反比例函数的图像和性质导学案

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1、1.2 反比例函数的图像和性质（ 1） 一、教材背景分析到九年级上册一开始就学习“反比例函数”这样编排的好处是因为反比例函 数根据数学课程课标与原教材相比本章内容要求有所提高，主要表现在： 其一性质的探索过程根据图象和解析式探索并理解其性质；其二在实际问 题中的应用这是符合新课改的理念，总的来说是探讨知识发生的过程，培养 学生自己探索问题，同时联系实际，提高学生分析解决问题的能力与原浙教 版相比，降低的地方是删去了反比例函数图象的性质：图象的两个分支都无限 接近但永远达不到 x 轴和 y 轴因为从教学实践看，学生对此不易理解，这条 性质实际应用意义也不大假如学生程度较好，老师在这方面也可以适当

2、拓 展从编排顺序来看，原来浙教版中，本章内容放在初二下的“函数及其图象” 一章中，编排顺序是平面直角坐标系函数正比例函数反比例函数本套 教科书采用分步到位、穿插编排的方式在八年级上册安排了 “图形与坐标”、 “一次函数”， 反比例函数图像对思维要求比较高，图象分两支，且又是曲线， 学生理解相对困难，略放后面与学生接受能力、认知水平相当，为学生探索理 解反比例函数创造条件。二、学习类型与任务分析学习结果类型分析（一）学习结果：会画反比例函数的图像，通过反比例函数图象的分析，探索并掌握反比例函数图象的性质。（1）反比例函数解析式和图像是数学事实；（2）反比例函数是数学概念；（3）用“描点法”画函数

3、图像的一般步骤是数学原理；（4）用“描点法”画反比例函数图像是数学技能；（5）从函数解析式到函数图像的画法的数形结合的思想数学思想方法； （6）根据函数图像性质求自变量与函数的取值范围是数学问题解决。学习形式类型分析（二）学习形式：由于反比例函数的图像是根据反比例函数解析式用描点法得到的这是在原有知识的基础上学习一个水平更高的概念，常常采 用发现学习的模式。因此本课采用上位学习形式。学习任务分析（三）学习任务：解析式ykx(k 为常数，k0)画反比例函数图像三、学生情况分析学生的起点能力（1）函数的三种表示方法；（2）反比例函数的概念；（3）用描点法画函数图像的一般步骤。 四、教学内容分析反比

4、例函数的图像性质进一步熟悉作函数图象的步骤，会作反比例函数的图象，并由图象归纳 概括出反比例函数图像的性质。五、教学目标1知识与技能（1）进一步熟悉作函数图象的步骤，会作反比例函数的图象，并由图象 纳概括出反比例函数的性质。（2）体会函数的三种表示方法及相互转换，对函数进行认识上的整合，提 升学生对数形结合思想的认识。2过程与方法通过画图象，进一步培养“描点法”画图的能力和方法，并提高对函数 图象的分析能力同时尝试用类比和特殊到一般的思路方法，归纳反比例函 数一些性质特征培养与发展学生的探究能力，提高从图形中提取有效信息 的能力，训练观察与分析、归纳与概括的能力。3情感、态度与价值观由图象的画

5、法和分析，体验数学活动中的探索性和创造性，感受数学美， 并通过图象的直观教学激发学习兴趣，增强学生对数学学习的好奇心和求知 欲。六、教学重点、难点重点是反比例函数的图象及图像的性质；难点是由于反比例函数的图像分成两支，给画图带来了复杂性，因此反比例 函数的图象特点及性质的探究是难点。七、教学准备多媒体，坐标纸。八、教学过程教学教师活动学生活动设计说明环节创设情景，复习旧知y=6x，y 是 x通过对正比例函（多媒体创设情景：图片及问题）：长方形 的正比例函数及其图象的复的一边长为 6，面积 y 和另一边长 x 之间有 什么关系？数。习，为引入反比例函数的图象作此函数的图象是怎样的？如何画出它的经

6、过原点的一 铺垫，做到自然图象呢？条直线。过原 点（0，0）和过渡，完成由正比例函数到反比创设情景（1，6）两点 作一条直线， 就是它的图 象。例函数的知识迁移，从而引出课 题。以旧探新设疑激情，导入新课（多媒体展示第二个问题）：如果长方形的面积为 6，一边长 x 和另一边长 y 之间又有xy=6，y=6/x， y 是 x 的反比 例函数。什么关系呢？华罗庚教授曾深刻指出：“数无形，少直观； 同学们思考、形无数，难入微”那么，请同学们想一想， 猜想。 此函数的图象还是不是直线呢？这就需要我们动手去做一做，才能得出结论，本节课就让我们一起来实践吧。同学们还记得作函数图象的步骤吗？列表，描点， 因

7、为学生初次遇到尝试发现探索新下面请同学们试着作出反比例函数 y=6/x 的图象。（巡视、指导）现在出现几种不同类型图象，请同学们连线。 学生动手画 图。观察、思考。非线性函数的图象， 而且反比例函数的 图象是由断开的两 支曲线组成，因此， 在作图过程中，我给 学生充足的思考和 交流时间。通过展示几种典型 的错误作图，引导学知认真观察、分析，他们画的都正确吗？如果 合作交流，分生交流讨论，分析并不正确，请指出错在哪里？（对学生的回答予以恰当的指导并鼓励表 扬）（多媒体演示正确画法：列表、描点、连线）组讨论。 派代表回答。发现问题、归纳总结 出作反比例函数图 象时要特别注意的 几个问题。这样设计，

