理论力学课件：第一章_质点力学

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1、1 一、理论力学的研究对象一、理论力学的研究对象理论力学：理论力学：是研究物体机械运动机械运动一般规律以及物体间的 机械相互作用机械相互作用的一门学科。Introduction绪绪 论论2 机械运动：机械运动：是物体或其各部分在空间的相对位置 随时间的变化。机械相互作用机械相互作用：是指能够改变物体机械运动状态 或物体形状的各种作用描述机械运动的基本量描述机械运动的基本量：质量、时间、位移、力等3 静力学：静力学：运动学：运动学：动力学：动力学：.研究物体在力系作用下的平衡规律，同时也研究力的一般性质和力系的简化方法等。研究物体运动的几何性质，而不研究引起物体运动的原因。研究受力物体的运动变化

2、与作用力之间的关系。二、理论力学的研究内容二、理论力学的研究内容41、抽象化方法、抽象化方法 如质点、刚体等概念2、演绎方法、演绎方法（从公理出发，借助数学工具推理出经典力学的全部推论）如牛顿定律动量定理动量矩定理三、理论力学的研究方法三、理论力学的研究方法5 早在(公元前287212)古希腊阿基米德著的论比重就奠定了静力学基础。意大利的达芬奇(14521519)研究滑动摩擦、平衡、力矩。波兰的哥白尼(14731543)创立宇宙“日心说”。德国的开普勒(15711630)提出行星运动三定律。四、理论力学的发展史四、理论力学的发展史6 意大利的伽利略(15641642)自由落体规律、惯性定律及加

3、速度的概念。英国伟大科学家牛顿(16431727)在1687年版的自然哲学的数学原理一书总其大成，提出动力学的三个基本定律，万有引力定律，天体力学等。是力学奠基人。7 Bernoulli(Swiss,16671748)found the principle of virtual displacements.瑞士的伯努利(16671748)虚位移原理。Euler(Swiss,17071783)published the book Mechanics which used differential equations to study mechanics.瑞士的欧拉(17071783)著作分析力学

4、用微分方程研究。.8 DAlembert(French,17171785)evolved dAlemberts principle法国达朗伯(17171785)名著动力学专论达朗伯原理。Lagrange(French,17361813)brought forward the lagrange equations of the second kind.法国拉格朗日(17361813)提出第二类拉格朗日方程。9五、理论力学的适用范围五、理论力学的适用范围1.物体运动的速度远少于光速物体运动的速度远少于光速2.宏观物体（天体宏观物体（天体-原子）原子）作用量作用量=能量能量x时间时间h=6.602X

5、10(-34)（JS）10参考书v费恩曼（Feynman)：物理学讲义.第一卷）vH.戈德斯坦（美）：经典力学v郭士堃：理论力学上、下册v汪家訸：分析力学v理论物理习题集111213 计算系统计算系统=坐标系坐标系+时间时间14运动方程：物体的运动位置随时间的变化关系运动方程：物体的运动位置随时间的变化关系 )(trr具体一般选择直角坐标系、极坐标系具体一般选择直角坐标系、极坐标系和自然坐标系来描述具体问题和自然坐标系来描述具体问题)()()(tzztyytxx直角坐标系15从从运动方程运动方程中消去时间中消去时间 t，就得到，就得到轨迹方程轨迹方程 f(x,y,z)=0。)(tfs)(),(

6、ttrr16设质点作曲线运动设质点作曲线运动t时刻位于时刻位于A点，位矢点，位矢 ，t+t时刻位于时刻位于B点，位矢。点，位矢。ArBr(Displacement,velocity and acceleration)ABrrrAB1710smdtrdtrvtlim速度的大小：速度的大小：dtrddtrddtrd?18220limdtrddtvdtvat加速度的大小和方向？极限定义法19k zj yi xrkvjvivkzj yi xdtrdvzyx222zyxvvvvzvyvxvzyx20kajaiakzj yi xazyx 222zyxaaaazayaxazyx 加速度加速度分量为分量为：2

