微积分经管类.第四版课件吴赣昌第一章

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1、1.1.微积分学微积分学:一元微积分一元微积分2.2.线性代数线性代数 大学数学主要内容大学数学主要内容多元微积分多元微积分3.3.概率与统计概率与统计如何学习高等数学如何学习高等数学 1.1.认识高等数学的重要性认识高等数学的重要性,培养浓厚的学习兴趣培养浓厚的学习兴趣.2.做好预习复习，多做习题做好预习复习，多做习题3.作业：每两周第一次课上课前提交作业：每两周第一次课上课前提交 要求：要求：1 1）不能抄作业）不能抄作业 2 2）解题过程尽量详细）解题过程尽量详细参考书目 高等数学高等数学，高等教育出版社，同济大，高等教育出版社，同济大学数学系编学数学系编 高等数学精品课堂高等数学精品课

2、堂，厦门大学出版社，厦门大学出版社，林建华等编著林建华等编著 托马斯微积分托马斯微积分第十版，高等教育出版第十版，高等教育出版社，叶其孝等译社，叶其孝等译考试安排 期中考试（待定）期中考试（待定）期末考试，闭卷考，最后两周，期末考试，闭卷考，最后两周，1 1月月5 5日日-10-10日日 评分：平时（出勤、作业等）评分：平时（出勤、作业等）20%20%、期中考试、期中考试10%10%，期末考试占，期末考试占70%70%第一章第一章 函数、极限与连续函数、极限与连续 1.1 1.1 函数函数一、实数与区间一、实数与区间二、邻域二、邻域三、函数的概念三、函数的概念四、函数的特性四、函数的特性五、数

3、学建模五、数学建模函数关系的建立函数关系的建立一、实数与区间一、实数与区间集合集合具有某种特定性质的事物的总体具有某种特定性质的事物的总体.元素元素组成这个集合的事物称为该集合的元素组成这个集合的事物称为该集合的元素.集合与元素的关系集合与元素的关系:,Ma Ma 由无限个元素组成的集合称为由无限个元素组成的集合称为无限集无限集.由有限个元素组成的集合称为由有限个元素组成的集合称为有限集有限集.集合的概念集合的概念集合举例集合举例)1()2()3()4(年在广东地区出生的人年在广东地区出生的人.方程方程0232 xx的根的根.全体奇数全体奇数.抛物线抛物线2xy 上的所有点上的所有点.2005

4、集合的表示方法集合的表示方法.1列举法列举法:即在即在 中按任意顺序、不遗漏、不中按任意顺序、不遗漏、不重复地列出集合的所有元素重复地列出集合的所有元素.例如例如)1(若若A仅由有限个元素仅由有限个元素naaa,21组成组成,)2(.,21naaaA 可记为可记为由方程由方程0232 xx的根构成的集合的根构成的集合,.2,1 A可记为可记为.2描述法描述法:xxM|所具有的特征所具有的特征由方程由方程0232 xx的根构成的集合的根构成的集合,)1(可记为可记为.023|2 xxxM)2(全体奇数的集合全体奇数的集合,可记为可记为.,12|ZnnxxM AB就称集合就称集合 和和 相等相等,

5、若若,BA 且且,AB 记为记为.BA 记为记为AB则称集合则称集合 是是 的的真子集真子集,若若BA 且且,BA 空集空集不包含任何元素的集合不包含任何元素的集合,记为记为.BA 规定规定:空集为任何集合的子集空集为任何集合的子集.集合之间的关系集合之间的关系若若Ax,Bx 则称则称 是是 的的子集子集,AB记为记为.BA 集合的运算集合的运算设设BA,是两个集合是两个集合,定义定义)1(AB与与的并集的并集(简称简称并并);Bx)2(AB与与的交集的交集(简称简称交交);Bx)3(AB与与的差集的差集(简称简称差差);Bx 或或Axx|BA U且且Axx|BA IBA 且且Axx|BABA

6、BABA集合的运算集合的运算)4(当所研究的问题限定在一个大的集合当所研究的问题限定在一个大的集合 中进行中进行,S所研究的其他集合所研究的其他集合 都是都是 的子集的子集.SA定义定义 的的余集余集A或或补集补集.ASA 例如例如,在实数集在实数集 中中,R集合集合10|xxA的余的余集就是集就是0|xxA或或.1 xASA集合的基本运算规律集合的基本运算规律设设CBA,为任意三个集合为任意三个集合,则有下列法则成立则有下列法则成立:)1(交换律交换律,ABBAUU;ABBAII)2(结合律结合律),()(CBACBAUUUU ABCABC()();IIII)3(分配律分配律),()()(C

7、BCACBAIUIIU);()()(CBCACBAUIUUI)4(对偶律对偶律.)(BABAUI.)(BABAIU 数集分类数集分类:N自然数集自然数集 R实数集实数集 Z整数集整数集 Q有理数集有理数集数集间的关系数集间的关系:.RQZN 注注:如无特别说明如无特别说明,本课程中提到的数都是实数本课程中提到的数都是实数.数集数集元素都是数的集合称为元素都是数的集合称为数集数集.区间区间闭区间闭区间;|,bxaxba 半开半闭区间半开半闭区间,|),bxaxba ;|,(bxaxba ,|),xaxa ;|),(bxxb 特别地特别地,全体实数的集合全体实数的集合R也可表示为无限区间也可表示为

8、无限区间).,(开区间开区间;|),(bxaxba 二、邻域二、邻域定义定义 设设 与与 是两个实数是两个实数,a 且且,0 数集数集|axx称为点称为点 的的 邻域邻域.a 记为记为.|),(axaxaU记为记为),(aU即即.|0|),(axxaU点点 的去心的的去心的 邻域邻域,a以以 为中心的任何开区间均是点为中心的任何开区间均是点 的邻域的邻域,aa记为记为).(aU三、函数的概念三、函数的概念定义定义设设x和和y是两个变量是两个变量,D是一个给定的数集是一个给定的数集.如果对于每个数如果对于每个数,Dx 变量变量y按照一定的法则总按照一定的法则总有确定的数值和它对应有确定的数值和它

