复变函数第8讲

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1、1复变函数复变函数第第8讲讲本文件可从网址http:/上下载2第四章 级数1 复数项级数31.复数列的极限 设an(n=1,2,.)为一复数列,其中an=an+ibn,又设a=a+ib为一确定的复数.如果任意给定e0,相应地能找到一个正数N(e),使|an-a|N时成立,则a称为复数列an当n时的极限,记作aannlim此时也称复数列an收敛于a.4定理一 复数列an(n=1,2,.)收敛于a的充要条件是bbaannnnlim,lim.lim,lim|)()(|)()(|bbaabbiaaaaibaibannnnnnnnn-同理所以则ee证 如果 ,则对于任意给定的e0,就能找到一个正数N,当

2、nN时,aannlim5反之,如果.lim|)()(|2|,2|,lim,limaaeaaeee-nnnnnnnnnnnnnbbaabbiaabbaaNnNbbaa所以从而有时当存在则任给62.级数概念 设an=an+ibn(n=1,2,.)为一复数列,表达式nnnaaaa211.,.lim,11发散称为则级数不收敛如果数列为级数的和称并且极限收敛称为则级数nnnnnnnsssaa称为无穷级数,其最前面n项的和sn=a1+a2+.+an称为级数的部分和.如果部分和数列sn收敛,7定理二 级数 收敛的充要条件是级数 和 都收敛证 因sn=a1+a2+.+an=(a1+a2+.+an)+i(b1+

3、b2+.+bn)=sn+itn,其中sn=a1+a2+.+an,tn=b1+b2+.+bn分别为 和 的部分和,由定理一,sn有极限存在的充要条件是sn和tn的极限存在,即级数 和 都收敛.1nna1nna1nnb1nna1nnb1nna1nnb8定理二将复数项级数的审敛问题转化为实数项级数的审敛问题.0lim,0lim,0lim0lim111nnnnnnnnnnnnnnbabaaaa收敛的必要条件是从而推出复数项级数立即可得和收敛的必要条件和而由实数项级数9定理三成立且不等式也收敛则收敛如果1111|,|nnnnnnnnaaaa22221221|,|,|nnnnnnnnnnnbabbaaba

4、a而由于证1011111111111|limlim,|.,|kkkknkknnkknnkknkknnnnnnnnnnbabaaaaaaaa或因此而又因是收敛的则也都收敛和因而都收敛及可知级数11.,|11条件收敛级数称为非绝对收敛的收敛级数绝对收敛则称级数收敛如果nnnnaa12.,|,|1111111112222绝对收敛与绝对收敛的充要条件是因此收敛也绝对绝对收敛时与所以当因此由于nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnbabababababaaa13另外,因为 的各项都是非负的实数,所以它的收敛也可用正项级数的判定法来判定.1|nna14例1 下列数列是否收敛?如果收敛,求出其极限.

5、11)1;2)cosinnneninnaa15解 1)因1111cossin111cos,1sin.lim1,lim011lim1.innnnnnnninnneinnnnabnnnnabenaa数列收敛,且有162)由于 an=n cos in=n ch n,因此,当n时,an.所以an发散.17例2 下列级数是否收敛?是否绝对收敛?10111)1;(8)2);!(1)13)2nnnnnninninin-18解 1)因 发散收敛故原级数发散.111nnnan2111nnnbn192)因 ,由正项级数的比值审敛法知 收敛,故原级数收敛,且为绝对收敛.(8)8!nninn18!nnn203)因 收

6、敛;也收敛,故原级数收敛.但因为条件收敛,所以原级数非绝对收敛.1(1)nnn-112nn1(1)nnn-212 幂级数221.幂级数的概念 设fn(z)(n=1,2,.)为一复变函数序列,其中各项在区域D内有定义.表达式)1.2.4()()()()(211zfzfzfzfnnn称为复变函数项级数.最前面n项的和sn(z)=f1(z)+f2(z)+.+fn(z)称为这级数的部分和.23存在,则称复变函数项级数(4.2.1)在z0收敛,而s(z0)称为它的和.如果级数在D内处处收敛,则它的和一定是z的一个函数s(z):s(z)=f1(z)+f2(z)+.+fn(z)+.s(z)称为级数 的和函数