7、12223ijjjiittttddddddddddddirr（指向极角的 增加方向）径向单位矢量：径向单位矢量：横向单位矢量：横向单位矢量：jidtidiirvrrrttdddd24jrirv)(ddddjri rttvairjrjrjri r 2jrrirr )2()(2rvrvr25jrrirra )2()(2 rrarrar2226kzrRkzjri rRvkzjrrirra )2()(227例小船例小船M M被水冲走后，用一绳将它拉回岸边被水冲走后，用一绳将它拉回岸边A A点。假定水流点。假定水流速度速度C C1 1沿河岸不变，而拉绳子的速度为沿河岸不变，而拉绳子的速度为C C2 2。

8、如果小船可以看作一。如果小船可以看作一个质点，求小船的轨迹。个质点，求小船的轨迹。2829bterct,30(Natural Coordinate System)ji 是切线方向与ox轴的夹角)(srr（曲线弧长s为坐标变量）31itsdtdsdsrdtddddrvsv速度大小：速度方向速度方向为曲线的切线方向，是S 增加的方向32jdtdsdsdidtsddti ddtdsidtsddtvda22222)(jdtdsdsddtid22,svasdtdvan 1330dds因为ds0,所以要求d0弧坐标具有以下弧坐标具有以下要素：要素：1、有、有坐标原点坐标原点(一般在轨迹上一般在轨迹上任选一

9、参考点作为坐标原点任选一参考点作为坐标原点)2、一般以点的运动方向作为正、一般以点的运动方向作为正向向3、有相应的、有相应的坐标系坐标系(自然轴系自然轴系)(tfs 弧坐标运动方程：弧坐标运动方程：（动点沿轨迹的运动方程）（动点沿轨迹的运动方程）34i dji djnj i jOsculation plane 35bjibijbjvidtvda02 i j36tztytx44242,cos,sin,av37解：如图解：如图,平抛物体的运动方程为：平抛物体的运动方程为：tvx0221gty 则，速率则，速率222022tgvyxv切向加速度切向加速度 22202tgvtgdtdva 加速度大小加

10、速度大小gyxa22 由法向加速度由法向加速度 222vaaanxyO0v),(yx38pxy22pp,2unkaa239amF40第一定律的说明：第一定律的说明：41aFm引力质量与惯性质量的关系万有引力定律中反映物体间引力的属性gimm 42惯性参照系：惯性参照系：伽利略相对性原理伽利略相对性原理如：太阳-恒星43伽利略相对性原理的重要性在于伽利略相对性原理的重要性在于:22mvT 22mvT 442 2、伽利略变换、伽利略变换ttt vrr那么，那么，加速度对伽利略变换是不变的加速度对伽利略变换是不变的：amFamFamFrrtVSS45),(trrFF),(trrFrm 主动力主动力被

11、动力被动力46限制质点某方面运动的曲线或曲面称为限制质点某方面运动的曲线或曲面称为约束约束，这，这些曲线或曲面的方程称为些曲线或曲面的方程称为约束方程约束方程或或约束条件约束条件。约束反作用力约束反作用力47约束反作用力的特点：约束反作用力的特点：一般是未知的；不完全决一般是未知的；不完全决定于约束本身（可能与质点运动状态及质点受到的其定于约束本身（可能与质点运动状态及质点受到的其他力有关；约束反作用力不能单独改变质点的运动）。他力有关；约束反作用力不能单独改变质点的运动）。约束反作用力常称为约束反作用力常称为“被动力被动力”或或“约束力约束力”，不是约，不是约束的力则称为束的力则称为“主动力

