第四章 大数定律与中心极限定理

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1、第四章 大数定律与中心极限定理第一节 大数定律一、历史简介概率论历史上第一个极限定理属于贝努里，后人称之为“大数定律” 1733年,德莫佛 拉普拉斯在分布的极限定理方面走出了根本性的一步,证明了时二项分布的极限分布是正态分布.拉普拉斯改进了他的证明并把二项分布推广为更一般的分布.1900 年,李雅普 诺夫进一步推广了他们的结论,并创立了特征函数法.这类分布极限问题是当时概率论研究的 中心问题,卜里耶为之命名“中心极限定理”.20 世纪初,主要探讨使中心极限定理成立的最广 泛的条件,二三十年代的林德贝尔格条件和费勒条件是独立随机变量序列情形下的显著进展. 在第一章已经指出,随机事件在大量重复试验

2、中呈现明显的统计规律性,即一个事件在大量重 复试验中出现的频率具有稳定性.这种稳定性的提法应该说是什么形式? 贝努里是第一个研 究这一问题的数学家.他于是 1713 年首先提出后人称之为“大数定律”的极限定理.二、大数定律定理1（贝努里大数定律）设叫是卫重贝努里试验中事件川出现的次 数是事件卫在每次试验中出现的概率，则对任意的0 ,有lim P(p 当一 N时，岭 这表明，在共有圧个岭中, 绝对值超过&的元素不多于恥个，其余的/一恥个元素的绝对值不超过&,故有由于可任意小,故马尔科夫条件成立，所以谄服从大数定律.例5设谄相互独立且 从大数定律.p = i)= hi-P) 御证明:因为，故,2证明服故马尔科夫条件成立，所以占服从大数定律.例6设相互独立且分别具有以下分布，试确定是否满足马尔科夫条件.= 夕)=p( = =_v( = o)=i-32P( = ) = l 02i 1 1解:易知蹈”必心由于故不满足马尔科夫条件.易知砖宀必/由于故不满足马尔科夫条件.易知呢“皿十.由于注意到2/ + 1 1,故级数收敛满足大数定律.作业:P221 EX 19，24，25，26