电动力学课件：2-5-格林函数法

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1、2.5 2.5 格林函数方法格林函数方法三、用格林函数求解一般的边值问题一、点电荷密度的函数表示二、格林函数内容提要内容提要它与点电荷解的边值相关，可解静电学的许多边值问题。它与点电荷解的边值相关，可解静电学的许多边值问题。设设V V内电荷分布内电荷分布 已知，已知，第一边值问题第一边值问题SSn 给定给定V边界边界S上的各点电势上的各点电势 或给定边界或给定边界S上法向分量上法向分量 第二边值问题第二边值问题求求V内各点电势值。内各点电势值。格林函数方法在求解静电场的某些问题中非常有用，而格林函数方法在求解静电场的某些问题中非常有用，而且在理论物理的研究中是很重要的工具。且在理论物理的研究中

2、是很重要的工具。一、点电荷密度的函数表示)()(xxx)(1)()(VxdVxxxdxVV)()()()(VxxfxdxxxfVx1.处于处于点上的单位点电荷的密度点上的单位点电荷的密度)()(xxQx一般2常用公式常用公式点电荷的泊松方程：设电势为)()(02xxQx02)()(xxx 单位点电荷产生的电势 空间区域V上的边界条件0SSn或常数),()(xxGx对于静电场的点电荷问题 称为静电场的格林函数 02)(),(xxxxG （0),(SxxGSnxxG),(或常数）2x 只对微商。),(xxG二.格林函数上单位点电荷在无穷空间中激发的电势x2220)()()(141),()(zzyy

3、xxxxGx222)()()(zzyyxxr（1）无界空间中的格林函数）无界空间中的格林函数 的距离 到xxxxrxxG004141),(球坐标中 （偶函数）),()(412xxGxxr显然满足点电荷泊松方程。（2）上半空间的格林函数）上半空间的格林函数0111()(,)4xG x xrr 222222()()()()()()rxxyyzzrxxyyzz（3）球外空间的格林函数）球外空间的格林函数),(zyxP设点电荷Q=1 坐标为),(zyxP观察点为222zyxxR222zyxxRRR0（R相当于题中的 a）cos222RRRRxxrPP P xRR220设假想点电荷在，它的坐标为PO R

4、R20（它在连线上，题中b对应这里的）cos22202402220RRRRRRxRRxrPP)(1202000RRRaRbRRRQRQQ 22011(,)()42cosG x xxRRRR 22001()2cosRRRRRR)cos(sinsincoscoscosx相应格林函数问题：V内点上有单位点电荷，)(xS)(x02，给定，求V内。满足（真空情况）0),(SxxG),()(xxGx 解为 边界上1.第一类边值问题求解的格林方法第一类边值问题求解的格林方法（1）V内有电荷分布（2）二者的联系由格林第二公式给出0()(,)()()(,)VSxG x xx dVxG x x dSn ),(xx

5、GSx)(只要知道相应问题的和)(x即可得到SVSdSnnSddV)()()(22满足泊松方程，为V内电势设02)()(xxxx（为讨论方便与互换）),(xxG02),(xxG 为格林函数 SdnxxGxnxxxGVdxxGxxxxGSV),()()(),(),()()(),(22 0),()(1)()(1),()()(),(1)(),(00202SVVVVxxGxVdxxxVdxxGxVdxxxGVdxxxG0()(,)()()(,)VSxG x xx dVxG x x dSn SdnxxGxnxxxGVdxxGxxxxGSV),()()(),(),()()(),(222第二类边值问题解的格

6、林函数方法第二类边值问题解的格林函数方法)(xSn，S上上给定，给定，（1）V内有电荷分布内有电荷分布)(x求V内相应格林函数问题 SnxxG),(在S上）x常数（2）SSVSdxnxxGVdxxxGx)(),()(),()(0),(xxGSn)(x只要知道和，即可马上得到（1）的求解本身也不是一件很容易的事情。一般只有区域几何形状规则、简单才容易求解。电象法是求解格林函数的有效方法之一。),(xxG3格林函数方法求解讨论（2）格林函数方法也可用来解拉普拉斯方程的边值问题。由0SSdxxGnxx),()()(0SSdxnxxGx)(),()(0 第一类边值问题第一类边值问题 第二类边值问题第二

7、类边值问题例例 在无穷大导体平面上有半径为在无穷大导体平面上有半径为a的园，园的园，园内和园外用极狭窄的绝缘环绝缘内和园外用极狭窄的绝缘环绝缘,设园内电势设园内电势为为V0，导体板其余部分电势为零，求上半空间，导体板其余部分电势为零，求上半空间的电势。的电势。解解：axyzRP(,z)P(,z)V0此题此题Green函数满足的形式为函数满足的形式为相当于无穷大金属平板旁边放置单位电荷求电势问题相当于无穷大金属平板旁边放置单位电荷求电势问题00 0000002RzRzVz0),()(1),(002zxxGxxxxG其其 Green函数为函数为其中：其中：换为柱坐标，且有换为柱坐标，且有故故Gre

8、en函数为函数为)11(41)(0rrxxG2222)()()(zzyyxxr22222222)()sinsin()()coscos()(zz zzzzRRyyRRxx又又电荷密度电荷密度 ，还有，还有 故得到故得到因为积分面因为积分面S是是z=0的无穷大平面，法线沿的无穷大平面，法线沿-z方向，方向，而而2122222122220)cos(221)cos(22141)(RRz zzRzRRRz zzRzRxxG0SG0)(xsdnxxGxxS)()()(0由于由于S上只有园内部分电势不为零，因此式子上只有园内部分电势不为零，因此式子中的积分只需对中的积分只需对ra积分，即可。积分，即可。23

9、22200)cos(221)()(RRRzRzzxxGnxxGzSsdnxxGxxS)()()(0dRdRsdVx .)(0故故在很远处，在很远处，(R2+z2a2)的电势可以展开成幂级数，的电势可以展开成幂级数，积分的被积函数分母展开积分的被积函数分母展开232022222002023222000)cos(21)(12)cos(22)()()(zRRRRzRdRdRzVRRRzRzdRdRVsdnxxGxxaaS223815231)1(其中其中注意到注意到cos(-)对对一个或数个一个或数个2周期的积分为零，周期的积分为零，故故222)cos(2zRRRR)(815431)(2)()cos(

10、4)cos(4815)()cos(2231)(12)(222222223222022223422202023220zRaRzRazRzaVzRRRRRRzRRRRzRdRdRzVxa1、分离变量法能解的情况：分离变量法能解的情况：自由电荷全聚集在边界自由电荷全聚集在边界上，也就是说：在要求解电场区域没有自由电荷上，也就是说：在要求解电场区域没有自由电荷(泊松方程转变为拉布拉斯方程泊松方程转变为拉布拉斯方程)+边界条件。边界条件。0222、镜像法能解的情况：镜像法能解的情况：在求解区域内没有自由电在求解区域内没有自由电荷，或者只有有限几个点电荷，并且区域边界或荷，或者只有有限几个点电荷，并且区域边界或介质界面规则介质界面规则(电场能用等效电荷代替电场能用等效电荷代替)+边界条件。边界条件。