12、主动力”。48初始条件：初始条件：zyxvzvyvxzzyyxxt000000,0时49bbnnRFRFvmRFdtdvm02对于光滑约束，0R501、从力方面考虑。使力尽量少分解、从力方面考虑。使力尽量少分解2、从运动轨道方面考虑、从运动轨道方面考虑A:直线运动-直角坐标系B:有既定轨道的约束运动-自然坐标系C:二次曲线型轨道运动-极坐标系51已知力求运动已知力求运动1、力仅是时间的函数，、力仅是时间的函数，。ktFjtFitFFzyx)()()(（）),()2(),()1(),(tFzmtFymtFxmzyx xttxvmtdttFmx0)()(10000)(1xtvdttmxxtt525

13、3545556因此，任何入射到电离层的电磁波都可以反射回到地面；当1时e0，即，微波可以通过电离层。572.力仅是速度的函数力仅是速度的函数F=F(v)-抛射体在空中的运动抛射体在空中的运动j)(vRR,dsdvvdtdsdsdvdtdvddsdds（1,2）(1)/(2)cossin)(1mgmgvRddvvdvmgdvvRdvsin)(coscos,sin)(2mgvmmgvRdtdvm（1）（2）58mgdvvRdvdv)(sincosmgdvvRvd)()cos(mgdKvvdn1)cos(11cos)cos()cos(nnmgdvKvd)(fv gfgvddsdsdxddx22)(c

14、osgtgfgtgvddsdsdyddy22)(sincos)(cosgfgvvddsdsdtddt)()()(ttyyxx5960y6162633.力仅是坐标的函数力仅是坐标的函数F=F(x),振动问题振动问题1)一维谐振动：一维谐振动：2)三维谐振动：三维谐振动：4 4.力是位置、速度和时间的函数（如阻尼受迫振动）力是位置、速度和时间的函数（如阻尼受迫振动）:64归纳步骤：归纳步骤：65若若Rgmkgx 0kktec1kgchxxt1,0,0得若选择的坐标原点在离地面若选择的坐标原点在离地面h处，方向向下，运动微分方程又如何？处，方向向下，运动微分方程又如何？66Rgmyo67dykvgv

15、dv2Hvdykvgvdv0020Rgmyo68222kmvmgdtydmdydvvdtyd22dykvgvdv2002HvdykvgvdvmgkvgkHm221Rgmyo69ozyxkBBjEE00000zyxiVv,707172737475 解：各质点受力如图，解：各质点受力如图，ox1，ox2为惯为惯性系，性系，ox3为非惯性系为非惯性系,TTT21TTT217612xx 77amgxTTmg322333Tamgxmgxm ag34 787980811.质点在恒力作用下沿曲线运动质点在恒力作用下沿曲线运动力的空间空间累积效应：功（力位移）力的时间时间累积效应：冲量（力时间）rABF822

16、.质点受变力沿曲线运动质点受变力沿曲线运动833.若质点受几个力若质点受几个力F1，F2，Fn作用作用,合力合力4.功率功率84说明说明：v当物体不是质点时，力对物体所做的元功应看成是当物体不是质点时，力对物体所做的元功应看成是力与力的作用点的元位移的标积。（如轮子在粗糙力与力的作用点的元位移的标积。（如轮子在粗糙水平面上做纯滚动）水平面上做纯滚动）v当力的作用点不断地发生变迁时，且又没有元位移，当力的作用点不断地发生变迁时，且又没有元位移，则此力对物体不做功（如静摩擦力）。则此力对物体不做功（如静摩擦力）。v对不同的惯性系，作用点的位移可能不同，因此力对不同的惯性系，作用点的位移可能不同，因

17、此力所做的功也不相同。所做的功也不相同。1F2FBccBrFrF112851.力场力场),(trrFF单值单值有界有界可微可微力场力场场力场力非稳定场非稳定场862.保守力场保守力场如：摩擦力与路径有关耗散能量耗散力耗散力).,(),(),(,),(AAABBBBABAzyBAxzyxUzyxUWzyxdUWzyxUddzFdyFdxFW87力883.保守力的判据保守力的判据因为与路径无关只与始末位置有关，因为与路径无关只与始末位置有关，dzFdyFdxFWzyABx必存在一可微函数必存在一可微函数V使得使得89dzzVdyyVdxxVdVdzFdyFdxFzyx0 xFyFyx0,0yFzF

