第8章-线性动态电路的时域分析ppt课件

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1、第第8章章 线性动态电路的时域分析线性动态电路的时域分析电路理论基础电路理论基础潘双来潘双来,邢丽冬邢丽冬.电路理论基础（第电路理论基础（第2 2版）版）.清华大学版社清华大学版社,2007.2007.8.1 动态电路及其方程动态电路及其方程2稳态稳态（steady state）:外外施激励施激励作用作用在电路上已经在电路上已经很久很久，只要电路的结构和参数一定，电路中的响应也呈稳定规只要电路的结构和参数一定，电路中的响应也呈稳定规律变化。律变化。暂态暂态（transient state）:电路电路的工作条件突然变更，的工作条件突然变更，如如开关开关动作；故障；动作；故障；参数的变化，稳态破坏

2、，电路参数的变化，稳态破坏，电路的响应出现变动，一段时间后，电路中电流、电压又会的响应出现变动，一段时间后，电路中电流、电压又会达到一个新的稳定值，即达到新的稳态达到一个新的稳定值，即达到新的稳态。电路从一个稳态到另一个稳态间的过渡电路从一个稳态到另一个稳态间的过渡过程称为暂态。过程称为暂态。第第8 8章章 线性动态电路的时域分析线性动态电路的时域分析线性动态电路线性动态电路：含有线性储能元件（动态元件）的含有线性储能元件（动态元件）的电路电路称为称为线性动态电路，简称动态电路。线性动态电路，简称动态电路。研究研究电路的电路的暂态暂态 可以可以确定电力系统的保护确定电力系统的保护措施措施避免电

3、路的避免电路的振荡振荡可获得最优最快的可获得最优最快的控制特性控制特性38 8.1.1 动态电路及其方程动态电路及其方程RLC()Rut()Cut()LutS()u tS换换路：路：电路工作条件的改变称为换路。将换路发生的时电路工作条件的改变称为换路。将换路发生的时刻或时间点称为刻或时间点称为初始初始瞬间瞬间记记为为t=t0，一般，一般取取t=0，把，把换路换路前趋近于换路时的一瞬间记为前趋近于换路时的一瞬间记为t=0-（t=t0-），），把换路后把换路后的初始瞬间记为的初始瞬间记为t=0+（t=t0+）。）。状态状态：电路中电容上的电压和电感上的电流直接反映了电路中电容上的电压和电感上的电流

4、直接反映了电路的储能情况，因此常常将电路的储能情况，因此常常将uC(t)，iL(t)称为电路的状称为电路的状态。它们是确定电路响应的最少信息（数据），其为变态。它们是确定电路响应的最少信息（数据），其为变量即所谓的状态变量列写动态电路的方程。量即所谓的状态变量列写动态电路的方程。4RLC )(tuR )(tuC )(tuL()Su t)(tiS换路换路后电路方程：仍由后电路方程：仍由KL及及VCR可可得得微分方程微分方程()()()()()S0RLCutututu t t()()CRdututRCdt()()Cduti tCdt()()22CLd ututLCdt以以uC(t)为变量为变量()

5、2S20CCCd uduLCRCuu tdtdt8 8.1.1 动态电路及其方程动态电路及其方程()()()()()S0RLCutututu t t(),RLutRi(),Li ti()LLdiutLdt diCtutLC 0)(1)()()S010tLLLdiRiLidu tdtC()2S20LLLdud idiLCRCiCtdtdtdt以以iL(t)为变量为变量58 8.1.1 动态电路及其方程动态电路及其方程P221，图图8-1，一阶电路，一阶电路RLC )(tuR )(tuC )(tuL()Su t)(tiS换换路定律：路定律：对于线性电容，在任意时刻对于线性电容，在任意时刻t其电压（

6、电荷）与电流的其电压（电荷）与电流的关系为关系为：()()()001tCCCtututidtC()()()00tCCCtqtqtidt8.2 初始条件和初始状态初始条件和初始状态6第第8 8章章 线性动态电路的时域分析线性动态电路的时域分析uC(0-)，iL(0-)为换路前瞬间电路的状态，为换路前瞬间电路的状态，uC(0+)，iL(0+)为换路后初始瞬间的状态，简称为换路后初始瞬间的状态，简称初始状态初始状态。由初始状态。由初始状态可以确定电路其它电气量可以确定电路其它电气量换路后初始瞬间换路后初始瞬间的值，的值，即初始即初始条件条件。对于。对于n阶阶电路，除待求变量的初始值外，初始条电路，除

7、待求变量的初始值外，初始条件还包括件还包括1到到n-1阶导数的初始值阶导数的初始值。7()()()00001tCCCtututidtC初始瞬间初始瞬间()()()0000tCCCtqtqtidt一般的电路在换路瞬间通过电容的电流为有限值，同时一般的电路在换路瞬间通过电容的电流为有限值，同时时间是连续的所以：时间是连续的所以：)()(00 tqtqCC()0010tCtidtC()000tCtidt)()(00 tutuCC8.2 8.2 初始条件和初始状态初始条件和初始状态)0()0(CCuu)0()0(CCqq电容电容上的电荷上的电荷和和电压在换路前后电压在换路前后不发生跃变。不发生跃变。（

