二次根式单元测试题

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1、2 2 ( )2( )21 2 一、选择题1下列计算正确的是（ ）A(-5)5 B4 y2yC82a=2 aaD 2 + 3 =52下列计算，正确的是（ ）A2 + 3 = 5B2 + 3 =2 3 C 8 -2 2 =0D5 -1 =03下列计算正确的是（ ）A 4 =2B(-3)=-3C - 5=5D - 3=-34下列计算正确的是（ ）A 2 3 = 6B 2 + 3 = 5C 8 =4 2D 4 2 = 25已知 x 3 2 ，x 3 2 ，则 xx等于( )A8B9C10D116下列计算正确的是（ ）A 3 + 2 =5B 2 + 2 =2 2C2 6 - 5 =1D 8 - 2 =

2、27在实数范围内，若2 xx +2有意义，则 x 的取值范围是（ ）Ax28化简 x -1xBx -2 Cx 0 ，则二次根式 x -yx 2化简的结果为_19使式子3 -xx +2有意义的 的取值范围是_20若 a、b 都是有理数，且 a2-2 ab +2b2+4 a +8 =0 ，则 ab =_三、解答题 x y y x21若 x，y 为实数，且 y 1 -4 x 4 x -1 12求x y x y +2 + -2 + 的y x y x值【答案】 2【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于 0 可知：14x0 且 4x10，解得 x=14，此时y=12即可代入求解【详解】1-4x 0

3、解：要使 y 有意义，必须 ，即 4 x -1 0x x 14141 1 1 x 当 x 时，y 4 4 2又x y x y +2 + -2 +y x y x x +yyx2 2 - |xy+y x y| -x y x|1 1x ，y ，4 2xyy x 原式xy+y yx x+x x2y y11 1 4当 x ，y 时，原式2 24 2 12【点睛】主要考查了二次根式的意义和性质概念：式子 a （a0）叫二次根式性质：二次根式 中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义22（1）发现1 1 1 1 1 2 1 1 3 - = ； - = ； - =2 4 2 3 9 3 4 16 4；写出

4、 ； ；（2）归纳与猜想如果 n 为正整数，用含 n 的式子表示这个运算规律； （3）证明这个猜想【答案】（1）1 1 4 2 1 1 5 - = = ， - =5 25 5 5 6 36 6；（2）1 1- =n n2n -1n；（3）2 ( )证明见解析.【解析】【分析】(1)根据题目中的例子直接写出结果；(2)根据(1)中的特例，可以写出相应的猜想；(3)根据(2)中的猜想，对等号左边的式子进行化简，即可得到等号右边的式子，从而可以解 答本题.【详解】解：（1）由例子可得，为：1 1 4 2 1 1 5 - = = ， - = ，5 25 5 5 6 36 6（2）如果 n 为正整数，用

5、含 n 的式子表示这个运算规律：1 1-n n 2=n -1n，（3）证明：n 是正整数，1 1 n -1 n -1 - = = n n 2 n 2 n1 1即=-n n 2故答案为(1)n -1n1 1 4 2- = = ，5 25 5 51 1 5 1 1 - = ；(2) -6 36 6 n n=n -1n；(3)证明见解析.【点睛】本题考查了二次根式的混合运算、数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，找出所求 问题需要的条件.23先化简，再求值： a - a 2 -2a +1，其中 a=1- 3 【答案】2a-1，1-2 3【分析】先根据二次根式的性质进行化简，再代入求值即可 【详解】

6、a =1 - 3 解： 原式= a -a -1=2a -1当 a =1 - 3 时 原式= 2 1 - 3 -1= 1 -2 3【点睛】此题主要考查化简求值，正确理解二次根式的性质是解题关键 ( )2) ( )24计算下列各题（1） 1 2 12 -6 2 33（2） ( 5 + 3) ( 5 - 3) -(2 3 - 2)2【答案】(1)1;(2) -12+4 6 【分析】(1)先把二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除法运算即可； (2)利用完全平方公式和平方差公式展开，然后再进行合并即可.【详解】(1)原式=(4 3 -2 3 )2 3=2 3 2 3=1；(2)原

