考研数学一笔记.docx

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1、知识无涯须勤学，青春有限贵惜阴。高等数学常用公式等比数列 等差数列 极限一、 对于和式 进行适当放缩有两种典型的方法当n为无穷大时，则 numinu1+u2+unnumax当n为有限项，且ui0时，则 umaxu1+u2+unnumax二、 常用极限： 三、 常见等价无穷小代换总结常见等价无穷小代换总结x0时 sinxxx-sinx16x3 arcsinx=x+16x3+arcsinxxarcsinx-x16x3 tanx=x+13x3+tanxxtanx-x13x3 arctanx=x-13x3+arctanxxx-arctanx13x3ln1+xxx-ln1+x12x2ln1-x-xex-

2、1x1-cosx12x29.1+x=1+x+-12!+ 1+x-1x10.ax-1=exlna-1四、 7种未定型（注意正真的0和1与极限为0和1 的区别）设limfx=A，limgx=B AB A,B均为数且A0 0 A为0，B为+ + A为0，B为- 0 A为，B为0 1 A为1，B为 00 A为0，B为0 AB A,B均为数0 A为数，B为 A为，B为数 00 A为0，B为0 A为，B为limfxg(x)=limfxg(x)= AB A为数B为数 A，B中一个为数，另一个为 0 A，B中一个为0，另一个为limfxgx = A-B A，B均为数 A，B一个为数，另一个为 A，B为异号-

3、，为同号 limfx-gx=五、 求渐近线的步骤先求垂直渐近线：求水平渐近线：求斜渐近线：（时才需求斜渐近线，因为水平渐近线和斜渐近线不同时存在）六、 极值点的来源：不可导点：驻点七、 需要考虑左右极限的情况式子中含有式子中含有不存在式子中含偶次方根式子中含有取整符号含有分段函数导数判定fx在处是否可导利用导数的定义求极限（罗比达法则的替补）导数的应用分段函数的分段点；抽象函数：不满足求导法则；求导函数太复杂。求导数分子一动一静分母有左有右上下同阶或低阶可导条件1.公式法2.归纳法3.莱布尼兹公式求高阶导数写出Taylor展开式将f(x)间接展开利用对应系数相等步骤4.利用Taylor公式中值

4、定理涉及的中值定理，即连续函数在闭区域a,b上的性质设在a,b上连续，则定理一（有界性）：定理二（最值定理）：，其中m，M分别是在a，b上的最小值与最大值。定理三（介值定理）：当时，其中m，M分别是在a，b上的最小值与最大值，使得定理四（零点定理）：当时，使得涉及导数的中值定理定理五（费马引理）：设在x0的某领域U(x0)内有定义，且在x0处可导如果对任意的xU(x0)有（或），那么。补充一（导数零点定理）设在a,b内可导，且，则,使得定理六（罗尔定理）：如果函数 在闭区间 上连续, 在开区间内可导, 且在区间端点的函数值相等，即, 那末在内至少有一点,使得函数在该点的导数等于零，即 。该定理

5、的逆否命题：若在(a,b)内没有实根，即，则fx=0在a,b上至多只有一个实根。推广：若在(a,b)上没有实根，即，则fx=0在a,b上至多只有n个实根。定理七（拉格朗日中值定理）：如果函数 在闭区间上连续, 在开区间内可导 那么在内至少有一点，使等式 成立。定理八（柯西中值定理）：如果函数及在闭区间上连续,在开区间内可导,且在内每一点处均不为零，那末在内至少有一点,使等式 成立。定理九（Taylor公式）：如果函数在含有的某个开区间内具有直到n+1阶的导数，则对任意，有 这里的是介于x0与之间的某个值。 注：Taylor公式常用于处理含二阶及二阶以上导函数代数式的问题，证明的一般思路如下：

6、将在x0处展开成比高阶导数低一阶的Taylor展开式 关键在于如何确定与，一般把题目中已知某点的函数及各阶导数值设为区间端点为，闭区间的中点有时也会用到 对得到的式子进行适当运算。涉及积分的中值定理定理十（积分中值定理）设在a,b上连续则在a,b上至少存在一点使得 推广一：设在a,b上连续则使得 推广二（第二积分中值定理）：设与在a,b上连续，且在a,b不变号，则，使得逐项还原组合还原 同乘因子求解微分方程1） f+f=0 exfx+exfx=exf(x)2)f+f=0 x-1fx+xfx=xf(x)同乘以ex1.构造辅助函数两个模型同乘以x-1罗尔定理考点2.找端点值使得fa=f(b)经典不