9、对应,则称则称 是是 的函数的函数,yx记作记作Dxxfy ),(因变量因变量自变量自变量其中其中,数集数集D称为函数的称为函数的定义域定义域,记为记为,fD即即.DDf 函数值函数值)(xf全体组成的集合称为函数全体组成的集合称为函数 的的值域值域,f记为记为fR或或),(Df即即.),(|)(DxxfyyDfRf 注注:构成函数的要素为构成函数的要素为:定义域定义域与与对应法则对应法则两函数相等两函数相等它们的定义域和对应法则均相同它们的定义域和对应法则均相同.例例判断下面函数是否相同判断下面函数是否相同,并说明理由并说明理由.(1)1y 与与22sincos;yxx(2)21yx与与21

10、.xy定义域的确定定义域的确定:)1(对实际问题对实际问题,根据问题的实际根据问题的实际意义确定意义确定;)2(对抽象函数表达式对抽象函数表达式,约定约定:定义域是使算式有定义域是使算式有意义的一切实数组成的集合意义的一切实数组成的集合,这种定义域又称为这种定义域又称为函数的函数的自然定义域自然定义域.例如例如,;1,1:,12 Dxy).1,1(:,112 Dxy函数的图形函数的图形:坐标平面上的点集坐标平面上的点集),(|),(Dxxfyyx 称为函数称为函数Dxxfy ),(的图形的图形.函数的表示法函数的表示法.1表格法表格法自变量的值与对应的函数值列成表格自变量的值与对应的函数值列成

11、表格的方法的方法.2图像法图像法在坐标系中用图形来表示函数关系的在坐标系中用图形来表示函数关系的方法方法.3公式法公式法(解析法解析法)将自变量和因变量之间的关系用将自变量和因变量之间的关系用数学表达式数学表达式(又称为解析表达式又称为解析表达式)来表示的方法来表示的方法.例如例如,某水文站统计了某河流在某水文站统计了某河流在40年内的平均月流年内的平均月流量量 如下表如下表:V月月平均月平均月流量流量V(亿立方米亿立方米)123456789 10 11 1230.039.075.035.044.072.03.44.48.10.172.050.0定义域定义域 为数集为数集fDttt,121|为

12、自然数为自然数fDfD函数的表示法函数的表示法根据函数的解析表达式的形式不同根据函数的解析表达式的形式不同,函数也可函数也可分为以下三种分为以下三种:)1(显函数显函数函数函数 由由 的解析表达式直接表示的解析表达式直接表示.yx例如例如.12 xy)2(隐函数隐函数关系由方程关系由方程0),(yxF来确定来确定.例如例如,).sin(lnyxy 函数的自变量函数的自变量 与因变量与因变量 的对应的对应yx)3(分段函数分段函数函数在其定义域的不同范围内函数在其定义域的不同范围内,具具有不同的解析表达式有不同的解析表达式.完完例例 1 绝对值函数绝对值函数,0|,0 x xyxx x 定义域定

13、义域(,),D 值域值域0,).fR 注注:常用绝对值的运算性质常用绝对值的运算性质:|;xyxy|;|xxyy|.xyxyxy设设0,a 则则|xa;axa|xa xa 或或.xa 完完其他分段函数举例其他分段函数举例)1(符号函数符号函数 ,1,0,1sgn xy当当当当当当0 x,0 x0 x)2(取整函数取整函数,xy x表示不超过表示不超过 的最大整数的最大整数.x)3(狄利克雷函数狄利克雷函数 ,0,1)(xDy当当 是有理数时是有理数时x当当 是无理数时是无理数时x四、函数的特性四、函数的特性设函数设函数)(xf的定义域为的定义域为,D数集数集,DX 若若,1K 使得使得Xx 恒

14、有恒有1)(Kxf 成立成立,则称则称函数函数)(xf在在 上有上有上界上界X;1K若若,2K 使得使得Xx 恒有恒有2)(Kxf 成立成立,则称则称函数函数)(xf在在 上有上有下界下界X;2K4.1 函数的有界性函数的有界性由上述定义易见有下列结论由上述定义易见有下列结论:有下界有下界.)(xf在在 上有界上有界X)(xf在在 上既有上界又上既有上界又X若若,0 M使得使得Xx 恒有恒有Mxf|)(|成立成立,则称则称函数函数)(xf在在 上上有界有界,X否则称为否则称为无界无界.例例4 证明证明(1)函数函数21xyx 在在(,)上是有界的上是有界的;(2)函数函数21yx 在在(0,1

15、)上是无界的上是无界的.证证(1)所以所以2|1|2|,xx故故222|1|()|212|1|xxf xxx对一切对一切(,)x 都成立都成立.由上可知题设函数在由上可知题设函数在(,)上是有界函数上是有界函数.因为因为,0)1(2 x例例证明证明(2)函数函数21yx 在在(0,1)上是无界的上是无界的.证证(2)对于无论怎样大的对于无论怎样大的0,M 总可在总可在(0,1)内找到相应的内找到相应的.x例如取例如取01(0,1),1xM 使得使得022011|()|11()1f xMMxM 所以所以21()f xx 在在(0,1)上是无界函数上是无界函数.完完函数的单调性函数的单调性设函数设

16、函数 的定义域为的定义域为)(xf,D区间区间.DI 如果对于区间如果对于区间 上任意两点上任意两点 及及 I1x,2x当当21xx 时时,恒有恒有),()(21xfxf 则称函数则称函数)(xf在区间在区间I上是上是单调增加函数单调增加函数;如果对于区间如果对于区间 上任意两点上任意两点 及及 I1x,2x当当21xx 时时,恒有恒有),()(21xfxf 则称函数则称函数)(xf在区间在区间I上是上是单调减少函数单调减少函数;函数的单调性函数的单调性例题分析例题分析:2xy 在在),0 内是单调增加的内是单调增加的,在在0,(内是内是单调减少的单调减少的,在在),(内不是单调的内不是单调的