7、式=5-3-(12-4 6 +2)=2-14+4 6=-12+4 6 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式混合运算的运算顺序以及运算法则是 解题的关键.25在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如532 2， ， 一样的式子，其实我 3 3 +1们还可以将其进一步化简：5 5 3 5 3 2 2 3 6 = = ， = =3 3 3 3 3 3 3 3，2 2 ( 3 -1) 2 ( 3 -1) = =3 +1 ( 3 +1)( 3 -1) ( 3) 2 -12= 3 -1；以上这种化简的步骤叫做分母有理化.23 +1还可以用以下方法化简：2 3 -1= = 3 +1 3 +1

8、3 -123 +1=(3 +1 3 -1 3 +1= 3 -1（1）请用不同的方法化简25 + 3；（2）化简：1 1 1+ + + 3 +1 5 + 2 7 + 5+12n +1 + 2n-1.【答案】（1） 5 - 3 ；（2）2 n +1 -1 2.【解析】试题分析：（1）分式的分子和分母都乘以 5 - 3 ，即可求出答案；把 2 看出 5-3，根据 平方差公式分解因式，最后进进约分即可（2）先每一个二次根式分母有理化，再分母不变，分子相加，最后合并即可试题解析：（1）2 2( 5 - 3)= = 5 - 3 5 + 3 ( 5 + 3)( 5 - 3)2 5 -3 ( 5 + 3)(

9、5 - 3) = =5 + 3 5 + 3 5 + 3= 5 - 3；（2）原式=3 -1 + 5 - 3 + 7 - 5 +2+ 2 n +1 - 2 n -1=2 n +1 -1 2.考点：分母有理化26计算：（1）（ 8 2 ）12（2）化简 a2-4a +4|a1|，其中 1a 2 【答案】（1）1；（2）1【分析】（1）根据二次根式的乘法法则计算；（2）由二次根式的非负性，a 的取值范围进行化简 【详解】解：（1）（ 8 2 ）（2）1a 2 ，12 4 1211原式 (a-2) 2a12aa11【点睛】本题考查二次根式的性质、二次根式的乘法法则，主要检验学生的计算能力27计算： 1

10、8 - 8 - 2 +( -1)2020【答案】1【分析】先计算乘方，再化简二次根式求解即可【详解】2 解： 18 - 8 - 2 +( -1)2020=3 2 -2 2 - 2 +1=1【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，先把二次根式化为最简二次根式，再合并即可28计算：（1）(-3)-(5-1)01+( )2-2（2） 24 2 + 27【答案】（1）12；（2） 5 3【分析】（1）按照负整数指数幂、0 指数幂、乘方的运算法则计算即可；（2）根据二次根式的加减乘除运算法则计算即可【详解】（1）解：原式 91412（2） 解：原式 12+3 3 2 3+3 3=5 3【点睛】本题考查负整

11、数指数幂、0 指数幂、乘方以及二次根式的运算法则，熟练掌握二次根式的 化简是关键【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题1C解析：C【分析】根据二次根式的性质对 A、B 进行判断；利用分母有理化对 C 进行判断；利用二次根式的 加减法对 D 进行判断【详解】解：A、原式5，所以 A 选项错误；B、原式2 y ，所以 B 选项错误；C、原式2 2 2 a=2 a a，所以 C 选项正确；D、 2 与 3 不能合并，所以 D 选项错误 故选：C【点睛】本题主要考查了二次根式的性质以及合并同类项法则，正确化简各式是解题的关键 2C解析：C【分析】A、B、C、根据合并同类二次根式的法则即可判定

12、；D、利用根式的运算法则计算即可判定【详解】解：A、B、D 不是同类二次根式，不能合并，故选项不符合题意；C、 8 -2 2 =2 2 -2 2=0 ，故选项正确故选：C【点睛】此题主要考查二次根式的运算，应熟练掌握各种运算法则，且准确计算3C解析：C【分析】直接利用二次根式的性质分别求解，即可得出答案【详解】解：A 选项： 4=2 ，故 A 选项错误；B 选项： (-3)2=3 ，故 B 选项错误；C 选项： (- 5) D 选项： (- 3)22=5=3，故 C 选项正确；，故 D 选项错误，故选：C【点睛】此题主要考查了二次根式的性质，正确求解二次根式是解题的关键 4A解析：A【解析】分