8、通过电流为有限值时）（通过电流为有限值时）88.2 8.2 初始条件和初始状态初始条件和初始状态对于线性电感，在任意时刻对于线性电感，在任意时刻t其电流（磁链）与电压其电流（磁链）与电压的关系为：的关系为：dtuLtitittLLL)(1)()(00 ()()()00tLLLtttudtdtuLtitittLLL)(1)()(0000 初始瞬间初始瞬间dtuttttLLL)()()(0000 98.2 8.2 初始条件和初始状态初始条件和初始状态)()(00 ttLL 0)(100 dtuLttL 0)(00 dtuttL)()(00 titiLL一般的电路在换路瞬间加在电感的电压为有限值，同

9、一般的电路在换路瞬间加在电感的电压为有限值，同时时间是连续的所以：时时间是连续的所以：)0()0(LLii)0()0(LL 电感电感上的磁链上的磁链和和电流在换路前后电流在换路前后不发生跃变。不发生跃变。（所加电压为有限值时）（所加电压为有限值时）108.2 8.2 初始条件和初始状态初始条件和初始状态求得求得换路前电路稳态时的换路前电路稳态时的状态值，即状态值，即uC(0)、iL(0)，由换路定律可得电路的由换路定律可得电路的初始状态值初始状态值uC(0+)，iL(0+)；在；在t=0+时，将时，将电容看作电容看作值为值为uC(0+)的的电压源电压源，电感看作电感看作值值为为iL(0+)的的

10、电流源，独立源取电流源，独立源取t=0+的值的值，从而建立，从而建立t=0+的的电路模型，求得电路的各个电气量的电路模型，求得电路的各个电气量的初始值即初始条件。初始值即初始条件。初始值的确定：初始值的确定：()()()1000CLRiui，LC )(tuLSU1R2R3R()1Rit)(tiC,.,123S421H0 5F10VRRRLCU 画出画出t=0-的电路图，求开关打开前的电路图，求开关打开前 uC(0-),iL(0-),A5)0(LiV10)0(Cu例：图示例：图示电路，已知：电路，已知：)0(Li )0(CuSU1R2R118.2 8.2 初始条件和初始状态初始条件和初始状态求开

11、关打开瞬间的求开关打开瞬间的由换路定理，画出由换路定理，画出t=0+的的电路图电路图1R3R )0(Cu)0(LiSU )0(Lu)0(Ci()10Ri,A5)0(Li()010V,Cu().,102 5ARi()00VLu,A5.2)0(CiLC )(tuLSU1R2R3R()1Rit)(tiC128.2 8.2 初始条件和初始状态初始条件和初始状态P222，例，例8-113进一步可求各阶导数的初始值进一步可求各阶导数的初始值().01102 55V/s0 5CCduidtC换路后的电路图换路后的电路图LC )(tuLSU1R3R()1Rit)(tiC()0100LLdiudtL./1100

12、011111 25A sRRCdidududtRdtRdt()31S33LCRRCLuUuR iR iii.30000315V/s,2 5A/sRCLLdidudududtdtdtRdt .3100003 75A/sRRCLdididididtdtdtdt P223，例，例8-28.2 8.2 初始条件和初始状态初始条件和初始状态()Lit()3Rit 动态动态电路的响应由两种电路的响应由两种激励激励(excitation)产生产生：独立电源的输入（独立电源的输入（input)（外施激励源外施激励源）动态元件储能的释放即动态元件储能的释放即初始状态初始状态（state）（）（内部激内部激励源励

13、源）。外外施激励源为零，由初始状态引起的响应称为施激励源为零，由初始状态引起的响应称为零零输入响应（输入响应（zero-input response）；初始状态初始状态为零，由外施激励源引起的响应称为为零，由外施激励源引起的响应称为零零状态响应（状态响应（zero-state response）；外外施激励源和初始状态共同引起的响应称为施激励源和初始状态共同引起的响应称为全响全响应（应（complete response）。动态电路的响应动态电路的响应:8.3 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应14第第8 8章章 线性动态电路的时域分析线性动态电路的时域分析一一阶电路的定义：阶电路的定义

14、：换路后换路后，电路中仅含，电路中仅含一个一个或者可或者可以等效为一个储能元件的线性电路，其电路方程是以等效为一个储能元件的线性电路，其电路方程是一阶常系数微分方程，称为一阶常系数微分方程，称为一阶一阶电路电路。一、一阶一、一阶RC电路的电路的零输入响应零输入响应电路换路前电路已达稳态，电容电路换路前电路已达稳态，电容器充电至电源电压：器充电至电源电压：S(0),CuU 在在t=0时，开关突然由时，开关突然由a打向打向b，电容通过电阻，电容通过电阻R形成形成回路放电，此时电路已没有外施激励源，响应由电容的回路放电，此时电路已没有外施激励源，响应由电容的初始状态引起，即初始状态引起，即零输入响应