17、.3xy 在在),(内是单调增加的内是单调增加的.完完例例5 证明函数证明函数1xyx 在在(1,)内是单调增加内是单调增加的函数的函数.证证 在在(1,)内任取两点内任取两点12,x x且且12,xx 则则1212121212()()11(1)(1)xxxxf xf xxxxx 因为因为12,x x是是(1,)内任意两点内任意两点,所以所以1210,10,xx又因为又因为120,xx故故12()()0f xf x所以所以()1xf xx 在在(1,)内是单调增加的内是单调增加的.函数的奇偶性函数的奇偶性设函数设函数)(xf的定义域的定义域 关于原点对称。关于原点对称。D若若,Dx 有有),(

18、)(xfxf 则称则称)(xf为为偶函数偶函数；例如，例如，函数函数 是奇函数；是奇函数；xysin 函数函数 是偶函数是偶函数.xycos 若若,Dx 有有),()(xfxf 则称则称)(xf为为奇函数奇函数.例例6判断函数判断函数2()ln(1)f xxx的奇偶性的奇偶性.解解2()ln(1()fxxx 2ln(1)xx222(1)(1)ln1xxxxxx 21ln1xx 2ln(1)xx ().f x 由定义知由定义知()f x为奇函数为奇函数.例例判断函数判断函数11()ln11xxexf xxe (11)x 的奇偶性的奇偶性.解解因为因为11()ln11xxexfxxe 11 ln1

19、1xxexxe 11ln11xxexxe ().f x 故由定义知故由定义知()f x为偶函数为偶函数.函数的周期性函数的周期性设函数设函数)(xf的定义域为的定义域为,D如果存在一个不为零如果存在一个不为零的数的数,l使得使得,Dx 有有,)(Dlx 且且),()(xflxf 则称则称)(xf为为周期函数周期函数,l称为称为)(xf的的周期周期.通常说的周期函数的周期是指其通常说的周期函数的周期是指其最小正周期最小正周期.例如例如,xx cos,sin都是以都是以 为周期的周期函数为周期的周期函数.2例例7因为因为解解故按周期函数的定义故按周期函数的定义,设函数设函数)(xf是周期是周期T的

20、周期函数的周期函数,数数)(baxf 的周期的周期,其中其中ba,为常数为常数,且且.0 a baTxaf)(bTaxf )(Tbaxf ),(baxf 的周期为的周期为)(baxf.aT试求函试求函例例若若()f x对其定义域上的一切对其定义域上的一切,x恒有恒有()(2),f xfax则称则称()f x对称于对称于.xa 试证明试证明:则则()f x是以是以2()Tba为周期的周期函数为周期的周期函数.()f x对称于对称于xa 及及(),xb ab若若证证由由()f x对称于对称于xa 及及,xb 则有则有()(2),f xfax(1)()(2).f xfbx(2)在式在式(2)中中,把

21、把x换为换为2,ax 得得(2)2(2)2().faxfbaxf xba由式由式(1)()(2)2(),f xfaxf xba可见可见,()f x以以2()Tba为周期为周期.五、数学建模五、数学建模-函数关系的建立函数关系的建立在解决实际应用问题时在解决实际应用问题时,首先要将所要解决的问题首先要将所要解决的问题量化量化,从而建立起该问题的从而建立起该问题的数学模型数学模型,即建立即建立函数函数关系关系.要把实际问题中变量之间的函数关系正确抽要把实际问题中变量之间的函数关系正确抽象出来象出来,首先应分析哪些是常量首先应分析哪些是常量,哪些是变量哪些是变量,然后然后确定选取哪个为自变量确定选取

22、哪个为自变量,哪个为因变量哪个为因变量,最后根据最后根据题意建立它们之间的函数关系题意建立它们之间的函数关系,同时给出函数的定同时给出函数的定义域义域.注注:应用问题的定义域应用问题的定义域,除考虑函数的表达式外还除考虑函数的表达式外还要考虑变量在实际问题中的意义要考虑变量在实际问题中的意义.例例8 某工厂生产某型号车床某工厂生产某型号车床,年产量为年产量为a台台,干批进行生产干批进行生产,每批生产准备费为每批生产准备费为b元元,设产品均匀设产品均匀投入市场投入市场,且上一批用完后立即生产下一批且上一批用完后立即生产下一批,库存量为批量的一半库存量为批量的一半.设每年每台库存费为设每年每台库存

23、费为c元元.然然,生产批量大则库存费高生产批量大则库存费高;生产批量少则批数增多生产批量少则批数增多,因而生产准备费高因而生产准备费高.年中库存费与生产准备费的和年中库存费与生产准备费的和为了选择最优批量为了选择最优批量,与批量的函数关系与批量的函数关系.分若分若即平均即平均显显试求出一试求出一解解 设批量为设批量为,x库存量与生产准备费的和为库存量与生产准备费的和为().P x因年产量为因年产量为,a所以每年生产的批数为所以每年生产的批数为ax(设其为整设其为整数数).则生产准备费为则生产准备费为.abx 因库存量为因库存量为,2x故库存费为故库存费为.2xc 因此可得因此可得().22ax

24、abcxP xbcxx定义域为定义域为(0,ax(台数台数)只取定义域中的正整数因只取定义域中的正整数因子子.例例9某运输公司规定货物的吨公里运价为某运输公司规定货物的吨公里运价为:在在a公里以内公里以内,每公里每公里k元元,超过部分每公里为超过部分每公里为45k元元.求运价求运价m和里程和里程s之间的函数关系之间的函数关系.解解根据题意可列出函数关系如下根据题意可列出函数关系如下:,4(),5ksmkak sa 0saas 这里运价这里运价m和里程和里程s的函数关系的函数关系示的示的,定义域为定义域为(0,).是用分段函数表是用分段函数表内容小结内容小结1.预备知识预备知识集合的概念，集合的