13、析：根据二次根式的加、减、乘、除的法则计算逐一验证即可.详解：A.2 3 = 6 , 此选项正确;B.C.D.2 + 3 5 ,此选项错误;8 =2 2 , 此选项错误;4 2 =2- 2 ，此选项错误.故选 A.点睛：本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键. 5C解析：C( )( )= 2 3【详解】x +x = 3 + 2 + 3 - 2 =2 3 1 2，x x =1 23 + 2 3 - 2 =3 -2 =1，所以 x 2 +x 2 =(x+x1 2 1 2)2-2 x x1 2( )2-2 1 =12 -2 =10，故选：C 【点睛】对于形如x 21+x22

14、的式子，改变其中两个字母的位置后，并不改变代数式的值，通常将具有1 1 x x这个特点的代数式称为轮换对称式，如 + ， 1 + 2x x x x1 2 2 1，x -x1 2等，轮换对称式都可以用x +x ， x x 1 2 1 2来表示，所以求轮换对称式的值，一般是先将式子用x +x ， x x 1 2 1 2来表示，然后再整体代入计算6D解析：D【分析】直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案 【详解】解：A、3+ 2无法计算，故此选项错误；B、2+2 无法计算，故此选项错误；C、2 6 5 ，无法计算，故此选项错误；D、 8 2 2 ，正确故选：D【点睛】此题主要考查了二次根式的加减

15、运算，正确掌握相关运算法则是解题关键 7B解析：B【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，且分母不能为零，可得答案【详解】由2 xx +2有意义，得：x +2 0，解得：x -2故选：B【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数，分母不能为零得出不等式是解题关键8C解析：C【解析】根据二次根式有意义的条件可知1x0，求得 x0，然后根据二次根式的化简，可得 x-1 1= x 2 - x x= -x .故选 C9D解析：D【解析】【分析】根据等腰直 ABC 被直线 a 和 b 所截的图形分为三种情况讨论：当 0x1 时，y 是 BM+BD；当 1x2 时，y 是 CP+CQ+M

16、N；当 2x3 时，yAN+AF，分别用 x 表示出这 三种情况下 y 的函数式，然后对照选项进行选择【详解】当 0 x1 时，如图 1 所示此时 BMx，则 DMx，在 BMD 中，利用勾股定理得 BD 2 x，所以等腰直 ABC 的边位于直线 a，b 之间部分的长度和为 yBM+BD（ 2 +1）x，是 一次函数，当 x1 时，B 点到达 N 点，y 2 +1；当 1x2 时，如图 2 所示， CPQ 是直角三角形，此时 yCP+CQ+MN 2 +1 即当 1x2 时，y 的值不变是 2 +1p 当 2x3 时，如图 3 所示，此 AFN 是等腰直角三角形，AN3x，则 AF 2 （3x）

17、，yAN+AF（12 ）x+3+32 ，是一次函数，当 x3 时，y0综上所述只有 D 答案符合要求故选：D【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象，解题的方法是动中找静，在不同的情况下找到 y 与 x 的函数式10A解析：A【分析】利用阅读材料，先计算出 的值，然后根据海伦公式计算 【详解】a =7 ， b =5 ， c =6 5 +6 +7 p = =9，2DABC的面积；DABC 的面积 S = 9 (9-5)(9-6)(9-7)=66；故选 A【点睛】考查了二次根式的应用，解题的关键是代入后正确的运算，难度不大二、填空题11【分析】根据被开方数大于等于零，可得出，再根据二次根式的性质进行

18、计算即可【详解】解：，故答案为：【点睛】本题考查的知识点是二次根式的性质与化简，掌握二次根式的基本性质解析：-aa【分析】根据被开方数大于等于零，可得出 a 0 ，再根据二次根式的性质进行计算即可 【详解】解：-1a 30， a 0 ， a -1a 3=- a21 1 (- ) =- - =a 3 a-aa故答案为：-aa【点睛】本题考查的知识点是二次根式的性质与化简，掌握二次根式的基本性质是解此题的关键 12【解析】【分析】根据题意，可得到=，利用平方关系把根号去掉，根据、的系数相等的关系得 到关于 a，b，c 的三元方程组，解方程组即可.【详解】=，即解得【点睛】本题考查了解析：【解析】【

19、分析】( )2根据题意，可得到 120 6 +540 10 +144 15 +2118= a 2 +b 3 +c 5 ，利用平方关系把根号去掉，根据 6 、 10 、 15 的系数相等的关系得到关于 a，b，c 的三元方程 组，解方程组即可.【详解】 120 6 +540 10 +144 15 +2118= a 2 +b 3 +c 5120 6 +540 10 +144 15 +2118 = a 2 +b 3 +c 5，即120 6 +540 10 +144 15 +2118 =2 a 2 +3b 2 +5c 2 +2 6 ab +2 10 ac +2 15bc 2 a2 +3b 2 +5c