15、。零输入响应。CSURa b )(tuC)(ti(0)0Ru(0)0i15第第8 8章章 线性动态电路的时域分析线性动态电路的时域分析由由KVL得：得：0 RiuCdtduCiC )0(0 tudtduRCCC是是uC的的一阶齐次微分方程，用分离变量法解之一阶齐次微分方程，用分离变量法解之dtRCuduCC1 两边取积分：两边取积分：ktRCuC 1ln11()ttkRCRCCuteeKe方程变形为：方程变形为：S(0)(0)CCuuU1S()()0tRCCRututU et（）1S()(0)tRCUi tetRCSURa b()Cut()i t168.3 8.3 一阶电路的零输入响应一阶电路

16、的零输入响应得：得：将初始条件将初始条件SKU代入方程得代入方程得()()100tRCCutU et任意一阶任意一阶RC电路的零输入响应为：电路的零输入响应为：()()100tRCi tI ettCu0i00U0ItRu00U()()100tRCRutU et178.3 8.3 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应t一阶一阶RC电路的零输入响应有以下特点：电路的零输入响应有以下特点：换路瞬间电容电压保持不变换路瞬间电容电压保持不变，电流发生突变形成放电电流发生突变形成放电过程过程。换路后，所有的响应。换路后，所有的响应都是按都是按相同的指数规律衰减。相同的指数规律衰减。188.3 8.3

17、一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应衰减衰减的速度取决于的速度取决于1/RC（衰减系数）（衰减系数）。令令=RC，具有时间的量纲，称为具有时间的量纲，称为时间常数时间常数。当。当R的的单位为单位为，C的单位为的单位为F时，时，的单位为的单位为s（秒）（秒）令令p=-1/，p具有频率的量纲，称为具有频率的量纲，称为固有频率固有频率。越大，衰减越慢，放电时间越长；越大，衰减越慢，放电时间越长；越小，越小，衰减衰减越快，越快，放电时间放电时间越短越短19衰减衰减的指数规律仅由电路的结构和参数决定的指数规律仅由电路的结构和参数决定与变量与变量的选择无关的选择无关。),0()(0 teUtutC),

18、0()(0 teItit),0()(0 teUtutR 00tan1ttU euuCDduU edt tRu0PCD 衰减指数曲线上任一点衰减指数曲线上任一点P处切线的切距长度等于处切线的切距长度等于响应与其初始值成正比响应与其初始值成正比。初始值增大几倍，响应。初始值增大几倍，响应增大几倍。增大几倍。一阶一阶RC电路的零输入响应是靠电容中储存的电场能电路的零输入响应是靠电容中储存的电场能的释放维持，释放的能量同时被电阻消耗，暂态过程的释放维持，释放的能量同时被电阻消耗，暂态过程最后以能量的耗尽而告终。此为一阶最后以能量的耗尽而告终。此为一阶RC电路的零输入电路的零输入响应响应的实质的实质。W

19、R=WC208.3 8.3 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应一阶一阶RC电路的零输入响应的求解步骤：电路的零输入响应的求解步骤：求解电路换路前的状态；求解电路换路前的状态；求时间常数：求时间常数：求解电路换路后初始值；求解电路换路后初始值；（8.2节）节）RC 代入（代入（*）式）式(*)()(0)(0)tf tfet 218.3 8.3 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应R为换路后从电容两个端钮看进去的等效电阻为换路后从电容两个端钮看进去的等效电阻二、一阶二、一阶RL电路的零输入响应：电路的零输入响应：电路换路前电路已达稳态：电路换路前电路已达稳态：S00(0),LUiIRR

20、在在t=0时，开关突然合上，电感通过电阻时，开关突然合上，电感通过电阻R形成回路，形成回路，此时电路已没有外施激励源，电路中的响应由电感的初此时电路已没有外施激励源，电路中的响应由电感的初始状态引起，即为始状态引起，即为零输入响应零输入响应。S00(0)RRUuRIRR(0)0Lu由由KVL得得：0 RLuudtdiLuLL)0(0 tRidtdiLLL )(tuLSUR)(tiL0R )(tuR228.3 8.3 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应是关于是关于iL的一阶齐次微分方程，用分离变量法解之的一阶齐次微分方程，用分离变量法解之dtLRidiLL 两边取积分：两边取积分：ktLR

21、iL ln方程变形为：方程变形为：()RRttkLLLiteeKe0(0)(0)LLiiI,0)(0）（teItitLRL()()()00RtLRLututRI et tLi00I0U0U()Rut()Lutu0t238.3 8.3 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应得：得：将初始条件将初始条件代入方程得代入方程得0KI一阶一阶RL电路的零输入响应有以下特点：电路的零输入响应有以下特点：换路瞬间电感电流保持不变，电压发生突变释放磁场换路瞬间电感电流保持不变，电压发生突变释放磁场能。换路后，所有的响应能。换路后，所有的响应都是都是按按相同的指数规律相同的指数规律衰减。衰减。衰减的衰减的指数