8、通过 自我尝试、发现问 题、纠正错误的过 程，以及学生自主探 究、合作交流、反馈评价，培养学生团结尝试发议一议你认为作反比例函数图象时应注意哪协作的情感和勇于探 索、创新的精神； 而 生动形象的多媒体表 现形式，更激发了学 生对数学的好奇心和 求知欲，增强学生对 数学的兴趣。思考、交流、 通过设置图象与现探索新知些问题？图象可能与坐标轴相交吗？为什 么？与同伴进行交流。学生容易总结出：1、在列表时，自变量的取值应取绝对值相等而符号相反时的一对一对的数值，这样既 可以简化计算，又便于描点；2、列表、描点时，要尽量多取一些数值， 多描一些点，这样方便连线；（选具有代表性的几位同学的作品用实物 投影

9、展示）回答。坐标轴能否相交 的问题,加深了学 生对反比例函数 的记忆，培养了学 生思维的灵活性 和深刻性。3、在连线时要用“光滑”的曲线，不能用 折线。4、图象具有无限延伸性，但不与坐标轴相 交。（多媒体汇总出 4 条注意事项）做一做请同学们动手用同样的方法作反比例函数 y=-6/x 的图象。学生独立完成。（多媒体演示正确图象，让学生对照参考） 想一想上面是函数 y=6/x 和 y=-6/x 的图象，请大 家对比着探索他们的异同点？尝试 （根据学生回答情况，引导归纳出：1、反观察回答。通过对反比例函 数图象的观察、分析、 归纳，初步感知双曲 线的特征，为下一步 总结反比例函数的性发现探索新知比

10、例函数 y=k/x 的图象是由两支曲线组成的，并指出这两支曲线称为双曲线。2、反比例函数 y=6/x 的图象位于第一、三象限内，而 y=-6/x 的图象位于第二、四象限内）质埋下伏笔。应用拓展，加深理解提出问题：同学们再仔细观察、思考一下，每个函数的图象，是否为对称图形？（多媒体动画演示：反比例函数的轴对称性 和中心对称性）感悟、思考。多媒体演示，既增强 了直观性，同时也使 同学们从中感悟图形 美。看一看，找一找（多媒体展示）观察反比例函数y=2/x,y=4/x,y=6/x,y=-2/x,y=-4/x,y=-6/x的图象：观察分析，合作交流，分组讨论。师生互动层层深入你能发现什么共同特征吗？（

11、1）函数图象分别位于哪几个象限内？（2）图象的两个分支在对称性方面具有什 么特征？（巡视、指导）（根据回答情况，及时鼓励表扬）想一想，试一试通过对以上问题的探讨，你能总结出反比通过学生对问题（1）和（2）的探索、交流、归纳，概括出反比例函数的特征。例函数 y=k/x（k0）的图象都有哪些特征 吗？（多媒体表格和文字式展示性质）反比例函数 y=k/x（ k0）的图象是由两个分支组成的曲线（简称双曲线），当 k0时，图象位于第一、三象限;当 k0 时,在一、三象限k0 时,在一、三象限k0时,y随x增大而增大 k0 时,y随x增大而减小性质k0时,y随x增大而减小 k0 时,y随x增大而增大1、必

12、做题：（1）在同一坐标系中，作出函数 y=1/x，y=-1/x 课后有选分层布置作业，一是必做的图象；择的完成题，促进知识布置作业应用新知（2）反比例函数 y=6/x 上有两点 A（x ,y ）和1 1B（x ,y ）若 x x ，则 y 和 y 有怎样的关系？ 2 2 1 2 1 22、选做题：在反比例函数 y=(-a2-1)/x (a 为常数)的图象上有 A(-3,y1),B(-1,y2),C(2,y3)三点，则函数值 y1、y2、y3 的大小关系是_。 3、探索题：在一个反比例函数图象上任取两点 P、Q，过点P 分别作 x 轴 y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为 S1，过点 Q 分

13、别作 x 轴 y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为 S2，那么 S1 与 S2 有什么关系？为什么？的巩固；二是选做题，提高学生思维的深度及广度；三是探索题，进一步培养学生的发散思维，为下节课学习打下铺垫、埋下伏笔。九、教学后记本节课通过学生自主探索、合作交流，以认知规律为主线，以发展能力为目 标，以从直观感受到分析归纳为手段，培养学生的合情推理能力和积极的情感态 度，促进良好的数学观的形成。在教学手段上，本节课大量使用多媒体辅助教学，既能体现知识的背景材料， 又能一下子引起学生的注意力，有效地节省了时间，增大了课堂容量。生动形象 的动画演示，动感强、直观性好，既加深了学生的理解，又培养了学生的抽象思 维能力，同时也向学生渗透了归纳类比、数形结合的数学思想方法。在教学过程中，采用开放性的课堂研究形式，给学生广阔的思维空间，培养 学生自己发现问题、解决问题的能力，特别是课堂上的变式训练，更激发了学生 对学习的挑战意识。教师始终是学生学习的引导者，学生是以研究者、探索者的角色出现在教学 过程中，主体地位得到充分体现，这样使得教学过程成为一个再发现、再创造的 认识过程。古人云：“授人鱼，不如授人以渔”因此在教学设计中重视学法渗透， 自然地把学习方法结合知识传授给学生，让同学们明白，在数学王国里，成功和 机遇永远属于那些勤于思考、勇于探索的人。