20、2 ab =120,2 ac =540,2bc =144,2=2118,a =15,解得 b =4,c =18. abc =15 4 18 =1080【点睛】本题考查了二次根式的加减，解本题的关键是将等式平方去根号，利用等量关系中等式左 右两边中 6 、 10 、 15 的系数相等，即可解题.13-【解析】【分析】根据二次根式的性质，可得答案【详解】由题意可得： ，即故答案为【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，利用了二次根式的性质解答关键在于根 据二次根式的性质确定解析：-m【解析】【分析】根据二次根式的性质，可得答案 【详解】) + +由题意可得：1m0 ，即 m 0m1mm1mmmmm

21、故答案为 - -m【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，利用了二次根式的性质解答关键在于根据二次根式 的性质确定 m 的取值范围.149【解析】【分析】设y=，由可将原方程进行化简，解化简后的方程即可求得答案.【详解】设y=，则原方程变形为， ，即， 4y+36-4y=y(y+9)，即y2+9y-36=0，解析：9【解析】【分析】设 y= x ，由y(1 1 1= - y +1 y y +1可将原方程进行化简，解化简后的方程即可求得答案.【详解】设 y= x，则原方程变形为1 1y (y+1)(y+1)(y+2)1(y+8)(y+9)=14，即1 1 1 1- + - + y y +1 y

22、+1 y +21 1 1- = ，y y +9 4+1 1 1- = ， y +8 y +9 4 4y+36-4y=y(y+9)， 即 y2+9y-36=0， y=-12 或 y=3，x0，= -4 + 134 -( )() x =3， x=9，故答案为：9.【点睛】本题考查了解无理方程，解题的关键是利用换元法，还要注意1 1 1 y (y+1) y y +1的应用.153【分析】先估算,再估算,根据6的整数部分为x,小数部分为y,可得: x=2,y=,然后再代入计算即可求解.【详解】因为,所以,因为6的整数部分为x,小数部分为y,所以x=2,解析：3【分析】先估算 3 13 4 ,再估算 2

23、 6 - 13 3 ,根据 6 13 的整数部分为 x,小数部分为 y,可 得: x=2, y= 4 - 13 ,然后再代入计算即可求解.【详解】因为 3 13 4 ,所以 2 6 - 13 0 ，且 -yx 2有意义，x0，y0， y -y x - =xx 2 -x=- -y故答案为- -y【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键即a2= a =a ( a 0) a a ， =-a( a 0）19且【分析】根据分式的分母不能为0、二次根式的被开方数大于或等于0列出式子求解即可 得【详解】由题意得：，解得且，故答案为：且【点睛】本题考查了分式和二次根式有意义

24、的条件，熟练掌握分解析：x 3且x -2【分析】根据分式的分母不能为 0、二次根式的被开方数大于或等于 0 列出式子求解即可得 【详解】x +2 0 由题意得： 3 -x 0，解得 x 3 且 x -2，故答案为： x 3 且 x -2【点睛】本题考查了分式和二次根式有意义的条件，熟练掌握分式和二次根式的定义是解题关键 20【分析】先将原等式两边同时乘 2，然后将左侧配方，然后利用平方的非负性即可求出 a 和 b 的值，然后代入即可【详解】解：2 2 2 解得：a=-4，b=-2=故答案为：【点睛解析： 2 2【分析】先将原等式两边同时乘 2，然后将左侧配方，然后利用平方的非负性即可求出 a 和 b 的 值，然后代入即可【详解】解： a 2 -2 ab +2b 2 +4 a +8 =0 2a2-4 ab +4 b2+8a +16 =0(a2-4ab +4 b 2)+(a2+8a+16)=0 (a-2b)+(a+4)=0 (a-2b)0, (a+4)0a -2b =0, a +4 =0解得：a=-4，b=-2 ab =(-4)(-2)=22故答案为： 2 2 【点睛】此题考查的是配方法、非负性的应用和化简二次根式，掌握完全平方公式、平方的非负性 和二次根式的乘法公式是解决此题的关键三、解答题21无22无23无24无25无26无27无28无