22、规律指数规律仅由仅由RL电路的结构和参数决定电路的结构和参数决定与变与变量的选择无关量的选择无关。衰减的速度取决于衰减的速度取决于R/L（衰减系数）。（衰减系数）。248.3 8.3 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应令令=L/R，具有时间的量纲，称为具有时间的量纲，称为时间常数时间常数。当。当R的单位为的单位为，L的单位为的单位为H时，时，的单位为的单位为s（秒）（秒）令令p=-1/，p具有频率的量纲，称为具有频率的量纲，称为固有频率固有频率。越大，衰减越慢，放电时间越长；越大，衰减越慢，放电时间越长；越小，越小，衰减衰减越快，越快，放电时间放电时间越短越短2500tan1ttU eu

23、uCDduU edt tRu0PCD 0()(0)tLutU et 0()(0),tLitI et 0()(0),tRutU et 衰减指数曲线上任一点衰减指数曲线上任一点P处切线的切距长度等于处切线的切距长度等于响应与其初始值成正比。初始值增大几倍，响应增响应与其初始值成正比。初始值增大几倍，响应增大几倍。大几倍。一阶一阶RL电路的零输入响应是靠电感中电路的零输入响应是靠电感中储存的磁场能的储存的磁场能的释放维持释放维持，释放的能量同时被电阻消耗，暂态过程最后，释放的能量同时被电阻消耗，暂态过程最后以能量的耗尽而告终。此为一阶以能量的耗尽而告终。此为一阶RL电路的零输入响应的电路的零输入响应

24、的 实质。实质。WR=WL一阶一阶RL电路的零输入响应的求解步骤：电路的零输入响应的求解步骤：求解电路换路前的状态；求解电路换路前的状态；求时间常数求时间常数：求解电路换路后初始值；求解电路换路后初始值；（8.2节）节）/L R 代入代入（*）式。式。(*)()(0)(0)tf tfet 268.3 8.3 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应R为换路后从电感两个端钮看进去的等效电阻为换路后从电感两个端钮看进去的等效电阻27线性一阶电路的零输入响应的要点：线性一阶电路的零输入响应的要点：一阶电路的零输入响应与其换路后的初始值成正比一阶电路的零输入响应与其换路后的初始值成正比响应响应模式，为

25、模式，为（*）式式：()f t时间常数决定于电路的结构和参数。时间常数决定于电路的结构和参数。(0)f8.3 8.3 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应为换路后任意支路的电压或电流为换路后任意支路的电压或电流为换路后的初始值为换路后的初始值RC电路中电路中=RC，RL电路中电路中=L/R，R为换路后从电为换路后从电容容C或电感或电感L两端钮看进去的等效电阻两端钮看进去的等效电阻P228，例，例8-3P229，例例8-4线性一阶电路的零输入响应与线性一阶电路的零输入响应与初始状态呈线性关系。初始状态呈线性关系。(*)()(0)(0)tf tfet 一、一阶一、一阶RC电路的零状态响应：电路

26、的零状态响应：CSUR()Cut()i tS(0)t 开关闭合前电容器未充电即处于零状态：开关闭合前电容器未充电即处于零状态：(),00Cu (),00Ru ()00i 开关闭合后，电源通过开关闭合后，电源通过R、C形成回路，形成回路，给电容充电。电路的初始状态为零，响给电容充电。电路的初始状态为零，响应由外施激励源引起，为应由外施激励源引起，为零状态响应零状态响应。此为一阶常系数非齐次微分方程其解由两部分组成：此为一阶常系数非齐次微分方程其解由两部分组成：S(0)CCduRCuu tdt8.4 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应28第第8 8章章 线性动态电路的时域分析线性动态电路的时

27、域分析以以uC(t)为变量列写微分方程为：为变量列写微分方程为：29 特解特解：一般与微分方程常数项一般与微分方程常数项（外施激励源）（外施激励源）的形式相同的形式相同，是满足原非齐次微分方程的一个解。，是满足原非齐次微分方程的一个解。()CutB由电路由电路知，知，US是换路后电路重新达是换路后电路重新达到到稳态，即稳态，即t=+时，电容的电压时，电容的电压。S()()CCutuU S()CutU（恒定恒定量），代入原方程得量），代入原方程得B=US，即，即 通解通解:0CCduRCudt()ttRCCutAeAe 对应齐次方程对应齐次方程 的解的解（=RC为时间常数）为时间常数）CSUR