7、等式总结三角不等式：设为实数则 推广：离散情况：设为实数，则连续情况：设在可积，则均值不等式，推广：设是正整数，则杨氏不等式：设，则柯西不等式：施瓦茨不等式：若在可积，且平方可积，则其他不等式 若，则 积分1. 有理函数积分设有真分式Rx=P(x)Q(x)，Q(x)已被因式分解，若分母中有一个一因子(x-a)n，则分解式对应项为：A1x-a+A2x-a2+Anx-an若分母中有一个因子x2+px+qn，(p2-4q0)，则分解式对应项为：A1x+B1x2+px+q+A2x+B2(x2+px+q)2+Anx+Bn(x2+px+q)nex: ax2+bx+cx3(x-1)2=A1x+A2x2+A3

8、x3+B1x-1+B2(x-1)2求积分的方法公式法分项积分法第一类换元第二类换元分部积分法万能代换区间再现万能代换：令tanx2=t，则sinx=2sinx2cosx2=2tanx2sec2x2=2t1+t2cosx=cos2x2-sin2x2=1-tan2x2sec2x2=1-t1+t区间再现：在计算很多定积分和某些定积分证明时，有时需要互换积分限。常见互换积分限为：t=-x，x-a,at=-x，x0,t=2-x，x0,22. 比较广义积分的敛散性比较判别法的极限形式设函数fx及g(x)都是在区间a,+)非负连续函数，若，则当0l+时，afxdx和agxdx同时收敛或同时发散；当l=0时，

9、agxdx若收敛，则afxdx也收敛；当l=时，若agxdx发散，则afxdx也发散。设函数fx及g(x)都是在区(a,b非负连续函数， ，则0l+时abfxdx和abgxdx同时收敛或同时发散。多元函数求具体点的偏导数几何意义求偏导数zx高阶偏导数偏积分偏导数考点微分 z=fxdx+fydy+o，=x2+y2z-fxdx-fydyx2+y2=0 fx,y在0,0点可微fx,y在可微偏导个数=自变量个数项数=中间变量个数分线相加，连线相减zx，zy仍然是x,y的函数抽象复合函数可以用1,23表示偏导数的结构微分方程二阶线性微分方程特解的求法令，则；，则于是令，则有如下重要性质（注：表示微分，表

10、示积分） 当时， 当时， 当时， 其中为1除以按升幂排列所得商式，其的最高次数为右边多项式的最高次数。1除以的运算如下1其中一阶线性微分方程组的解法齐次微分方程组解题程序：引入微分算子则令 ，则满足求解（或）； 将求出的代入方程中的第一个方程，求出(或第二个方程求出）注：求出其中一个解，再求另一个解时，宜用代数法，不要用积分法。非齐次微分方程组的解法方程的通解=对应的齐次方程的通解+非齐次方程的一个特解。y一个重要关系ox其中表示极径与点切线间的夹角。概率论常用知识分组有序分组个元素分成共组，其个数分别为 ，则分组方法的总数为无序分组个元素分成个组，其中各组的元素为，各组的元素为个，各组的元素

11、为个，则分组方法的总数为函数定义性质 ， 为正整数时： 参数的置信区间已知，置信区间为未知，置信区间为参数的置信区间（未知），置信区间为微积分常用公式a3-b3=a-b(a2+ab+b2)an-bn=a-ban-1+an-2b+an-3b2+abn-2+bn-1 , nZ+sin+sin=2sincos sin-sin=2cossincos+cos=2coscoscos-cos=2sinsin17导数部分C=0x=x-1sinx=cosxcosx=-sinxtanx=sec2x(cotx)=-csc2xsecx=secxtanxcscx=-cscxcotxax=axlna ex=ex(loga

12、x)=1xlogae lnx=1xarcsinx=11-x2arccosx=-11-x2arctanx=11+x2arccotx=-11+x2积分部分kdx=kx+C1xdx=lnx+Cxdx=x+1+1+C11+x2dx=arctanx+C11-x2dx=arcsinx+Csinxdx=-cosx+Ccosxdx=sinx+C1cos2xdx=sec2xdx=tanx+C91sin2xdx=csc2dx=-cotx+Caxdx=axlna+Csecxtanxdx=secx+Ccscxcotxdx=-cscx+Cexdx=ex+Ctanxdx=-ln|cosx|+C cotxdx=lnsinx

13、+Csecxdx=lnsecx+tanx+Ccscxdx=lncscx-cotx+Cdxa2+x2=1aarctanxa+C1x2-a2dx=12aln|x-ax+a|+C1a2-x2dx=arcsinxa+C21.1x2a2dx=ln|x+x2a2|+C 22.a2-x2dx=a22arcsinxa+x2a2-x2+C23.Ax+Bx2+px+qdx=A2lnx2+px+q+2B-Ap4q-p2arctan2x+p4q-p2+Cn-1n， n为奇数24.02sinndx=02cosndx=n-1n2，n为偶数25.a2+x2dx=x2a2+x2+a22ln(x+a2+x2)+C26.x2-a2dx=x2x2-a2-a22ln(x+x2-a2)+C