线性代数1-矩阵概念ppt课件

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1、 矩阵是线性代数中一个重要的数学概念，它广泛地运用于自然科学、工程技术、现代经济管理等各个领域。本章将引进矩阵的概念，并讨论矩阵和线性变换的关系，以及矩阵的运算。重点是矩阵的概念及运算、矩阵的初等行变换及逆矩阵。第二章第二章 矩矩 阵阵 2.1 2.1 矩阵的概念矩阵的概念【学习本节要达到的目标】1、理解矩阵概念。2、了解常见的矩阵类型。在某些问题中 所有数据可以用一个矩形表完整表示 比如线性方程组可以对应一个矩形表 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111 mnmmnnaaaaaaaaa212222111211 这个矩形表就称为矩

2、阵 一、矩阵概念的引入 例1 设有线性方程组 7739183332154321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx 这个方程组未知量系数及常数项按方程组中的顺序组成一个4行5列的矩形阵列如下 77391111833312111151 这个阵列决定着给定方程组是否有解 以及如果有解 解是什么等问题 因此对这个阵列的研究就很有必要 由此得到排成4行4列的产值阵列 80827088909075908485709878755880 它具体描述了这家企业各种产品各季度的产值 同时也揭示了产值随季节变化规律的季增长率及年产量等情况 例2 某企业生产4种产品 各种产品的季度产值(单位 万

3、元)如下表 由此得到一个m行n列阵列 mnmmnnaaaaaaaaa212222111211 它描述了生产过程中产出的产品与投入材料的数量关系 例3 生产m种产品需用n种材料 如果以aij表示生产第i种产品(i1 2 m)耗用第j种材料(j1 2 n)的定额 则消耗定额可以用一个矩形表表示 例4.某航空公司在A,B,C,D四城市之间开辟了若干航线,如图所示表示了四城市间的航班图,如果从A到B有航班,则用带箭头的线连接 A 与B.ABCD四城市间的航班图情况可用表格来表示:ABCDABCD其中 表示有航班.到站到站发站发站为了便于计算,把表中的 改成1,空白地方填上0,就得到一个数表:这个数表反

4、映了四城市间交通联接情况.ABCDABCD0010100101010110定义(矩阵)由mn个数aij(i1 2 m j1 2 n)排成的一个m行n列的矩形表称为一个mn矩阵（matrix）记作 mnmmnnaaaaaaaaa212222111211 其中aij称为矩阵的第i行第j列的元素 一般情况下 我们用大写黑体字母A B C等表示矩阵也可以记作Amn或(aij)mn.77391111833312111151 如上述例1所得的矩形阵列就是一个45矩阵，可记为A45或(aij)45，即A45 =定义(矩阵相等)如果两个矩阵A B有相同的行数与相同的列数 并且对应位置上的元素均相等 则称矩阵A

5、与矩阵B相等 记为AB 即如果A(aij)mn B(bij)mn 且aijbij(i1 2 m j1 2 n)则AB 二、矩阵的基本关系例如,530221A.fedcbaB它们都是23矩阵。仅当a=1,b=2,c=2,d=0,e=3,f=5时，矩阵A和矩阵B才是相等的，即A=B.定义：对于矩阵A=(aij)mn：当m=1时，表示只有一行的矩阵，叫做，记为A=a1 a2 anmaaaA21 所有元素都是零的矩阵称作，记作Omn或O.当n=1时，表示只有一列的矩阵，叫做，记为 .00000000000000000000 注意：不同阶数的零矩阵是不相等的注意：不同阶数的零矩阵是不相等的.例如例如当m

6、=n时，称为定义：对于矩阵A=(aij)mn：nnnnnnnaaaaaaaaaA212222111211对于n阶方阵，当n=1时，即一阶方阵就是表示一个数a11.在n阶方阵中，从左上角到右下角的n个元素称为（diagonal）.nnaaa,2211主对角线一侧的元素全为0的n阶方阵称为三角矩阵。上三角矩阵（upper triangular matrix）：非零元素只出现在对角线及其上方。下三角矩阵（lower triangular matrix）:非零元素只出现在对角线及其下方。nnnnaaaaaa00022211211nnnnaaaaaa21222111000对角矩阵（diagonal ma

7、trix）：既是上三角矩阵又是下三角矩阵。),(diag2211nnaaaD可记为单位矩阵（identity matrix）：主对角线元素全为1，其余元素都为0的n阶方阵。nnaaa0000002211100010001记为En或E.小 结(1)矩阵的概念mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211列的一个数表列的一个数表行行nm(2)矩阵相等如果A(aij)mn B(bij)mn 且aijbij(i1 2 m j1 2 n)则AB(3)特殊矩阵 方阵;时的矩阵nm 行矩阵与列矩阵;单位矩阵;零矩阵.100010001 ,21 naaaB ,21naaaA n 00000021Om