28、)(tuC)(ti )(tuR8.4 8.4 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应S()()()tCCCutututUAe SSS()(1)(0)(*)ttCutUU eUetS()(0)tCduUi tCetdtR S()(0)tRutU et,u i0t从上述过程可以看出：从上述过程可以看出：SU()Cut()Rut()i tSUR308.4 8.4 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应完全解：完全解：将将uC(0+)=uC(0-)=0代入方程得代入方程得A=-US由完全解可知，对于直流激励，有：由完全解可知，对于直流激励，有：S()()CCutuU 一阶一阶RC电路的零状态响应有

29、以下特点：电路的零状态响应有以下特点：电容上的电压（状态）由两部分组成：电容上的电压（状态）由两部分组成：,u i0tSUR()i tSU()Cut()Cut 方程方程的的特解特解，即，即电路达到稳态时电路达到稳态时的稳态值的稳态值。它受外施激励源制约，也。它受外施激励源制约，也称为称为强制响应分量强制响应分量。方程方程的的通解通解，其，其变化规律与零输入响应变化规律与零输入响应相同相同，按，按指数规律衰减为零，只在暂态过程中出现故称指数规律衰减为零，只在暂态过程中出现故称暂态响暂态响应分量应分量。其形式与外施激励源。其形式与外施激励源无关无关也也称为称为固有响应固有响应(自自由响应由响应)分

30、量分量。起始值与外施激励源有关起始值与外施激励源有关。a:稳态响应分量稳态响应分量：b:暂态响应分量暂态响应分量：318.4 8.4 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应()Cut电流在换路瞬间发生突变，其值为电流在换路瞬间发生突变，其值为US/R即换路后的即换路后的初始值，电路以此值开始给电容充电，随着极板上的初始值，电路以此值开始给电容充电，随着极板上的电荷增多电容电压的增大，电荷增多电容电压的增大，i=(US-uC)/R减小，最后为减小，最后为零，电容电压为零，电容电压为US。一阶一阶RC电路的零状态响应电路的零状态响应实质是电路储存电场能实质是电路储存电场能的过程的过程。电源在充电

31、过程中提供的能量，。电源在充电过程中提供的能量，一部分转化一部分转化成电场能储存在电容成电场能储存在电容中，中，一部分被电路中的电阻消耗一部分被电路中的电阻消耗。且有且有 WC=WR电源提供的能量只有一半储存在电容中。电源提供的能量只有一半储存在电容中。充电效率充电效率50，与电阻电容数值无关。，与电阻电容数值无关。328.4 8.4 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应二、二、RL电路的零状态响应：电路的零状态响应：RSU()i tS(0)t()Lut()Rut开关闭合前电感中无电流电即处于零状态：开关闭合前电感中无电流电即处于零状态：(),00Li ()00Ru (),00Lu 开关闭

32、合后电源通过开关闭合后电源通过R、L形成回路，形成回路，此时电路的初始状态为零，响应由外此时电路的初始状态为零，响应由外施激励源引起，为施激励源引起，为零状态响应零状态响应。()tLitAe S()()LLUitiR S(0)LLdiLRiu tdt338.4 8.4 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应L以以iL(t)为变量列写微分方程为：为变量列写微分方程为：暂态分量（暂态分量（通解通解）：）：（=L/R为时间常数）为时间常数）稳稳态分量（态分量（特解特解）：）：S()()()(0)tLLLUitititAetR SUAR SSS()(1)(0)ttLUUUiteetRRRS()(0)

33、tLLdiutLU etdt S()(1)(0)tRutUet,i u0tSU()Lut()RutSUR()LitSUR()Lit348.4 8.4 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应完全解：完全解：将将iL(0+)=iL(0-)=0代入方程得：代入方程得：一阶一阶RL电路的零状态响应有以下特点：电路的零状态响应有以下特点：电感上的电流（状态）从初始值开始逐渐增加，最电感上的电流（状态）从初始值开始逐渐增加，最后达到新的稳态值。其暂态分量和稳态分量的意义与后达到新的稳态值。其暂态分量和稳态分量的意义与RC电路相同。电路相同。电压在换路瞬间发生突变，其值为电压在换路瞬间发生突变，其值为US

34、即换路后的初即换路后的初始值，电路以此值开始在线圈中储存磁场能。始值，电路以此值开始在线圈中储存磁场能。一阶一阶RL电路的零状态响应实质是电路储存磁场能的电路的零状态响应实质是电路储存磁场能的过程。电源提供的能量，一部分转化成磁场能储存在过程。电源提供的能量，一部分转化成磁场能储存在电感中，一部分被电路中的电阻消耗。且有电感中，一部分被电路中的电阻消耗。且有 WL=WR电电源提供的能量只有一半储存在电感中。储能效率源提供的能量只有一半储存在电感中。储能效率50，与电阻电感数值无关。与电阻电感数值无关。358.4 8.4 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应外施激励源为直流的一阶电路的零状态