25、运算，区间，邻域集合的概念，集合的运算，区间，邻域.2.函数的概念函数的概念函数的定义，函数的运算，函数的定义，函数的运算，求函数的定义域，求函数表达式等求函数的定义域，求函数表达式等.3.函数的特性函数的特性有界性，单调性，奇偶性，周期性有界性，单调性，奇偶性，周期性.1.用分段函数表示函数用分段函数表示函数.|1|3 xy2.判别函数判别函数 0,0,)(22xxxxxxxf的奇偶性的奇偶性.课堂练习课堂练习1.用分段函数表示函数用分段函数表示函数.|1|3 xy解解根据绝对值定义可知根据绝对值定义可知当当,01 x即即1 x时时,)1(|1|xx当当,01 x即即1 x时时,1|1|xx

26、因此有因此有 1),1(31),1(3xxxxy即即 1),1(31),1(3xxxxy.2.判别函数判别函数 0,0,)(22xxxxxxxf的奇偶性的奇偶性.解解当当0 x时时,0 x有有xxxxxf 22)()()().()(2xfxx 当当0 x时时,0 x有有xxxxxf 22)()()().()(2xfxx 故故)(xf是奇函数是奇函数.作业作业习题习题1-1 1-1 Ex.1(1)(3)(5)Ex.1(1)(3)(5)Ex.2(2)(4)Ex.2(2)(4)Ex.4(2)Ex.4(2)Ex.7(3)Ex.7(3)Ex.8(1)Ex.8(1)1.2 1.2 初等函数初等函数 一、反

27、函数一、反函数 二、基本初等函数二、基本初等函数 三、复合函数三、复合函数 四、初等函数四、初等函数一、反函数一、反函数设函数)(xfy 的定义,D域为值域为.W一般地,如果)(xfy 在上不仅单值,D调,则把 看作自变量,yx看新函数)()(1yfyx 作因变量,称为)(xfy 的反函反函数的定义域为,W值域为.D相对反函数,原来的函数)(xfy 称为直接函数.而且单得到的数.注意(1)习惯上仍将反函数)(yx 记为);()(1xfxy (2)在同一个坐标平面内,直接函数)(xfy 和反函数)(xy 的图形关于直线xy 是对称的.例 111xye求函数的反函数.例已知1,0sgn0,01,0

28、 xxxx (符号函数)求2(1)sgnyxx的反函数.解由题设,易得2221,(1)sgn0,(1),xyxxx 0 x 0 x 0 x 解2221,(1)sgn0,(1),xyxxx 0 x 0 x 0 x 1,0,(1),yxy 1y 0y 1y 故所求反函数为1,0,(1),xyx 1x 0 x 1x .二、基本初等函数1、幂函数)(是常数是常数 xyoxy)1,1(112xy xy xy1 xy 2、指数函数)1,0(aaayxxay xay)1()1(a)1,0(xey 3、对数函数)1,0(log aaxyaxyln xyalog xya1log)1(a)0,1(4、三角函数正弦

29、函数xysin xysin xycos xycos 余弦函数正切函数xytan xytan xycot 余切函数xycot 5、反三角函数xyarcsin xyarcsin 反反正正弦弦函函数数xyarccos xyarccos 反反余余弦弦函函数数xyarctan xyarctan 反正切函数反正切函数 幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.xycot 反余切函数反余切函数arcxycot arc三、复合函数引例设,uy 21xu .12xy 定义设函数的定义域为)(ufy ,fD而函数的值域为)(xu ,R若,RDfI则称函数为的复合函数.)(xfy x注:，

30、f(1)f函数与函数构成的复合函数即).()(xfxf 通常记为(2)不是任何两个函数都可以复合成一个复合函例如,arcsinuy .22xu 数的.(3)复合函数可以由两个以上的函数经过复合构例如:2cotxy ,uy ,cot u.2x 成的.例2设解)(ufy )(xu 求).(xf)(xf usin).1sin(2 x,sinu,12 x例3设()arctan,yf uu1(),utt 2()1,txx 求 ().fx 解 ()arctanfxu 21arctan.1x 1arctant 分段函数的复合运算例5设,1(),1xexf xx x 22,0(),1,0 xxxxx 求().

31、fx 解(),()1()(),()1xexfxxx 解(1)当()1x 时,()21xx 1,x 或0,x 2()11xx 02;x或0,x (2)当()1x 时,()21xx 10,x 或0,x 2()11xx 2.x 或0,x 所以10 x 02x2x 1x .)(xf ,2 xe,2 x,12 xe,12 x例4将下列函数分解成基本初等函数的复合:2(1)lnsin;yx 2arctan(2);xye 22(3)cos ln(21).yx解(1)2lnsinyx 是由,yu ln,uv 2,vw sinwx 四个函数(2)2arctan xye 是由三个函数复合而成;复合而成;,ney

32、,arctanvu 2xv )3(是由)12ln(cos22xy 六个函数复合在而成.,2uy ,cosvu ,lnwv ,2tw ,ht 21xh 4.4.初等函数初等函数由常数及基本初等函数否则称为非初等函数.并可用一个式子表示的函数,经过有限次四则运算和复合步骤所构成,称为初等函数.分段函数一般不是初等函数，如符号函数，取整函数.1.反函数2.复合函数3.基本初等函数幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数.4.函数的分类内容小结1.下列函数能否复合为函数),(xgfy 若能,写出其解析式、定义域、值域.;)(,)()1(2xxxguuufy .1sin)(,ln)()2(xxg

33、uuufy课堂练习2.分析函数32cosarctanxey 的复合结构.1.下列函数能否复合为函数),(xgfy 若能,写出其解析式、定义域、值域.;)(,)()1(2xxxguuufy .1sin)(,ln)()2(xxguuufy解,)()1(2xxxgfy ,10|xxDx.21,0)(Dgf)2(不能.,01sin)(xxg)(xg的值域与)(uf的定义域之交集是空集.完2.分析函数32cosarctanxey 的复合结构.解所给函数是由xsevvttuuys2,cos,arctan,3 复合而成.补充题求().f x解法1令1,txx则210,xtx24,2ttx 取24,2ttx

