24112垂直于弦的直径第1课时

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1、第二十四章圆24.1圆的有关性质第1课时 圆和垂直于弦的直径 24.1.2 垂直于弦的直径垂直于弦的直径（第第1课时）课时）难点：垂径定理及其推论的题设和难点：垂径定理及其推论的题设和 结论的区分结论的区分 知识点知识点:1.圆的对称性圆的对称性 2.垂径定理及其推论垂径定理及其推论重点：垂径定理及其推论重点：垂径定理及其推论1圆的定义及其表示方法(1)定义：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点O_，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆固定的端点 O 叫做_，线段 OA 叫做_(2)表示方法：以点 O 为圆心的圆，记作“_”，实作“圆 O”旋转一周圆心半径O(3)特征：圆上各点到定点(圆

2、心 O)的距离都等于定长(半径 r)；到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上注意：圆心为O，半径为 r 的圆可以看成是所有到定点 O的距离为定点 r 的点的集合2圆的有关概念(1)连接圆上任意两点的线段叫做_，经过圆心的弦叫做_弦直径(2)圆上任意两点间的部分叫做弧，以 A，B 为端点的弧记作_，大于半圆的弧叫做_，用三个点的字母表示；小于半圆的弧叫做_，用两个点的字母表示注意：直径是弦，但弦不一定是直径；半圆是弧，但弧不一定是半圆劣弧AB优弧3圆的同等关系能够重合(或半径相等)的两个圆叫做_；在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做_等圆等弧注意：只有在同圆或等圆中才存在等弧在判断等弧时，首先要

3、看两弧所在的圆是否为同圆或等圆，然后再看弧的长度是否相等4圆的性质圆是轴对称图形，又是_对称图形圆绕_旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合，这种性质叫圆的旋转不变性中心圆心知识点 1圆的有关概念【例 1】判断正误：(1)弦是直径；(2)半圆是弧；(3)过圆心的线段是直径；(4)过圆心的直线是直径；(5)半圆是最长的弧；(6)直径是最长的弦；(7)圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆；(8)半径相等的两个圆是等圆；(9)等弧就是长度相等的弧思路点拨：解题的关键是理解好圆中的相关概念解：(1)错(2)对(3)错(4)错(5)错(6)对(7)错(8)对(9)错【跟踪训练】)D1半径为 5 的圆的一

4、条弦长不可能是(A3B5C10D122如图 24-1-2.(1)若点 O 为O 的圆心，则线段_是圆 O 的半径；线段_是圆 O 的弦，其中最长的弦是_；_是劣弧；_是半圆；(2)若A40，则ABO_，C_，ABC_.5090图 24-1-2直径 AC弧 AB 或弧 BC弧 ACOA 或 OBAB 或 BC 或 AC或 OC40 实践探究实践探究把一个圆沿着它的任意一条直径对折，把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？什么结论？可以发现：可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆是轴对称图形，任何一条直径所在

5、直线都是它的对称轴它的对称轴如图，如图，AB是是 O的一条弦，做直径的一条弦，做直径CD，使，使CDAB，垂足为，垂足为E（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？OABCDE活活 动动 二二（1）是轴对称图形直径）是轴对称图形直径CD所在的所在的直线是它的对称轴直线是它的对称轴（2）线段：线段：AE=BE弧弧:AC=BC,AD=BD把圆沿着直径把圆沿着直径CD折叠时，折叠时，CD两侧的两个两侧的两个半圆重合，点半圆重合，点A与点与点B重合，重合，A

6、E与与BE重合，重合，AC,AD分别与分别与BC、BD重合重合OABCDE垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径平分垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧弦，并且平分弦所对的两条弧平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧所对的两条弧即直径即直径CD垂直于弦垂直于弦AB，平分弦，平分弦AB,并且平分并且平分AB及及ACB“知二推三知二推三”(1)垂直于弦垂直于弦 (2)过圆心过圆心 (3)平分弦平分弦 (4)平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧 (5)平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧注意注意:当具备了当具备了(1)(3)(1)(3)时时,

7、应对另一应对另一 条弦增加条弦增加”不是直径不是直径”的限制的限制.n你可以写出相应的命题吗你可以写出相应的命题吗?n相信自己是最棒的相信自己是最棒的!垂径定理的推论垂径定理的推论 如图如图,在下列五个条件中在下列五个条件中:只要具备其中两个条件只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论就可推出其余三个结论.OABCDM CD是直径是直径,AM=BM,CDAB,AC=BC,AD=BD.垂径定理及推论垂径定理及推论OABCDM条件结论命题垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧并且平分弦所的两条弧.平分弦平分弦(不是直径不是直径)的直径垂直于弦的直径垂直于弦,并且平并且平

8、分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦垂直平分弦,并且平分弦所对的并且平分弦所对的另一条弧另一条弧.弦的垂直平分线经过圆心弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧并且平分这条弦所对的两条弧.垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平并且平分弦和所对的另一条弧分弦和所对的另一条弧.平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧并且平分弦所对的另一条弧.平分弦所对的两条弧的直线经过圆心平分弦所对的两

9、条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦并且垂直平分弦.E EO OA AB BD DC CE EA AB BC CD DE EO OA AB BD DC CO OB BA AE EE EO OA AB BC CE EO OC CD DA AB B 练习练习在下列图形中，你能否利用垂径定理在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧找到相等的线段或相等的圆弧一、判断是非：一、判断是非：（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。（2）平分弦的直线，必定过圆心。）平分弦的直线，必定过圆心。（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），）一条直线平分弦（这条弦不是

