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1、三角不等式三角不等式111(,)P xy222(,)P xyO Oxy|-|12xx12|-|yy几何意义几何意义O Oxy(,)111Pxy(,)222Pxy123PP P111222333,P x yP xyP x y222222131323231212xxyyxxyyxxyy当三角形当三角形在任意位置时在任意位置时显然有：显然有：根据上面结果，你能猜想出一般形式的柯西不根据上面结果，你能猜想出一般形式的柯西不等式吗？等式吗？猜想并证明猜想并证明结论结论猜想柯西不等式的一般形式猜想柯西不等式的一般形式222222212121 122()()()nnnnaaabbba ba ba b，aaa
2、An22221 设设，bbbCn22221 nnbababaB 22112ACB不不等等式式就就是是分析：分析：)()(2)()(222212211222221nnnnbbbxbababaxaaaxf 构造二次函数构造二次函数0)()()()(2222211 nnbxabxabxaxf又又。等等号号成成立立时时使使得得或或存存在在一一个个数数当当且且仅仅当当则则是是实实数数设设一一般般形形式式的的柯柯西西不不等等式式定定理理,),2,1(,),2,1(0,)(321321nikbaknibbbbbaaaaiiinn 222222212121 122()()()nnnbaaabbba ba ba
3、 b即即222111nnnkkkkkkkaba b思考：一般形式的三角形不等式及其证明思考：一般形式的三角形不等式及其证明22222222212121122nnnnaaabbbababab继续继续2答案答案22221212()()nnn aaaaaa222212121()nnaaaaaan,a b c d9abcbcabcaabc练习讨论：练习讨论：若若是正数，求证：是正数，求证：的最小值的最小值求求已知已知例例222,132 3zyxzyx 141143,71,1413211411)32()321)(:2222222222222取最小值取最小值时时即即当且仅当当且仅当证明证明zyxzyxzyxzyxzyxzyx 例例4、把一条长是、把一条长是m的绳子截成三段，各围成一的绳子截成三段，各围成一个正方形，怎样截法，才能使这三个正方形的面积之和个正方形，怎样截法，才能使这三个正方形的面积之和最小？最小？12,na aa121naaa222211212231112nnnnnaaaaaaaaaaaa选用：例选用：例5、已知都是正实数，且求证：作业：作业：P 41 1、2、3、4、5、6
一般形式的柯西不等式ppt课件