34、代入得2222(4)(4)44tttt)(1tfxxf 222224124 tttt设,1122xxxxf 2222(4)(4)44tttt xxf1取242ttx 同样可得2()2.f tt2()2.f xx22482.4tt 解法2因为222111()()2,f xxxxxx所以2()2.f xx所以作业作业P26P26Ex.1 (2)Ex.1 (2)Ex.2,Ex.4,Ex.5,Ex.9Ex.2,Ex.4,Ex.5,Ex.91.3 常用经济函数常用经济函数 单利复利单利复利 多次付息多次付息 贴现贴现 需求函数，供给函数需求函数，供给函数一、单利与复利一、单利与复利利息是指借款者向货款者

35、支付的报酬,它是根据本金的数额按一定比例计算出来的.单利计算公式 设初始本金为p(元),银行年利率为.r则第一年末本利和为rppS 1)1(rp 则第二年末本利和为rprpS )1(2)21(rp 第n年末的本利和为)1(nrpSn 复利计算公式设初始本金为p(元),银行年利率为.r则第一年末本利和rppS 1)1(rp 则第二年末本利和)1()1(2rrprpS 本金利息2)1(rp 若n年末的本利和为nnrpS)1(例1现有初始本金100元,若银行年储蓄利率为7%,问:(1)按单利计算,3年末的本利和为多少?(2)按复利计算,3年末的本利和为多少?(3)按复利计算,需多少年能使本利和超过初

36、始本金解(1)已知,100 p,07.0 r由单利计算公式得121)07.031(100)31(3 rps(元)即3年末的本利和为121元.(2)由复利计算公式得5.122)07.01(100)1(333 rps(元)的一倍?例1现有初始本金100元,若银行年储蓄利率为7%,问:(3)按复利计算,需多少年能使本利和超过初始本金解的一倍?prpsnn2)1(2)07.1(n2ln07.1ln n2.1007.1ln/2ln n即需11年本利和可超过初始本金一倍.(3)07.0 r若n年后的本利和超过初始本金的一倍,即要单利付息情况因每次的利息都不计入本金,故若一年分n次付息,则年末的本利和为)1

37、(nrnpS )1(rp 即年末的本利和与支付利息的次数无关.二、多次付息设初始本金为p(元),年利率为,r息.若一年分m次付复利付息情况一年末的本利和为mmrpS)1(易见本利和是随m的增大而增加的.本利和为而n年末的mnnmrpS)1(三、贴 现票据的持有人,为在票据到期以前获得资金,从票面金额中扣除来到期期间的利息后,得到所余金额的现金称为贴现.贴 现考虑更一般的问题:确定第n年后价值为R元钱的现值.假设在这n年之间复利年利率r不变.利用复利计算公式有nrpR)1(得到第n年后价值为R元钱的现值为nrRp)1(式中R表示第n年后到期的票据金额,r表示贴现率,而p表示现在进行票据转让时银行

38、付给的贴现金额.例2 某人手中有三张票据,其中一年后到期的票据金额是500元,二年后到期的是800元,五年后到期的是2000元,已知银行的贴现率6%,现在将三张票据向银行做一次性转让,银行的贴现金额是多少?解 由贴现计算公式,贴现金额为55221)1()1()1(rRrRrRp 其中,5001 R,8002 R,20005 R.06.0 r故21.2678)06.01(2000)06.01(800)06.01(50052 p(元).四、需求函数需求函数 是指在某一特定时期内,市场上某种商品的各种可能的购买量间的数量关系.和决定这些购买量的诸因素之)(PfQ 其中,Q表示需求量,价格.需求函数的

39、反函数)(1QfP P表示习惯上将价格函数也统称为需求函数.称为价格函数,而减少,因此,调减少函数.例如,函数)0,0(babaPQd称为线性需求函数(如图).一般地,商品的需求量随价格随价格的上涨的下降而增加,需求函数是单OPQd五、供给函数供给函数是指在某一特定时期内,市场上某种商品的各种可能的供给量和诸因素之间的数量关系.)(PfS 其中,表示需求量,SP表示价格.供给函数以决定这些供给量的供给函数一般地,商品的供给量随价格的上涨而增加,随价格的下降而减少,因此,供给函数是单调增加函数.例如,函数(0,0)sQcPd cd称为线性供给函数(如图).OPQs六、市场均衡对一种商品而言,如果

40、需求量等于供给量,则这种商品就达到了市场均衡.以线性需求函数和线性供给函数为例,令sdQQ dcPbaP 0PcabdP 这个价格0P称为该商品的市场均衡价格.,0QQQsd 称0Q为市场均当市场均衡时有衡数量.例3 某种商品的供给函数和需求函数分别为,1025 PQsPQd5200 求该商品的市场均衡价格和市场均衡数量.解 由均衡条件sdQQ 得10255200 PP21030 p70 P165102500 PQ即市场均衡价格为7,市场均衡数量为165.例4 某批发商每次以160元/台的价格将500台电扇批发给零售商,在这个基础上零售商每次多进100台电扇,则批发价相应降低2元,批发商最大批

41、发量为每次1000台,试将电扇批发价格表示为批发量的函数,并求出零售商每次进800台电扇时的批发价格.解 由题意看出所求函数的定义域为500,1000.已知每次多进100台,价格减少2元,设每次进电扇x台,则每次批发价减少)500(1002 x元/台,数为即所求函)500(1002160 xP50170 x 10010002160 x当800 x时,15450800170 P(元/台)七、成本函数产品成本是以货币形式表现的企业生产产品的全部费用支出,成本函数表示费用总额与产量(或销售量)之间的依赖关系,产品成本可分为固定成本和变动成本两部分.一般地,数,即)(xCC )0(x称其为成本函数.当