35、响应的步骤外施激励源为直流的一阶电路的零状态响应的步骤求出换路后动态元件以外的戴维南等效电路。求出换路后动态元件以外的戴维南等效电路。iRLOCU()Lut()LitCOCU()Cut()i tiR据据状态变量状态变量的响应模式得：的响应模式得：OCi()(1)(0)()tCutUetRC OCii()(1)(0)(/)tLUitetL RR 将将电容看作电压源、电感看作电流源电容看作电压源、电感看作电流源回到回到换路后换路后的的原电路按原电路按电路的基本约束关系求解其它电压和电流电路的基本约束关系求解其它电压和电流。368.4 8.4 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应 对于线性动态电

36、路，零状态响应是对于线性动态电路，零状态响应是输入的线性函数输入的线性函数三、外施激励源为正弦量的一阶电路的零状态响应：三、外施激励源为正弦量的一阶电路的零状态响应：S()u t()i tS(0)t()Lut()RutSm()cos()u tUt 特解特解：与外施激励源的变化规律相同。：与外施激励源的变化规律相同。电路达到稳电路达到稳态时的稳态值，是态时的稳态值，是与外与外施激励源同频率的正弦量。用施激励源同频率的正弦量。用相量法求之相量法求之：mmmmm2222()()()()LZLZZUUUIIRj LRLRL m()cos()LLZitItmcos()(0)LLdiLRiUttdt378

37、.4 8.4 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应以以iL(t)为变量列写微分方程为：为变量列写微分方程为：L特解特解分量为：分量为：通解通解（暂态分量）：（暂态分量）：()tLitAe m()()()cos()(0)LLLtLZitititItAet mcos()LZAI（稳态（稳态分量在起始时刻的分量在起始时刻的值）值）mm()cos()cos()(0)tLLZLZitItIet 388.4 8.4 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应（=L/R为时间常数）为时间常数）将将iL(0+)=iL(0-)=0代入方程得代入方程得电感电流：电感电流：()Lit()Lit()Litt0电感电

38、流由稳态分量和暂态分量共同组成。暂态分量经电感电流由稳态分量和暂态分量共同组成。暂态分量经一定时间衰减后，电路进入稳定状态。一定时间衰减后，电路进入稳定状态。暂态分量的大小暂态分量的大小与稳态分量起始时刻的值成正比。与稳态分量起始时刻的值成正比。39mm()cos()cos()(0)tLLZLZitItIet 电感电流：电感电流：当当-Z=/2 时，暂态分量的起始值为零，电路合闸后时，暂态分量的起始值为零，电路合闸后直接进入稳态。当直接进入稳态。当-Z=0时，暂态分量的起始值最大，时，暂态分量的起始值最大，电路合闸后的半个周期附近出现最大电流（过电流）。电路合闸后的半个周期附近出现最大电流（过

39、电流）。8.4 8.4 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应外施激励源为正弦量时的一阶电路的零状态响应的步外施激励源为正弦量时的一阶电路的零状态响应的步骤如前。实为求解稳态值和时间常数两要素。直流激骤如前。实为求解稳态值和时间常数两要素。直流激励可看作正弦激励的特例。励可看作正弦激励的特例。()()(0)(0)tLLLititiet()()(0)(0)tCCCututuet 408.4 8.4 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应电感电流模式电感电流模式电容电压模式电容电压模式P234，例，例8-5P235，例例8-6全响应为零输入响应和零状态响应之和。全响应为零输入响应和零状态响应之

40、和。CSUR()Cut()i tS()0t()00CuUCSUR()()1Cut()()1itS()0t()()100CuRC()()2Cut()()2it()()200CuU()()1S1tCuUe()20tCuU e()()()12S01ttCCCuuuUeU e()S0StCuUUUet0()CutSU0U充电0U放电8.5 一阶电路的全响应一阶电路的全响应 三要素法三要素法41零状态响应：零状态响应：零输入响应：零输入响应：全响应：全响应：第第8 8章章 线性动态电路的时域分析线性动态电路的时域分析42SS0ttCuUU eU e零状态响应零状态响应零输入响应零输入响应稳态分量稳态分量

41、暂态分量暂态分量任意一个全任意一个全响应：响应：()()()()tf tftftftAe()()00Aff()()()()00 1tf tftffe（）()()()()0 2tf tfffe（）()()()0ftff()()()()()10 2ttf tfefe()()()()00 1ttf tftfefe（）全响应：全响应：将将t=0+时的各值代入得：时的各值代入得：全响应：全响应：直流激励有：直流激励有：全响应：全响应：三要素法求解一阶电路的全响应的步骤三要素法求解一阶电路的全响应的步骤画出换路画出换路前稳态电路，求前稳态电路，求状态值状态值uC(0-)，iL(0-)。据据换路定律换路定律