18、xFzFzyzxxyVyxVxFxyVyFyx222,90BACD0SlSdFl dF(b).从保守力的定义出发，寻求dU全微分；(c).沿任何闭合曲线运动，力所做的功为零。0rdFs91dVrdFWrdFVVBAAB函数函数V(x,y,z)称为质点在点称为质点在点P(x,y,z)的的势能势能。势能的物理意义：势能的物理意义：VF92011,011,022zFyFxFzFxFyFyzzxyx93941.有心力有心力运动质点受力的作用线始终通过某一定点，该力为运动质点受力的作用线始终通过某一定点，该力为有心有心力力，该点叫，该点叫力心力心。凡力趋向力心的是。凡力趋向力心的是引力引力，离开定点的是

19、，离开定点的是斥力斥力有心力的量值一般为有心力的量值一般为r的函数，的函数，rrrFFr)(0)(rFr0)(rFr95a).对力心的力矩0M2.2.基本性质基本性质CJ质点必在垂直于质点必在垂直于J的平面运动。的平面运动。2121)()()()(rrrrBABArUddrrFjrdidrrrrFrdFJv A r b).对力心的动量矩c).一般情况下，有心力只是位置的函数所以F为保守力。96也可以从也可以从 判断有心力为保守力判断有心力为保守力 idrrdVVF)(kFrFrFFrrkjiFrr)1(00100 rFF,0 Fd).机械能守恒ErVmv)(212971)直角坐标系下直角坐标系

20、下 ryrFymrxrFxm)()(以力心为原点以力心为原点,质点的运动平面为质点的运动平面为xy平面，则质点的运动平面，则质点的运动微分方程为微分方程为22yxr3.运动微分方程运动微分方程982)平面极坐标系下平面极坐标系下022 FrrmrFFrrmr)()()(012 rdtdrmkmrjri rimrvrm 2物理意义物理意义:动量矩守恒动量矩守恒kmh993).基本定理ErVmv)(212CJkmrjri rimrvrm 2hrErVrrm222221)(100hrErmkrrm2222221)(Ermkrhrm222221)(101解决有心力问题的两个基本方程组（出发点）解决有心

21、力问题的两个基本方程组（出发点）:hrErVrrm222221)(hrFrrmr 22102(目的目的:从运动方程中消去从运动方程中消去t)原则上可消去原则上可消去t得轨道，得轨道，r=r(t)，=(t)，但，但也可直接求也可直接求r=r()。hr 2,ru1 mJh ,hu2 103dtduddudtddtdrr )1(12hu dduhdduu212222)()(duduhdtddduddhdduhdtddtrdr )()(2rFrrm ,ru1 104(1).F(u)o 时，斥力；时，斥力；F(u)0 时，为引力时，为引力(与反方向与反方向)r(2).由比耐公式可求解由比耐公式可求解)(

22、)()()();()()()(rFuFurrrruuFrF(a)求轨道方程：求轨道方程：(b)求有心力求有心力：(3).从机械能守恒方程给出轨道微分方程：从机械能守恒方程给出轨道微分方程：EuVuddumh)()(21222参考：大学物理1990年，NO.41051.用比耐公式求解用比耐公式求解22222umkrmkrGMmF高斯常数高斯常数muFududuh)()(2222 代入代入 比耐公式比耐公式:1062222hkudud(二阶常系数非齐次方程，）二阶常系数非齐次方程，）i 2202221)(hkcosAhkececuii 令令:,ApkhAe,khp002222 107,ApkhAe

23、,khp002222 108 e 1，双曲线。，双曲线。1ace2)(1abe )1()1(20 eaerp）(222得得由由cba1rca1dF 准准 线线0r111 斥力情况斥力情况:)1()1()()1(20 eaecaerp12 coseprr1rca1dF 准准 线线2d2r0r1122.运用第二组方程求解运用第二组方程求解hr 2rdrdVVFrmkdrmrkrdFVrr222)(,22hrddrrhddrdtdrr Ermkrrm222221)(113代入得：Erkrhddrrhm)2)(2122224222222hrkrmErhdrd02422123/8422sinmEhkrh