42、产量0 x时,对应的成本函以货币计值的(总)成本C是产量x的函和销售数值)0(C就是产品的固定成本值.设)(xC为成本函数,称)0()()(xxxCxC为单位成本函数或平均成本函数.成本函数是单调增加函数,其图像称为成本曲线.八、收入函数与利润函数销售某种商品的收入,R等于商品的单位价格P乘以销售量,x即,xPR 称其为收入函数.而销售利润L等于收入R减去成本,C即当0 CRL时,生产者盈利;当0 CRL时,生产者亏损;当0 CRL时,生产者盈亏平衡;使0)(xL的点0 x称为盈亏平衡点(又称为保本点).称其为利润函数,CRL 1.(1)设手表的价格为70元，销售量为10000只，若手表每只提

43、高3元，需求量就减少3000只，求需求函数.dQ(2)设手表价格为70元，手表厂可提供10000只手表，当价格每只增加3元时，手表厂可多提供300只，求供应函数.sQ(3)求市场均衡价格和市场均衡数量.课堂练习内容小结1.利息的计算2.贴现设在考察的n年间复利年利率r不变，则第n年后价值为R元钱的贴现金额为nrRp)1(3.常用经济函数如需求函数、供给函数、成本函数、收入函数与利润函数等.作业作业 习题习题 1-3 Ex.2,Ex.5,Ex.8,Ex.91.4 数列的极限数列的极限 极限概念极限概念 数列的定义数列的定义 数列的极限数列的极限 收敛数列的性质收敛数列的性质一、极限概念的引入1、

44、割圆术:割之弥细,所失弥少,割之又割,以至不可割,则与圆周合体而无所失矣.刘徽2、截丈问题:一尺之棰,日截其半,万世不竭.二、数列的定义定义 按一定次序排列的无穷多个数,21nxxx称为无穷数列,简称数列.可简记为.nx其中的每个数称为数列的项,nx称为通项(一般项).数列举例:;,2,8,4,2n.2n;,1,32,21,0nn.1nn;,)1(,1,1,11 n.)1(1 n;,)1(,34,21,21nnn .)1(1nnn ;,)1(,1,1,11 n.)1(1 n;,)1(,34,21,21nnn .)1(1nnn 注:1.它在数轴上依次取值;,21nxxx2.).(nfxn,333

45、,33,3 数列可看作数轴上一个动点,n的函数:数列可看作自变量为正整数.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限1(1)11.nnxn 例：的极限为111 1(1)nnxnn 数列极限的描述性定义：（柯西）如果当 趋于无穷大时，无限接近一个确定的常数，那么称 为数列 的极限。nnnxaax,1001给定给定,10011 n由由,100时时只要只要 n,10011 nx有有,10001给定给定,1000时时只要只要 n,1000011 nx有有,100001给定给定,10000时时只要只要 n,100011 nx有有,0 给定给定,)1(时时只要只要 Nn.

46、1成立成立有有 nx定义定义（魏魏尔斯特拉斯尔斯特拉斯）如果对于任意给定的正如果对于任意给定的正数数(不论它多么小不论它多么小),),总存在正数总存在正数N,使得对于使得对于Nn 时的一切时的一切nx,不等式不等式 axn都成立都成立,那那末就称常数末就称常数a是数列是数列nx的极限的极限,或者称数列或者称数列nx收收敛于敛于a,记为记为 ,limaxnn 或或).(naxn 如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意：;.1的无限接近的无限接近与与刻划了刻划了不等式不等式axaxnn .2有关有关与任意给定的正数与任意给定的正数 Nx1x2x2 Nx1 Nx3x几何解释:2 a aa.)(,)

47、,(,落在其外落在其外个个至多只有至多只有只有有限个只有有限个内内都落在都落在所有的点所有的点时时当当NaaxNnn :定义定义N 其中;:每一个或任给的每一个或任给的.:至少有一个或存在至少有一个或存在.,0,0lim axNnNaxnnn恒有恒有时时使使例1 证明1(1)lim1.nnnn 证故对任给0,要使|1|,nx 只要1,n 即1.n 所以,则当nN 时,就有即1(1)lim1.nnnn 由nnnxnn11)1(|1|1 若取,1 N.1)1(1 nnn例证明lim0,nnq 其中|1.q 证任给0,若0,q 则limlim00;nnnq若0|1,q欲使|0|,nnxq 必须ln|

48、ln,nq 即ln,ln|nq 故对任给0,若取,|lnln qN 则当nN 时,就有|0|,nq 从而证得lim0.nnq 例3 用数列极限定义证明222lim1.1nnnn 证 由于只要2,n 即2,n 因此,对任给的0,当nN 时,即222lim1.1nnnn 13112222 nnnnnnnnnn22 )3(n要使,11222 nnn取,2 N有成立,11222nnn四、收敛数列的有界性定义对数列,nx若存在正数,M使对一切自然数,n恒有,|Mxn 则称数列nx有界,否则,称为无界.例如,数列1 nnxn有界;数列nnx2 无界.几何解释:存在,0 M使得数轴上对应于有界数列的点,nx

49、都落在闭区间,MM 上.证设,limaxnn 由定义,若取,1 则,0 N使当Nn 时,恒有,1|axn即:nxa 1.1 a若记|,1|,1|,|,|,max|1 aaxxMn则对一切自然数,n皆有,|Mxn 故nx有界.注意:有界性是数列收敛的必要条件.推论无界数列必定发散.定理1收敛的数列必定有界.五、极限的唯一性定理收敛数列的极限是唯一的.证用反证法,设,limaxnn ,limbxnn 由定义,0 ,01 N,02 N使得当1Nn 时,恒有;|axn当2Nn 时,恒有.|bxn取,max21NNN 则当Nn 时有|)()(|axbxbann|axbxnn .2 上式仅当ba 时才能成

50、立.证毕.例4 证明数列1(1)nnx 是发散的.证设lim,nnxa 由定义,对于1,2 0,N使得当nN 时,恒有1|,2nxa即当nN 时,区间长度为1.而nx无休止地反复取 1,-1两个数,不可能同时位于长度为 1 的区间内.因此该数列是发散的.证毕.注:此例同时也表明:有界数列不一定收敛.,21,21 aaxn定理3(收敛数列的保号性)若,limaxnn 且0 a(或0 a),则存在正整数,0 N当Nn 时,都有0 nx(或0 nx).证 只证0 a的情形.按定义,对,02 a 正整数,0 N当Nn 时,有2|aaxn .022 aaaxn证毕.六、收敛数列的保号性推论若数列nx从某

