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1、简谐运动位移公式推导问题：质量为 m 的系于一端固定的轻弹簧(弹簧质量可不计)的自由端。如图(a)所示，将物体略向右移，在弹簧力作用下，若接触面光滑，m物体将作往复运动，试求 位移 x 与时间 t 的函数关系式。图( a)分析：m物体在弹力F的作用下运动，显然位移X与弹力F有关，进而由弹簧联 想起胡克定律，但结果只有位移与时间，故要把弹力F替换成关于X与t的量, 再求解该微分方程。推导：取物体平衡位置 O 为坐标原点,物体运动轨迹为 X 轴，向右为正。设弹力 为F,由胡克定律 F = -kX,K 为劲度系数，负号表示力与位移方向相反。dv d2 F k根据牛顿第二定律，m物体加速度a=石一石X
2、一 一Xdt dt2 m m 可令巴=32m代入( a) ,得d2X =-2X 或鱼 + 皿X=0dt2dt2显然，想求出位移X与时间t的函数关系式，须解出此微分方程求解：对于+皿x=o ,即X+3 x=odt2(4)(4)式属可将阶的二阶微分方程，若设X=u，消去t,就要把把x”转化为关于x与t的函数，那么X=dX= du dx dudt dx dtdxU 巴+32x=0, U 竺=一32xdxdx面分离变量再求解微分方程，然后两边积分，得f udt=-32 f XdxU2 = 1 32x2 +C2即U2 = 3 2x 2 +C1U=X,X=VC1 3 2x2 二竺dt (6)dx 再 次
3、分 离 变 量， C1-3 2x2 (7)两边积分，右边=t，但左边较为复杂，经过仔细思考，笔者给出一种求解方法：运用三角代换，令X=2cosz3d cos z - sin zdz dz式左边化为一一:=J3 sin z 3 sin z 3两边积分，得-|=t+C2由此可得，X=VCT cos（3t+3C2）,3即X二Acos（3t+屮）.(8)其中A,屮皆为常数此方程即为简谐运动方程若w =0,X-t为余弦曲线，如图（b）所示图（b）验证：通过高频照相机拍摄后发现 m 的轨迹为周期摆动的简谐曲线，与X二AC0S（3t+W）图像基本吻合，故可判断X二AC0S（3t+屮）即为所求，如图（c） 所示。图（c）
简谐运动位移公式推导