42、画出换路瞬间（画出换路瞬间（0+）时刻的时刻的暂态电路暂态电路求求初始值初始值f(0+)。画出换路后电路重新达到画出换路后电路重新达到稳态稳态时的电路时的电路，求，求f()，注意正弦稳态需用相量法。注意正弦稳态需用相量法。求动态元件以外的除源等效电阻，进一步求出时间求动态元件以外的除源等效电阻，进一步求出时间常数常数，RC,=L/R。代入三要素模式代入三要素模式()()()()00 1tf tftffe（）()()()()0 2tf tfffe（）438.5 8.5 一阶电路的全响应一阶电路的全响应 三要素法三要素法交流：交流：直流：直流：例：图示电路原已处于稳态。若例：图示电路原已处于稳态。

43、若t=0时将开关时将开关S闭合，试闭合，试求换路后求换路后2电阻中的电流及电感电流，并绘出其波形电阻中的电流及电感电流，并绘出其波形。V6 3 6 2H5.0 V3RiLi0)(S t解：解：（1）换路前稳态电路）换路前稳态电路 6 2 V3Ri)0(LiA5.0)0(Li（2）换路后）换路后0+暂态暂态电路电路 V6 3 6 2 V3)0(Ri)0(LiA5.1)0(RiA5.0)0(Li448.5 8.5 一阶电路的全响应一阶电路的全响应 三要素法三要素法 V6 3 6 2H5.0 V3RiLi0)(S t V6 3 6 2 V3)(Ri)(Li（3）换路后稳态电路）换路后稳态电路0)(R

44、i 1R.0 50 5s1LR（4）三要素）三要素)0(5.1)05.1(0)(25.01 teetittRA5.3)(Li)0(35.3)5.35.0(5.3)(25.01 teetittL5.1Ri)A()st05.3Li45468.5 8.5 一阶电路的全响应一阶电路的全响应 三要素法三要素法P238，例，例8-7P240，例例8-8P241，例例8-98.13 状态方程状态方程47第第8 8章章 线性动态电路的时域分析线性动态电路的时域分析 对于分析复杂的高阶电路、非线性电路、时变电路，对于分析复杂的高阶电路、非线性电路、时变电路，经典方法经典方法显得困难。显得困难。状态变量法状态变量

45、法有利于计算机辅助计算和分析，是系统有利于计算机辅助计算和分析，是系统化方法。不仅适用于线性电路，还适应于非线性电路和化方法。不仅适用于线性电路，还适应于非线性电路和时变电路。时变电路。一阶一阶RC电路的电路的状态状态：uC(t)一阶一阶RL电路的电路的状态状态：iL(t)电路在任一时刻的状态是电路在任一时刻的状态是指在该时刻电路所必须具指在该时刻电路所必须具备的最少信息的集合备的最少信息的集合状态变量状态变量：描述网络状态的一组数量最少的变量。：描述网络状态的一组数量最少的变量。二阶二阶RLC电路的电路的状态状态：uC(t)和和iL(t)48动态电路的分析关键是对动态电路的分析关键是对状态变

46、量的分析状态变量的分析一、状态方程和输出方程：一、状态方程和输出方程：二阶电路以一个状态量为变量则列二阶电路以一个状态量为变量则列写的是一个二阶写的是一个二阶微分方程；以微分方程；以两个两个状态量状态量(uC,iL)为变量则列写两个一为变量则列写两个一阶微分方程，即一阶微分方程组阶微分方程，即一阶微分方程组节点节点S1CCLuuiiRCiSu CuLiSi1R2R回路回路()2SLCLuuR iidtduCiCC dtdiLuLL 又有又有S11111CCLduuiudtR CCR C 22S1LCLdiRRuiidtLLL上式是状态变量的一阶导数与状态变量及外施激励上式是状态变量的一阶导数与

47、状态变量及外施激励源之间的关系方程，称为源之间的关系方程，称为状态方程（状态方程（state equation）。）。8.13 8.13 状态方程状态方程49S11S22111010CCCLLLduuuuR CCR CdtiiidiRRdtLLLuxx,12Tnxxxx称为状态向量；称为状态向量；x 为状态向量的一阶导数为状态向量的一阶导数,12Tmuu uu称为输入（激励）向量称为输入（激励）向量A和和B是与网络结构及元件参数有关的系数矩阵是与网络结构及元件参数有关的系数矩阵A是是n阶方阵，阶方阵，B是是nm阶矩阵（控制矩阵或驱动矩阵）阶矩阵（控制矩阵或驱动矩阵）8.13 8.13 状态方程

48、状态方程状态方程状态方程：表示表示状态变量状态变量与与激励函数激励函数之间关系的之间关系的一阶微分方程组一阶微分方程组。（一般形式、标准形式）（一般形式、标准形式）50DuCxy输出方程输出方程：是一组表示：是一组表示输出量输出量与与状态变量状态变量和和激励激励（输入量）（输入量）之间的关系的方程。是一组线性代数方之间的关系的方程。是一组线性代数方程，每一个方程表示一个输出量为状态变量和输入程，每一个方程表示一个输出量为状态变量和输入量的线性组合。量的线性组合。CiSu CuLiSi1R2R12S22 SRCRLuuuuR iR i12SS22101000 RCLRuuuiRiRuCD8.13

