导数求：例2)(1zzf，则在定义域内任取一点，在整个复平面上

7、有定义解：02)(zzzf000202000002)2(lim)(lim)()(limzzzzzzzzzfzzfzzz30沐风教育/.)(2)(200的在整个复平面上是可导即故zzfzzf是否可导？问：例yixzf2)(2，则在定义域内任取一点，的定义域为全体复平面解：0)(zzf31沐风教育/yixyixyixiyxiyyxxzzfzzfzzz2lim)2()(2)(lim)()(lim000000000故因时，轴的直线趋向沿平行于让000yzxzz32沐风教育/1lim2lim00 xxyixyixzz故因时，轴的直线趋向沿平行于让.000 xzyzz22lim2lim00yiyiyixy

8、ixzz.2)(不可导在其定义域内处处所以yixzf33沐风教育/（2）可导与连续002()2.()().f zxyif zzf zz由例 知在其定义域内处处连续 但却处处不可导，反之可证明：在处可导，则在处必定连续34沐风教育/（3）求导法则)(0)(.1为复数cc)(.21为正整数nnzznn)()()()(.3zgzfzgzf)()()()()()(.4zfzgzgzfzgzf35沐风教育/)0)()()()()()()()(.52zgzgzfzgzgzfzgzf)()()()(.6zgwzgwfzgf其中.)(),()(1)(.7函数单值两个互为反函数的是wzzfwwzf36沐风教育/

9、解析函数的概念.)()()()()(.)()(000一个解析函数内的是内解析，或称在内的是内解析，或称在内每一点解析，则称在区域果如解析在域内处处可导，则称的邻及在如果函数定义：DzfDzfDzfDzfDzfzzfzzzf37沐风教育/.)()(00奇点的为不解析，则称在如果zfzzzf.)()(内可导在区域在区域内解析注意：zfzf38沐风教育/的解析性讨论函数的：例22)(,2)(,)(3zzfyixzfzzf的解析性不解析的；在复平面内是处处在复平面内是解析的；解：22)(2)()(zzfyixzfzzf39沐风教育/zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzfzzf0000000

10、000202000)()()(40沐风教育/zzzzz000)0()0(lim0)1(00zfzfzz，则若则趋向沿直线让若00000)(,0)2(zxxkyyzzz41沐风教育/kikiixyixyyixyixzz1111.)()(000无极限时，值的任意性，可知当由于zzfzzfzk42沐风教育/.0)(2上处处不解析的定义，它在复平面都不可导，由解析函数处可导，在其他点处仅在因此zzzf的解析性研究函数：例zw14210zdzdwz 时由求导法则知，当解：43沐风教育/.010是它的奇点解析，在复平面上处处外，所以除zzwz.)(),(仍解析除外）积、商（分母为零的点其和、差、解析，则内

11、，在区域zgzfD定理144沐风教育/8 函数解析的充要条件()(,)(,)(,),(,)f zu x yiv x yDu x yv x yD：函数在其定义域 内解析在 内可微柯西黎，并且满足曼方程：定理一,uvuvxyyx yvyuixvixuzf1)(而且45沐风教育/)Re()3()sin(cos)()2(,)()1(,1zzwyiyezfzzfx何处解析？导判定下列函数在何处可：例46沐风教育/1,0,0,1),(,),()1(yvxvyuxuyyxvxyxu因为解：复平面内处处不可导。在方程不满足，所以可知：zwRC47沐风教育/yeyvyexvyeyuyexuyeyxvyeyxux

12、xxxxxcos,sinsin,cossin),(,cos),()2(因为.)(,复平面内处处解析在续，所以且上面四个偏导数都连从而zfxvyuyvxu48沐风教育/xyvxyxuxyixxiyxzzw,),()()Re()3(22即xyvyxvyuxxu,0,2.,0)Re(,0,析但在复平面内处处不解处可导在因而方程它们才满足时但只有此四个偏导数处处连续zzzwRCyx49沐风教育/50沐风教育/22121212121212(1)sin()sin,cos()cos(2)sincos1(3)sin()sincoscossin(6)4)cos()coscossinsin(sin5)sin(2)sin,cos(,co2)cos s1zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz can be great er t han 51沐风教育/sincostan,cot,cossin11sec,csc,cossinzzzzzzzzzz4.4.双曲函数双曲函数sinh,cosh,22sinhcoshtanh,coth,coshsinh11sech,csch.coshsinhzzzzeeeezzzzzzzzzzzz22coshsinh1zz恒等式：恒等式：52沐风教育/53沐风教育/作作业业P92.1-2.8；3P131P182.1，2.6，2.10；354沐风教育/