7、如果对于D内的某一点z0,极限)()(lim00zszsnn1)(nnzf24这种级数称为幂级数.如果令z-a=z,则(4.2.2)成为 ,这是(4.2.3)的形式,为了方便,今后常就(4.2.3)讨论当fn(z)=cn-1(z-a)n-1或fn(z)=cn-1zn-1时,就得到函数项级数的特殊情形:)3.2.4()2.2.4()()()()(2210022100-nnnnnnnnnnzczczcczcazcazcazccazc或0nnncz25定理一(阿贝尔Abel定理).,|,|,)0(00000级数必发散的则对满足级数发散如果在级数必绝对收敛的则对满足收敛在如果级数zzzzzzzzzzz

8、cnnnz0 xyO26证nnnnnnnnnnnnnnMqzzzczcqzzzzMzcnMzczc00000000|,1|,|,0lim,而则如果有使对所有的则存在则收敛因27.|,1|000000是绝对收敛的从而级数亦收敛因此故收敛的等比级数为公比小于由于nnnnnnnnnnnnnnnnzcMqzcMqMqzzzczc28发散因此只能是矛盾与所设收敛前面的结论可导出则根据反而收敛设级数用反证法且如果发散如果级数0000000.,|,nnnnnnnnnnnnzczczczzzc292.收敛圆和收敛半径 利用阿贝尔定理,可以定出幂级数的收敛范围,对一个幂级数来说,它的收敛情况不外乎三种:i)对所

9、有的正实数都是收敛的.这时,根据阿贝尔定理可知级数在复平面内处处绝对收敛.ii)对所有的正实数除z=0外都是发散的.这时,级数在复平面内除原点外处处发散.iii)既存在使级数收敛的正实数,也存在使级数发散的正实数.设z=a(正实数)时,级数收敛,z=b(正实数)时,级数发散.30显然ab,将收敛域染成红色,发散域为蓝色.RCROabCaCbxy31当a由小逐渐变大时,Ca必定逐渐接近一个以原点为中心,R为半径的圆周CR.在CR的内部都是红色,外部都是蓝色.这个红蓝两色的分界圆周CR称为幂级数的收敛圆.在收敛圆的外部,级数发散.收敛圆的内部,级数绝对收敛.收敛圆的半径R称为收敛半径.所以幂级数(

10、4.2.3)的收敛范围是以原点为中心的圆域.对幂级数(4.2.2)来说,收敛范围是以z=a为中心的圆域.在收敛圆上是否收敛,则不一定.32例1 求幂级数nnnzzzz201)1(,1112-zzzzzzsnnn的收敛范围与和函数.解 级数实际上是等比级数,部分和为33-nnnnnnnnnnnzzzzzznzzzzzszzzzzzzzs212111,1|.,1|,11,1|,11lim,0lim,1|)1(,111并有在此范围内绝对收敛收敛范围为级数发散不趋于零时由于时当和函数为收敛时级数即从而有由于时当343.收敛半径的求法353637383940例2 求下列幂级数的收敛半径414243444

11、.幂级数的运算和性质 象实变幂级数一样,复变幂级数也能进行有理运算.设2010,)(,)(rRzbzgrRzazfnnnnnn在以原点为中心,r1,r2中较小的一个为半径的圆内,这两个幂级数可以象多项式那样进行相加,相减,相乘,所得到的幂级数的和函数分别就是f(z)与g(z)的和,差与积.45),min(.|)()()(,|,)()()(210011000000rrRRzzbababazbzazgzfRzzbazbzazgzfnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn-46更为重要的是代换(复合)运算.)()(,|,|)(|)(|,)(,|00nnnnnnzgazgfRzrzgzgRzzazfrz时则当解析且满足内又设在时如果当这个代换运算,在把函数展开成幂级数时,有着广泛的应用.4748Oxyab当|z-a|b-a|=R时级数收敛49503)f(z)在收敛圆内可以逐项积分,即010()d()d,|()d()1nnnCCznnanf zzczazCzaRcfzanzz-或51作业 第四章习题 第141页开始第1题 第6题1),2),3),4)小题