49、 8.13 状态方程状态方程51二、状态变量的选取二、状态变量的选取Su1C2C3C1L2L1R2R 网络的状态变量的个数网络的状态变量的个数就是电路的就是电路的独立动态元件独立动态元件的个数的个数。也就是一阶微分。也就是一阶微分方程组中方程的个数。通方程组中方程的个数。通常称为网络的复杂性的常称为网络的复杂性的阶阶或网络的阶或网络的阶。电路中含有纯电容电路中含有纯电容回路（包括电压源）时回路（包括电压源）时，据，据KVL：回路中必然有一个电容电压能被其它电容电压表示（不回路中必然有一个电容电压能被其它电容电压表示（不独立）；含有纯电感独立）；含有纯电感割集（包括电流源）时割集（包括电流源）时

50、，据，据KCL：割集中必然有一个电感电流能割集中必然有一个电感电流能被其它被其它电感电流表示（不电感电流表示（不独立）。独立）。不独立的电容不独立的电容电压、电感电压、电感电流不能作为网络的电流不能作为网络的状态变量状态变量。8.13 8.13 状态方程状态方程 对于不含受控源的网络，若其储能元件的个数为对于不含受控源的网络，若其储能元件的个数为nCL，纯电容纯电容回路回路（仅仅有电容元件和有电容元件和电压源电压源）数为）数为nC，纯电感纯电感割集割集（仅由电感元件和电流源仅由电感元件和电流源构成构成）数）数为为nL，则独立变量数为：，则独立变量数为：LCCLnnnn 3115 n不含有纯电容

51、回路和纯电感割集的网络称为不含有纯电容回路和纯电感割集的网络称为常态网络常态网络(proper network)，常态网络中所有的电容电压和电感，常态网络中所有的电容电压和电感电流都是独立的，一般电流都是独立的，一般选取所有的状态量为变量选取所有的状态量为变量。528.13 8.13 状态方程状态方程Su1C2C3C1L2L1R2R53三、状态方程的列三、状态方程的列写（写（直观法直观法）：）：对只含一个电容的节点（割集）列写对只含一个电容的节点（割集）列写KCL方程；方程；对只含一个电感的回路列写对只含一个电感的回路列写KVL方程；方程；通过其它的通过其它的KVL和和KCL方程消去非方程消去

52、非状态变量。状态变量。例：列写图示电路的状态方程：例：列写图示电路的状态方程：解解（1）选择节点列选择节点列KCL方程方程334SCLduCiidt2214SCLduCiiidtSu2C3C4L1R2RSi1i4Li2Cu3Cu4R8.13 8.13 状态方程状态方程（2）选择回路）选择回路1列写列写KVL方程方程4444S1 13LLCdiLR iuR iudt（3）选择回路）选择回路2列写列写KVL方程消去非状态变量方程消去非状态变量21 1222SCCduR iuR Cudt代入（代入（1）（）（2）两步整理后得：）两步整理后得：1l2lSu2C3C4L1R2RSi1i4Li2Cu3Cu

53、4RS22221111CCuuduR CiRRRdt548.13 8.13 状态方程状态方程55()()()()211124SS2122122122121CCLduRRRuiuidtCRRCRRCRRCRR 34S3311CLduiidtCC()()()()()411223444124412212SS41241211 LCCLdiRR RuuR idtL RRLLRRRR RuiL RRL RR 写成写成标准形式标准形式：()()()()()()()()11121221221221222S33S334421121241244124412412101100011CCCCLLRRRCRRCRRCR

54、RCRRuuuuuiCCiiRRR RR RL RRRL RRLLRRL RR8.13 8.13 状态方程状态方程P275，例，例8-21568.13 8.13 状态方程状态方程系统法系统法列写列写 利用利用特有树（特有树（proper tree）列写状态方程，适用列写状态方程，适用于比较复杂的电路。于比较复杂的电路。特有树特有树：将电路中每一元件作为一条支路画有向图，：将电路中每一元件作为一条支路画有向图，特有树包含电路中特有树包含电路中所有的电压源和电容支路所有的电压源和电容支路，而不包而不包含任何电流源和电感支路含任何电流源和电感支路。对于常态网络，至少可以。对于常态网络，至少可以选出一个特有树。选出一个特有树。方程列写方程列写：选定特有树后，对每一个单电容树支割集：选定特有树后，对每一个单电容树支割集列写列写KCL方程，对每一个单电感连支回路列写方程，对每一个单电感连支回路列写KVL方程，然后消去方程中的非状态变量。方程，然后消去方程中的非状态变量。P275，例，例8-2257四、状态方程的求解四、状态方程的求解（1）复频域：拉氏变换法）复频域：拉氏变换法（2）时域：幂级数法）时域：幂级数法（3）数值解法（计算机）：欧拉法、龙格）数值解法（计算机）：欧拉法、龙格-库塔法库塔法8.13 8.13 状态方程状态方程