51、项起有0 nx(或),0 nx且,limaxnn 则0 a(或).0 a证只证数列nx从第1N项起有0 nx情形.用反证法.若,0lim axnn则由定理3,正整数2N,0 有.0 nx取,max21NNN 时,当Nn 按假定有,0 nx但按定理3有,0 nx矛盾.故必有.0 a数列nx从某项起有0 nx的情形,可以类似地证明.当2Nn 时,定义在数列nx中任意抽取无限多项项在原数列nx中的先后次序,这样得到的一个数列knx称为原数列nx的子数列(或子列).注:knx是knx中的第k项,是原数列nx中第kn项,.knk 定理(收敛数列与其子数列间的关系)如果数列nx收敛于,a那么它的任一子数列

52、也收敛,且极限也是.a并保持这些七、子数列的收敛性注:定理4的逆否命题知,若数列nx有两个子数列收敛于不同的极限,则数列nx是发散的.例如,考察数列,)1(,1,1,11 n其子数列12 kx收敛于1,而子数列2kx收敛于-1,因此数列1)1(nnx),2,1(n是发散的.此例说明:一个发散的数列也可能有收敛的子数列.内容小结1.数列极限的概念理解极限的定义与极限的思想.axnn lim,0,0 N 当Nn 时，.|axn2.N 定义论证方法对,0 找,0 N使当Nn 时，总有.|axn具体运用时，常用分析法倒推:具体运用时，常用分析法倒推:即从|axn出发，将不等式左端变形解出),(n取),

53、(N然后用 定义叙述和下结论.3.数列极限的主要性质有界性，唯一性，保号性，子数列.2.N 定义论证方法再令其,若干步后内容小结作业作业 P40 Ex.1,Ex.2(2),Ex.3,Ex.41.5 函数的极限函数的极限 自变量趋向自变量趋向无穷大无穷大时函数的极限时函数的极限 自变量趋向自变量趋向有限值有限值时函数的极限时函数的极限 函数极限的性质函数极限的性质一、自变量趋向无穷大时函数的极限观察函数xxsin当 x时的变化趋势.问题:如何用数学语言刻画下述过程:定义:设函数)(xf当|x大于某一正数时有定义.如果对任意给定的正数(不论它多么小),总存在着正数,X使得对于满足不等式Xx|的一切

54、,x函数“无限接近”确定值)(xfA.当时,x恒有,|)(|Axf那么常数A就叫函数)(xf当 x时的极限,记作Axfx )(lim或Axf)(当).x注:根据上述定义,可用Axfx )(limX 语言描述如下:,0 “,0 X使得Xx|时,恒有.|)(|Axf”定义的几何解释:单侧极限:x)1(情形:,)(limAxfx 即,0 ,0 X使当Xx 时,恒有.|)(|Axfx)2(情形:,)(limAxfx,0 ,0 X使当Xx 时,恒有.|)(|Axf定理1Axfx )(limAxfx)(lim且.)(limAxfx 即例 1证明.0sinlim xxx证因为0sin xxxxsin,1x,

55、0 于是可取,1 X则当Xx 时,恒有,0sin xx故.0sinlim xxx证毕.例 2用极限定义证明.021lim xx证对于任意给定的,0 要使021 xx 21 只要,12 x即2ln1ln x)1(不妨设不妨设就可以了.因此，对于任意给定的,0 取,2ln1ln X则当Xx 时，021x恒成立.所以.021lim xx注：同理可证：.0lim xxq而当1 q时，.0lim xxq10 q时，当二、自变量趋向有限值时函数的极限问题:如何用数学语言描述下述过程:在0 xx 的过程中,函数)(xf无限趋近于确定值.A定义设函数)(xf在点0 x的某一去心邻域内有定义.若对任意给定的正数

56、(不论它多么小),总存在正数,使当|00 xx时,函数)(xf都满足不等式,|)(|Axf则常数A就称为函数)(xf当0 xx 时的极限.记作Axfxx)(lim0或Axf)(当)0 xx 定义Axfxx)(lim0,0 ,0 使当|00 xx时,恒有.|)(|Axf注意:1.无关;2.与任意给定的正数 有关.定义的几何解释:)(xf在点0 x处是否有定义函数极限与例 4(1)证明CCxx 0lim)(为常数为常数C例 4(2)证明.lim00 xxxx 证,)(0 xxAxf 任给,0 取,当 00 xx时，0)(xxAxf成立，.lim00 xxxx 例 5证明.211lim21 xxx证

57、函数在点1 x处没有定义,Axf)(2112 xx,1 x任给,0 要使,)(Axf只要取,则当 10 x时,就有,2112 xx.211lim21 xxx例 证明:当00 x时,.lim00 xxxx 证Axf)(0 xx 00 xxxx ,00 xxx 任给,0 要使,)(Axf只要 00 xxx 且,0 x则当 00 xx时,就有,0 xx.lim00 xxxx 取 00,minxx,三、左右极限左极限,0 ,0 使当00 xxx 时,恒有.|)(|Axf记作Axfxxxx )(lim)0(00或Axf )0(0右极限,0 ,0 使当 00 xxx时,恒有.|)(|Axf记作Axfxxx

58、x )(lim)0(00或Axf )0(0注意|0|0 xxx.0|0|00 xxxxxx 定理Axfxx)(lim0.)0()0(00Axfxf 例验证xxx0lim不存在.证xxx 0lim)1(limlim00 xxxx;1 xxx 0lim1limlim00 xxxx.1 左右极限存在但不相等.)(lim0 xfx不存在.例 6 设,0,10,)(xxxxxf求).(lim0 xfx解因为)(lim0 xfx)1(lim0 xx,1)(lim0 xfx xx 0lim.0 即有)(lim0 xfx ),(lim0 xfx 所以)(lim0 xfx不存在.例 7设,2121)(11xxx

59、f 求).(lim0 xfx解)(xf在0 x处没有定义,而)(lim00 xfx 1212lim1100 xxx1 )(lim00 xfx xxx11002121lim 1 故)(lim0 xfx不存在.四、函数极限的性质唯一性定理若)(lim0 xfxx存在,则极限唯一.有界性定理若,)(lim0Axfxx 则存在常数0 M和,0 使得当|00 xx时,有.|)(|Mxf 保号性定理若,)(lim0Axfxx 且0 A(或),0 A则,0 使得当|00 xx时,有0)(xf(或).0)(xf推论若,)(lim0Axfxx 且在0 x的某去心邻域内0)(xf(或),0)(xf则0 A(或).