24、rk114可解得可解得:2221khmEe，椭圆，椭圆抛物线抛物线双曲线双曲线 cosepr1可见，可见，能量能量E为轨道类别的判据为轨道类别的判据。1151.开普勒三大定律开普勒三大定律11622kph 1172.从开普勒定律到万有引力定律从开普勒定律到万有引力定律(历史的发展途径如此历史的发展途径如此)20021)(21(1rrrttAdtdAtt)limlim 222mrrA118 cospepru11据第一定律，由据第一定律，由 cosepur 11222222dd rmphuuumhF 代入比耐公式，得代入比耐公式，得119ph2hrA 22 002hdtdAab hab 2代入第三

25、定律代入第三定律:,222322223244Cahbahbaa 12022 kChp即即peaacacaaab22222111,222223222232444Chpahbahbaa karmkF23222 121GMk 高斯常数高斯常数122VFrdrrmk22rdrrFrV)()(由有心力基本运动方程：由有心力基本运动方程：hrErVrrm222221)()(用于平方反比引力时，可改写为用于平方反比引力时，可改写为123)(ear10r amkeamkeaeamkrmkrmhE211212222222222)()()(Ermkrhrm222221)(arcbeadF B Bp1240r qr

26、 qp2qmkqmhE2222)(qkh222022222qmkqqmkE)(rq2qdF 准准 线线125)(1ear0r amkE221rca1dF 准准 线线2d2r0r126mghrMmGhrvmraamkrmkmv222221)(21211270212Ermkmv22skmvv/.211212),:(qprer210近近日日点点处处2122vgrrkv2222128GrMmmvrGMmmv2222121,skmrMrMvv/.42234003334002112129skmvvv/123042公公转转初初,223初初mvrmkmv2121222221mvrmkskmvvv/.51612

27、211222223初初天体力学天体力学1301.讨论产生圆形轨道运动的条件：讨论产生圆形轨道运动的条件：mFududuh)(222232uuPh)(mFuP-)(1312.讨论稳定性：讨论稳定性：0uu0hhuhmuFuP)()(0030020uuPh)(202000uhuPu)(1320uu2020022)()(uhuPudd000PPuP)()()(02020211uPuuh13300uududPP403020020543211)()()()(uuuuu)()()(0002022020211PPuuhuhuP)(0002020121uPPuhP000PPuP)(13400000020201

28、321PPuuPPuhPC)(2C01C01C01C2111cos()sin()CACBCC2111cosh()sinh()CACBCC)(BAC22212122CCdd13501C01u12nunkdudPPunukunkPPnn212nnukrkP22136nPPu3n137七、七、粒子散射粒子散射粒子：两个质子两个中子，氦核，2e电荷r：粒子与核间距，：散射角，：瞄准距离返回138与Ze间是斥力轨道是双曲线的一支2222241ukrkrZeF0212rkmvE见图实验结果：，找出找出 与与 的关系的关系2222)(ukududmhu由比耐公式：222)(mhkudud139由初始条件可确

29、定A、B，,0,ur2mhkA2sincosmhkBAu)cos1(sin12mhku把0,ur代入上式，得kmhctg22角动量守恒，得 与与 的关系：的关系：2222ctgEkctgmvk,)sincos1(1,sin2Bmhkryy得，1,By得，再次利用初条件，最后：140与实验结果比较定义：n 入射粒子束单位时间内通过 垂直于粒子束的单位截面积 的粒子数。dN 单位时间内在d内散射的粒子数散射截面ndNddndN2dd 2dddd)(2141卢瑟福公式卢瑟福公式 1911年，由卢瑟福首先导出，1913年由盖革马士登实验验证，与量子力学推出的结果一致。dmvkd)2(sinsin2)(4142