数学九年级下：《投影与三视图》复习教学案

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1、投影与三视图 复习课【复习目标】1会画基本几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图（主视图、左视图、俯视图），会判断简单物体的三视图能根据三视图描述基本几何体或实物原型。2了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图判断和制作立体模型。3了解基本几何体与其三视图、展开图（球除外）之间的关系；通过典型实例，知道这种关系在现实生活中的应用（如物体的包装）。4观察与现实生活有关的图片（如照片、简单的模型图、平面图、地图等），了解并欣赏一些有趣的图形（如雪花曲线、莫比乌斯带）。5通过背景丰富的实例，知道物体的阴影是怎样形成的，并能根据光线的方向辨认实物的阴影（如在阳光或灯火下，观察手的阴影或人的身影）。

2、6了解视点、视角及盲区的涵义，并能在简单的平面图和立体图中表示。7通过实例了解中心投影和平行投影。【题型归类分析】探究一：比例求高“投影”类题图1题型1 如图1，小华为了测量所住楼房的高度，他请来同学帮忙，在阳光下测量了同一时刻他自己的影长和楼房的影长分别是0.5米和15米.已知小华的身高为1.6米，那么他所住楼房的高度为_米.分析：本题的解题思路是把太阳光线看成平行光线，依据同一时刻物高与影长成正比，很容易求出小华所住楼房的高度为48米.变化11 如果物体的投影一部分落在平地上，另一部分落在坡面上：图2如图2，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留

3、在坡面上已知铁塔底座宽CD=12 m，塔影长DE=18 m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为( )(A)24m (B)22m (C)20 m (D)18 m 分析：本题的关键是仔细观察图形，理解铁塔的影子是由坡面DE与平地BD两部分组成.由题型1的经验得：塔影落在坡面部分的塔高塔影DE长小明的身高小明的影长；塔影落在平地部分的塔高塔影BD长小华的身高小华的影长.设塔影留在坡面DE部分的塔高为h1、塔影留在平地BD部分的塔高为h2，则铁塔的高为h1+h2. h118 m1.6m2m h

4、26m1.6m1 m h114.4m h29.6m 塔高AB为24m. 应选A. 变化12 如果物体的投影一部分落在平地上，另一部分落在台阶上：图3兴趣小组的同学要测量树的高度在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图3，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为（ ）(A)11.5米(B)11.75米 (C)11.8米 (D)12.25米图4分析：由题意画出图4，可知树的影长有三部分BE、DE和CD，延长CD交AB于F后，就将树的这三部

5、分影长转化为两部分高BF和影长CF因为由矩形的性质得，BE=DF=4.4m，BF=DE=0.3 m，所以，图4CF=4.4m+0.2 m=4.6 m，再利用高AF与影长CF的比1 m0.4 m，求出AF=11.5 m，最后求出树高AB= AF + BF =11.8 m. 因此应选C.变化13 如果将上题中的DE改为斜坡，再改变部分已知条件：图5梅华中学九年级数学课外学习小组某下午实践活动课时，测量朝西教学楼前的旗杆AB的高度如图5，当阳光从正西方向照射过来时，旗杆AB的顶端A的影子落在教学楼前的坪地C处，测得影长CE=2 m, DE=4m ,BD=20m，DE与地面的夹角在同一时刻，测得一根长

6、为1m的直立竹竿的影长恰为4m根据这些数据求旗杆的高度（结果保留两个有效数字）图6分析：根据题意画出示意图6，对照上题，只要过点E作EHBD，垂足为H，延长CE交AB于F，即可将问题转化成了上题的形式，求出旗杆的高度约为8.4 m.探究二：三角函数求高 “投影”类题题型2 如图7，当太阳光与地面成角时，直立于地面的玲玲测得自己的影长为1.16m，则玲玲的身高约为 m（精确到0.01m）图8图7分析：由已知条件构建RtABC，如图8所示，则 BC=1.16m, ACB=，由三角函数的定义得，AB=BC tan1.66 m，即玲玲的身高约为1.66 m.变化21如果将太阳光改为照明灯，再适当改变已