8、n练习：P22.A组1、2、32.2 矩阵的运算1、掌握矩阵的加法、数乘矩阵的运算；2、掌握矩阵乘法、矩阵转置的运算；3、理解并掌握以下重要结论：ABBA；(AB)T=BTAT.【学习本节要达到的目标】定义定义(矩阵加法矩阵加法)mnmnmmmmnnnnbababababababababaBA221122222221211112121111一、矩阵的加法 两个mn矩阵A(aij)mn B(bij)mn将它们的对应位置元素相加，得到的mn矩阵称为矩阵A与矩阵B的和 记为AB 即 AB(aij)mn(bij)mn(aijbij)mn 例1 设有矩阵A与矩阵B，321034022753BA84607

9、5120231 320501742233 111 A 111 A 111 A 111 B1203162540783+1 5+3 7+22+2 0+1 4+5 3+72+00+0 1+6 2+4 3+8 111 A 111 C 111 C 111 B 44081799621011解求A+B注意 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.在这里我们把两个行列分别相等的矩阵称为同型矩阵.矩阵加法的运算规律矩阵加法的运算规律设A,B,C,O都是mn矩阵，容易验证下列运算规律：;1ABBA;2CBACBA.3AOA09050301OA9531解,9531A 例2 设有矩阵 求A+O.解 根据矩阵加法

10、的定义，.212222111211的负矩阵称为矩阵则AaaaaaaaaaAmnmmnn 对于矩阵A=(aij)mn，我们称矩阵(-aij)mn为矩阵A的负矩阵，记作-A.mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211即若利用矩阵的加法和负矩阵，可以定义矩阵的减法矩阵的减法：mnmnmmmmnnnnbababababababababaBABA221122222221211112121111)(OAA显然，有 例3 已知求A-B.解 根据矩阵减法的定义，32112321)1(012BA.121111,213102A312211B 例4 设有矩阵A与矩阵B，,2452A3586B 求满足矩

11、阵方程A+X=B的矩阵的矩阵X.解 由A+X=B得得X=B-A，所以5934)2(3455826ABX定义(数乘矩阵)以数k乘矩阵A的每一个元素所得到的矩阵 称为数k与矩阵A的数乘矩阵 记为kA 即如果A(aij)mn 那么 kAk(aij)mn(kaij)mn.212222111211mnmmnnkakakakakakakakakaAkkA二、数乘矩阵 例5 设有矩阵A，105951901355040130809080175120A 1059519013550401308090801751205.15.1 A1055.1955.11905.11355.1505.1405.11305.1805

12、.1905.1805.11755.11205.15.1575.1422855.20275601951201351205.262180 解求1.5A.例 3 已知230412301321A 052110351234B 求 3A2B 解 0521103512342230412301321323BA06109402122306691002349668361941016151055011 解 0521103512342230412301321323BA 例6练习：练习：设 140213A043203B求3A-2B.BA230432032140213308640631206393206233解解 ;3A

13、kllAk;2lAkAAlk ;1kBkABAk数乘矩阵的运算规律数乘矩阵的运算规律设k和l是两个常数，A和B均是mn阶矩阵，容易验证下列运算规律：矩阵相加与数乘矩阵合起来矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵统称为矩阵的的线性运算。线性运算。.0,14OAAA 例7 已知 864297510213A 612379154257B 且A2XB 求X)(21ABX27212244446421 解由A2XB 得到)(21ABX27212244446421)(21ABX27212244446421.12712111222232小 结矩阵加法与矩阵数乘的运算规律 设A B C O都是mn矩阵 k l是数

14、则(1)ABBA(2)(AB)CA(BC)(3)AOA(4)A(A)O(5)k(AB)kAkB(6)(kl)AkAlA (7)(kl)Ak(lA)(8)1AA;0AO.矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语。而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的

15、概念，然而在历史上次序正好相反。英国数学家凯莱(A.Cayley,1821-1895)一般被公认为是矩阵论的创立者，因为他首先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，并首先发表了关于这个题目的一系列文章。凯莱同研究线性变换下的不变量相结合，首先引进矩阵以简化记号。1858 年，他发表了关于这一课题的第一篇论文矩阵论的研究报告，系统地阐述了关于矩阵的理论。文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念，指出了矩阵加法的可交换性与可结合性。另外，凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩阵的一些基本结果。在矩阵论的发展史上，弗罗伯纽斯(G.Frobenius,1849-1917)的贡献是不可磨灭的。他讨论了最小多项式问题，引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念，以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质。1854 年，约当研究了矩阵化为标准型的问题。