10、直径），那么这那么这 条直线垂直这条弦。条直线垂直这条弦。ABCDO(1)ABCDO(2)ABCDO(3)(4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。弦的垂直平分线一定是圆的直径。（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦。弦。（6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。ABCO(4)ABCDO(5)ABCDO(6)E（7）平分弦的直径垂直于弦）平分弦的直径垂直于弦填空：1、如图：已知AB是 O的直径，弦CD与AB相交于点E，若_，则CE=DE（只需填写一个你认为适当的条件）2、如图：已知AB是 O的弦，OB=4cm，ABO=300，则O到

11、AB的距离是_cm，AB=_cm.。OAEDCB。OAB第1题图第2题图ABCD（或（或AC=AD，或，或BC=BD）24H选择：如图：在 O中，AB为直径，CD为非直径的弦，对于（1）ABCD（2）AB平分CD（3）AB平分CD所对的弧。若以其中的一个为条件，另两个为结论构成三个命题，其中真命题的个数为 （）A、3 B、2 C、1 D、0。OCDBAA1如图，在如图，在 O中，弦中，弦AB的长为的长为8cm，圆心，圆心O到到AB的距离为的距离为3cm，求，求 O的半径的半径OABE练习练习解：解：OEAB222AOOEAE2222=3+4=5cmAOOEAE答：答：O的半径为的半径为5cm.

12、活活 动动 三三118422AEAB 在RtAOE中【跟踪训练】3如图 24-1-3 所示，在O 的内接三角形 ABC 中，ACBC，CD 平分ACB，交圆 O 于点 D，下列结论：CD 是O AB.其中正确的有()图 24-1-3A3 个B4 个C5 个D2 个C2如图，在如图，在 O中，中，AB、AC为互相垂直且相等的为互相垂直且相等的两条弦，两条弦，ODAB于于D，OEAC于于E，求证四边形，求证四边形ADOE是正方形是正方形DOABCE证明：证明：OEAC ODAB ABAC90 90 90OEAEADODA四边形四边形ADOE为矩形，为矩形，又又AC=AB11 22AEACADAB，

13、AE=AD 四边形四边形ADOE为正方形为正方形.OEAC ODAB判断下列说法的正误判断下列说法的正误 平分弧的直径必平分弧所对的弦平分弧的直径必平分弧所对的弦 平分弦的直线必垂直弦平分弦的直线必垂直弦 垂直于弦的直径平分这条弦垂直于弦的直径平分这条弦 平分弦的直径垂直于这条弦平分弦的直径垂直于这条弦 弦的垂直平分线是圆的直径弦的垂直平分线是圆的直径 平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧必平分此弦所对的弧 分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对分别过弦的三等分点

14、作弦的垂线，将弦所对的两条弧分别三等分的两条弧分别三等分 D A B O5 3cm在直径是在直径是20cm的的 O中，中，AB的度数是的度数是60，那么弦那么弦AB的弦心距是的弦心距是_弓形的弦长为弓形的弦长为6cm，弓形的高为，弓形的高为2cm，则，则这弓形所在的圆的半径为这弓形所在的圆的半径为.D C A B O134cm2 5cm已知已知P为为 O内一点内一点,且且OP=2cm,如果如果 O的半径是的半径是3cm,那么过那么过P点的最短的弦等点的最短的弦等于于_小小 结结直径平分弦直径平分弦 直径垂直于弦直径垂直于弦=直径平分弦所对的弧直径平分弦所对的弧 直径垂直于弦直径垂直于弦 直径平

15、分弦（不是直径）直径平分弦（不是直径）直径平分弦所对的弧直径平分弦所对的弧 直径平分弧所对的弦直径平分弧所对的弦 直径平分弧直径平分弧 直径垂直于弧所对的弦直径垂直于弧所对的弦=、圆的轴对称性、圆的轴对称性、垂径定理及其推论的图式 D A B O5 3cm在直径是在直径是20cm的的 O中，中，AB的度数是的度数是60，那么弦那么弦AB的弦心距是的弦心距是_ 常用辅助线常用辅助线:垂直于弦的直径垂直于弦的直径【例 3】如图 24-1-5，某居民区一处圆形水泥管下水管道破裂塌陷，修理人员准备更换一段新管道，现量得污水面宽度为 60 cm，水面到管道顶部距离为 10 cm，问修理人员应准备内径是多

16、少的水泥管道？图 24-1-5交圆于点F，则AE AB30(cm)思路点拨：利用已知条件，把垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形解：如图D28，连接OA，过点O 作OEAB，垂足为点 E，图 D28126(2011 年广东佛山)如图 24-1-7，已知 AB 是O 的弦，半径 OA20 cm，AOB120，求AOB 的面积图 24-1-7令O 的半径为 R，则 OAR，OEOFEFR10.在 RtAEO 中，OA2AE2OE2，即 R2302(R10)2.解得 R50 cm.所以修理人员应准备内径为 100 cm 的管道解：过点 O 作 OCAB 于点 C，如图 D29，在 RtAOC 中，A30，图 D29【跟踪训练】5高速公路的隧道和桥梁最多如图 24-1-6 是一个隧道的横截面，若它的形状是以 O 为圆心的圆的一部分，路面)AB10 米，净高 CD7 米，则此圆的半径 OA(图 24-1-6A5 米B7 米C.375米D.377米答案：D4如图 24-1-4，在O 中，点 C 为弦 AB 上一点，AC2，)ABC6，O 的半径为 5，则 OC(图 24-1-4