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1、燕尾定理：在三角形ABC中，AD, BE , CF相交于同一点O，那么S : S= BD : DC.AABO AACO上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为AABO和AACO的形状很象燕子的尾巴，所以这 个定理被称为燕尾定理该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何 一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.通过一道例题证明一下燕尾定理：如右图，D是BC上任意一点，请你说明：S : S = S : S = BD : DC1 4 2 3【解析】三角形BED与三角形CED同高，分别以BD、DC为底，所以有S : S = BD
2、: DC ；三角形ABE与三角形EBD同高，S : S = ED : EA ；三角形ACE与三角形1 4 1 2CED 同高，S : S = ED : EA，所以 S : S = S : S ；综上可得 S : S = S : S = BD : DC .4 3 1 4 2 3 1 4 2 3【例1】（2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形ABC的面积是1，E是AC的中点，点D在BC上，且BD: DC = 1:2，AD与BE交于点F .则四边形DFEC的面积等于.【例2】如图所示，在四边形ABCD中，AB = 3BE，AD = 3AF，四边形AEOF的面积是12，那么平行四边 形 B
3、ODC 的面积为.A【例3】ABCD是边长为12厘米的正方形，E、F分别是AB、BC边的中点，AF与CE交于G，则四边形 AGCD 的面积是平方厘米【例4】如图，正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形BGHF的 面积是平方厘米【例5】如图所示，在AABC中，BE: EC = 3:1，D是AE的中点，那么AF : FC =【例6】（2009年清华附中入学测试题）如图，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、BC上的点，且AE = - AB，CF =丄BC，AF与CE相交于G，若矩形ABCD的面积为120，则AAEG与ACGF的 34面积之和为.【例7】如右图
4、，三角形ABC中，BD: DC = 4:9，CE: EA = 4:3，求AF : FB .【例8】（2008年“学而思杯”六年级数学试题）如右图，三角形ABC中，AF : FB = BD: DC = CE: AE = 3:2且三角形ABC的面积是1，则三角形ABE的面积为，三角形AGE的面积为，三角形 GHI 的面积为C例 9】两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示，三个三角形的面积分别是3， 7 ， 7， 则阴影四边形的面积是多少？例 10】如图，少?三角形ABC被分成6个三角形，已知其中4个三角形的面积，问三角形ABC的面积是多【例11】三角形ABC的面积为15平方厘米，D为
5、AB中点，E为AC中点，F为BC中点，求阴影部分的面积【例12】 如右图， ABC中，G是AC的中点，D、E、F是BC边上的四等分点，AD与BG交于M， AF与BG交于N，已知AABM的面积比四边形FCGN的面积大7.2平方厘米，则AABC的面积是 多少平方厘米？【例13】 如图，三角形ABC的面积是1, BD = DE = EC , CF = FG = GA，三角形ABC被分成9部分, 请写出这9部分的面积各是多少?【例 14】如右图，面积为1的厶ABC 中，BD: DE: EC = 1:2:1 , CF : FG: GA = 1:2:1 , AH : HI: IB = 1:2:1 ,求阴影
6、部分面积【例15】 如图，面积为1的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA的三等分点，求阴 影部分面积.【例16】 如图，面积为1的三角形ABC 中, D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA的三等分点，求中 心六边形面积.【例17】（2009年数学解题能力大赛六年级初试试题）正六边形A , A , A , A , A , A的面积是2009123456平方厘米,B , B ,B , B , B ,B分别是正六边形各边的中点那么图中阴影六边形的面积 平方厘米123456A3【例已知四边形ABCD , CHFG为正方形，绪：匚=1:8，a与b是两个正方形的边长求a :b = ?
第三章第九讲：燕尾定理例题精讲