7、知条件和问题的形式：图9如图9所示，点P表示广场上的一盏照明灯若小丽到灯柱MO的距离为4.5米，照明灯P到灯柱的距离为1.5米，小丽目测照明灯P的仰角为，她的目高QB为1.6米，试求照明灯P到地面的距离（结果精确到0.1米）分析：解此题的突破点是如何将不规则的图形转化为规则的几何图形先由已知条件在这个图形中构建矩形和直角三角形，过点Q作QEMO于，过点P作PFOB于F，交QE于点D，则PFQE，如图10所示，这样将求照明灯P到地面的距离转化为求PD与DF的和图10在RtPDQ中，由于PQD=，DQ= EQED=3mPD=DQ tan=3tan4.3（m）DF=QB=1.6 PF=PD+DF=4

8、.3+1.6=5.9（m）照明灯到地面的距离为5.9 m.探究三：相似三角形求高 “投影”类题图11题型3 如图11，为了测量学校旗杆的高度，小东用长为3.2 m的竹竿做测量工具。移动竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8m，与旗杆相距22m，则旗杆的高为_m分析：本题用相似三角形的对应边成比例，容易求出旗杆的高为12 m变化31如果将上题的太阳光线的平行投影改为灯具的中心投影，再适当改变已知条件和问题的形式：图12如图12，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点 ）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短

9、了？变长或变短了多少米？分析：解此题的基本思路是在读懂题目的基础上，把复式的几何图形拆分成单一的几何图形，弄清小明站在A点的影长是AM，站在B点的影长是BN，两者的差即为问题的答案由MACMOP，即，解得同样由可求得所以，小明的身影变短了3.5米由上述分析可知，图1、图8、图11是解“投影”类题的基本图形，其解题的对应方法有三种：第一利用同一时刻物高与影长成正比解；第二构建直角三角形用三角函数解；第三构建相似三角形用相似三角形的对应边成比例解对于这种类型的问题，教师要启发学生善于观察、分析，把握其中的变化规律【要点复习】要点1：投影的有关概念与应用1、太阳光与影子：（1）投影现象的定义：物体在

10、光线的照射下，会在地面上或墙壁上留下它的影子，这就是投影现象（2）平行投影：太阳光线可以看成是平行光线，像这样的光线形成的投影称为平行投影2灯光与影子：（1）中心投影：光线可以看成是从一点发出的，像这样的光线形成的投影称为中心投影（2）视点、视线、盲区：眼睛的位置称为视点；由视点发出的线称为视线，看不到的地方称为盲区注意事项：注意不同时刻同一物体的影长是不同的，但同一时刻不同物体及影长与光线构成的三角形是相似的要点2：基本几何体与视图1基本几何体：直棱柱、圆柱、圆锥、球2视图：主视图、左视图、俯视图3基本几何体的三视图画法：（1）观察方向：正面、侧面、上面（2）视图特点：长对正，高平齐，宽相等

11、（3）要注意实线与虚线的用法4判断简单物体的三视图5根据三视图描述基本几何体或实物原型【历年考点例析】考点1：辨别三种视图. 对各种几何体三种视图的辨别，是对三视图定义的考察，是新课改以来中考的必考点之一. 解答这一题型的方法是深入理解三视图的定义，根据定义性质求解. 例1 由几个小立方体搭成的一个几何体如图1所示，它的主（正）视图见图2，那么它的俯视图为( ) 简析:依据俯视图定义可知，本题应选c. 例2一个物体的三视图如图3所示，该物体是 ( ) a.圆柱 b.圆锥 c.棱锥d.棱柱 简析：已知三视图形求物体，是三视图定义的一种运用. 本题答案为b. 考点2：确定物体构成. 对物体外部特征