60、0 A五、子序列收敛性定义设在过程ax a(可以是 00,xx或)0 x中有数列nx),(a 使得 n时,axn则称数列)(nxf为函数)(xf当ax 时的子序列.定理若,)(lim0Axfxn 数列)(nxf是)(xf当0 xx 时的一个子序列,则有lim().nnf xA函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是都存在且相等.例如,设.1sinlim0 xxx则,11sinlim nnn,11sinlim nnn.11sin1lim22 nnnnn例如证明xx1sinlim0不存在.它的任何子列的极限证取,1 nxn 2141 nxn且且 ,0lim,0limnnnnxx0 nx0

61、nx,而 nxnnnsinlim1sinlim ,0 214sinlim1sinlim nxnnn1lim n.1 二者不相等,故xx1sinlim0不存在.2.若,0)(xf且.)(limAxf 问：能否保证有0 A的结论？试举例说明.课堂练习1.设函数,0,80,20,1sin)(2 xxxxxxxf试问函数在0 x处的左、右极限是否存在？当0 x时，的极限是否存在？)(xf1.解设函数,0,80,20,1sin)(2 xxxxxxxf试问函数在0 x处的左、右极限是否存在？当0 x时，的极限是否存在？)(xf,8)8(lim)(lim200 xxfxx左极限存在.,01sinlim)(l

62、im00 xxxfxx右极限存在.),(lim)(lim00 xfxfxx )(lim0 xfx不存在.2.若,0)(xf且.)(limAxf 问：能否保证有0 A的结论？试举例说明.解不能保证.例如，设,1)(xxf,0 x有,01)(xxf但.01lim)(limAxxfxx 1.函数极限的概念内容小结Anfn )(limAxfAxfAxfxxx )(lim)(lim)(limAxfAxfAxfxxxxxx )(lim)(lim)(lim000Axf)(lim ,0 时刻，从该时刻以后，恒有|)(|Axf)(xf n xxxNNn Nx|Nx Nx|)(|Axf)(xf|)(|Axf 0

63、xx 0 xx 0 xx|00 xx 00 xx0|0 xx 过 程时 刻过 程时 刻从此时刻以后从此时刻以后内容小结2.)(X 定义论证方法对,0 找（或,0)X使当|00 xx（或)|Xx 时，总有.|)(|Axf具体运用时，常用分析法倒推:即从|)(|Axf出发，将不等式左端变形若干步后再令其,解出)(|0 xx(或),(|x取)(或),(X然后用定义叙述和下结论.内容小结2.)(X 定义论证方法3.函数极限的主要性质函数极限的唯一性局部有界性局部保号性.内容小结作业作业P46Ex.2，Ex.3Ex.4（2）（）（4）1.6 无穷小与无穷大无穷小与无穷大 无穷小无穷小 无穷大无穷大 运算

64、性质运算性质 无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系一、无穷小一、无穷小定义极限为零的变量(函数)称为无穷小.例如:,0sinlim0 xx时的无穷小.函数xsin是当0 x,01lim xx时的无穷小.函数x1是当 x,0)1(lim nnn时的无穷小.函数nn)1(是当 n注意:(1)无穷小是变量,不能与很小的数混淆.(2)零是可以作为无穷小的唯一常数.其中 是给出了函数 在 邻近处的近似表达式:)(xf0 x无穷小与函数极限的关系定理Axfxx)(lim0,)(Axf0 xx 时的无穷小.当注:该定理在后续课程中有重要的应用,其意义在于:(1)(2),)(Axf).(x 误差为将一般极

65、限问题转化为无穷小问题;xxy1sin2 当时0 x例 证根据定义证明：为无穷小.,0 要使,1sin01sin222xxxxx 只须,x 取,时，则当00 x 恒有 01sin2xx.01sinlim20 xxx证毕.二、无穷小的运算性质定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.例如,n1是无穷小,n但个n1之和为1,不是无穷小.时,x定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论1 同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.常数与无穷小的乘积是无穷小.例如 当0 x时,变量,1sinxxxx

66、1arctan2都是无穷小.完例 1解所以,求.sinlimxxx 因为xxxxxxsin1limsinlim 而当 时,xx1是无穷小量,是有界量xsin),1sin(x.0sinlim xxx三、无穷大在某一变化过程中,绝对值无限增大的变量称为无穷大.定义 如果对于任意给定的正数M(不论它多么大)总存在正数(或正数 ),X使对于满足不等式|00 xx(或 )的一切Xx|x所对应的函数值)(xf都满足不等式,|)(|Mxf 则称函数)(xf当0 xx x(或 )时为无穷大,记作 )(lim0 xfxx).)(lim(xfx或或特殊情形:正无穷大,负无穷大:)(lim0 xfxx).)(lim(0 xfxx注意1.不能与很大的数混淆;3.反之不然.无穷大是变量,2.)(lim0 xfxx认为极限存在;切勿将无穷大是一种特殊的无界变量.例 2证,0 证明.11lim1 xx要使,11x 只要,11x ,1 取就有.11x 则当 时,x110 所以.11lim1 xx例 3证但不是无穷大.取 的两个子列：0 xxxy1sin1 是一个无界变量，当 时，0 x,22)(1kxyk 且,221