12、的了解和把握，是可以通过物体的三维视图来体现的，确定物体的构成，同样也离不开物体的三视图. 例3 如图4所示，若干桶方便面摆放在桌子上，实物图片左边所给的是它的三视图，则这一堆方便面共有 ( ) a. 5桶 b. 6桶c. 9桶 d. 12桶 简析：方便面桶数的确定，要以俯视图为基准，然后结合主视图、左视图创设情景，通过分析推断得到. 本题应选b. 例4一位美术老师在课堂上进行立体模型素描教学时，把14个棱长为1分米的正方体摆在课桌上成如图5形式，然后他把露出的表面都涂上不同的颜色，则被他涂上颜色部分的面积为( ) a33分米2 b24分米2 c21分米2 d42分米2 简析：本题如果一面一面

13、去数也是可以得到的，但那样只能算“特法”，不能算“通法”，解决本题的“通法”应该是“（主视图面积左视图面积）2+俯视图面积”，答案应选a. 考点3：作投影图形. 作三视图要注意：主、俯视图长对正，主、左视图高平齐，左、俯视图宽相等；作对称物体的视图要注意：先作物体的对称轴线或中心线；作平行投影图形时要注意：在同一时刻每束光线之间是平行关系；作中心投影图形时要注意：在同一时刻每束光线都是从一点发出的. 例5下列四幅图形中，表示两颗小树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是 ( ) 简析：由题意可知小树在同一时刻阳光下的影子为平行投影，分析4个选项：a选项中影子的方向违背生活原理，b选项为中心投影，c

14、选项错在同一时刻阳光下不可能大树的影子反而小. 只有d选项符合题意. 例6某时刻两根木棒在同一平面内的影子如图6所示，此时，第三根木棒的影子表示正确的是( ) 简析：只要过两影子的端点和它所对应的木棒顶端作直线（光线），就可判断是平行投影，还是中心投影. 然后根据两种投影的性质，便可作出另一根木棒的影子了. 本题由作图可知是中心投影，答案为d. 考点4： 投影与测量. 综合运用投影和相似三角形的有关性质，进行实践测量活动，是近几年来中考考查的热点题型之一. 熟练掌握和运用投影的有关知识，结合三角形相似的有关性质，是解决这一题型的关键. 例7如图7，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5

15、米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆小丽站在离南岸边15米的点p处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为_米 简析：本题可以看作是中心投影的运用：点p是视点，p与两电线杆的连线为视线，两电线杆之间为盲区. 由题意可知两三角形相似，根据相似三角形对应高成比例的性质可得河宽为22.5米 例8如图8，花丛中有一路灯杆ab.在灯光下，小明在d点处的影长de=3米，沿bd方向行走到达g点，dg=5米，这时小明的影长gh=5米. 如果小明的身高为1.7米，求路灯杆ab的高度(精确到0.1米) 解析：根据题意得abbh，cdbh，fgbh，在rt

16、abe和rtcde中 abbh，cdbh ，cd/ab，可证得：abecde， cd/ab=de/de+bd， 同理：fg/ab=hg/hg+gd+bd ， 又cdfg1.7m，由、可得：de/de+bd=hg/gh+gd+bd, 即3/3+bd=5/10+bd，解之得：bd7.5m， 将bd7.5代入得：ab=5.95m6.0m. 答：路灯杆ab的高度约为6.0m. 本题综合运用了中心投影和相似三角形的有关知识进行解答. 考点5：视图与生活. 把视图和投影的概念和性质与平行和相似等几何知识相联系，解决现实生活中的实际问题，这类题型充分体现了“数学即生活”的新课改思想. 例9 如图9，某一时刻太阳光从教室窗户射入室内，与地面的夹角bpc为30，窗户的一部分在教室地面所形成的影长pe为3.5米，窗户的高度af为2.5米。7