7.2一元非线性回归与相关

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1、 在实际应用中在实际应用中,当当 x 的取值范围较广泛时的取值范围较广泛时,x与与y的关系并非都是直线的关系并非都是直线,散点图往往呈现非线散点图往往呈现非线性关系性关系,如施肥量如施肥量 x 和产量和产量 y,光照强度光照强度 x 和光合和光合作用作用 y,药剂浓度药剂浓度x 和害虫死亡率和害虫死亡率y 等等,就呈现出就呈现出曲线关系。非线性的形式是多种多样的曲线关系。非线性的形式是多种多样的*,本节本节只讨论生物学常遇到的非线性回归问题。只讨论生物学常遇到的非线性回归问题。*注注:一个恰当的非线性回归模型一个恰当的非线性回归模型,需经过多次配合检验需经过多次配合检验,并要借助并要借助 于一

2、定的专业知识才能确定。于一定的专业知识才能确定。7.28对幂函数直化的主要手段是两边取常用对数。对幂函数直化的主要手段是两边取常用对数。(或或自然对数自然对数),取常用对数如下：取常用对数如下：1.幂函数直化幂函数直化7.2.1 可化为直线的非线性回归可化为直线的非线性回归图图7.5 幂函数幂函数-1-1by=a x0b1b1 b=1y由对数性质得由对数性质得0b blgaxlgaxlgylgyblgxblgxlgalgalgylgyb ba ax xy y 这种类型的回归方程一般只确定两个参数。这种类型的回归方程一般只确定两个参数。7.29幂函数式为幂函数式为:(见图见图7.5)然后再转换然

3、后再转换 a,即：即：lg a=a回归方程回归方程 -1l lg gx xx x,l lg ga aa a,l lg gy yy y令令:可得幂函数的直化回归方程为可得幂函数的直化回归方程为x xb ba ay yb baxaxy y 例例7.7 已测得云杉平均胸径已测得云杉平均胸径x(cm)与平均树高与平均树高 y(m)的资料的资料,试配合幂函数的回归方程试配合幂函数的回归方程 ;再试配合二次抛物线方程再试配合二次抛物线方程*。b baxaxy y7.302 2c cx xb bx xa ay y*注注:一元二次抛物线方程的配合过程见本章一元二次抛物线方程的配合过程见本章7.2.2所述。所述

4、。所以可得曲线所以可得曲线 x y lg(x)lg(y)1 15 13.9 1.176 1.143 2 20 17.1 1.301 1.233 3 25 20.0 1.398 1.301 4 30 22.1 1.477 1.344 5 35 24.0 1.544 1.380 6 40 25.6 1.602 1.408 7 45 27.0 1.653 1.431 8 50 28.3 1.699 1.452 9 55 29.4 1.740 1.46810 60 30.2 1.778 1.48011 65 31.4 1.813 1.497表表7.4 云杉平均胸径与平均树高数据云杉平均胸径与平均树高数

5、据图图7.6 云杉胸径树高散点图云杉胸径树高散点图7.3115 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 3028 26 24 22 20 18 1614.xy 对表对表7.4 x,y 画出散点图画出散点图初步判定为幂函数初步判定为幂函数,分分别对别对 x,y 取常用对数得取常用对数得表表7.4 第第4,5列列 解：解：利用计算器统计功能按下面步骤计算利用计算器统计功能按下面步骤计算0 0.5 54 45 59 90 0.4 41 18 87 72 20 0.2 22 28 85 57 71 1.5 56 62 21 11 12 27 7.5 57 71 1.3 37 75

6、51 1.5 56 62 21 11 12 23 3.8 87 71 1x xn nx xy yx xn n-y yx xb b0 0.5 52 23 32 21 1.5 56 62 20 0.5 54 45 59 95 51 1.3 37 76 6x xb by ya a2 22 22 21 1.5 56 62 2x x2 27 7.2 25 57 7,x x1 17 7.1 18 81 1,x x2 22 23 3.8 87 71 1y yx x1 1.3 37 76 6,y y2 20 0.9 95 55 5,y y1 15 5.1 13 37 7,y y2 2得直化后的回归方程得直化后

7、的回归方程:x x0 0.5 54 45 59 90 0.5 52 23 32 2y y 7.32所以可得幂函数的回归方程所以可得幂函数的回归方程 对曲线相关的研究只研究其相关指数。曲线相对曲线相关的研究只研究其相关指数。曲线相关指数可定义为关指数可定义为3 3.3 33 35 58 80 0.5 52 23 32 2l lg ga al lg ga a1 11 1对对a进行反对数转换得进行反对数转换得0 0.5 54 45 59 9x x3 3.3 33 35 58 8y yy yy yy yy yy yy yy yy y2 2L LQ Q1 1L LQ QL LL LU Ur r7.33

8、计算例计算例7.7相关相关指数（见表指数（见表7.5）15 13.9 14.63 -0.73 0.5320 17.1 17.12 -0.02 0.00 25 20.0 19.33 0.67 0.4530 22.1 21.36 0.74 0.5535 24.0 23.23 0.77 0.59 40 25.6 24.99 0.61 0.3745 27.0 26.65 0.35 0.1250 28.3 28.23 0.07 0.0055 29.4 29.73 -0.33 0.1160 30.2 31.18 -0.98 0.96 65 31.4 32.57 -1.17 1.37 xi yi yi (y

9、i-yi)(yi -yi)2 440 269 Q=5.06表表7.5 剩余平方和剩余平方和Q Q的计算过程的计算过程 注注:对曲线回归的检验较复杂对曲线回归的检验较复杂,主要是主要是Q的值较难求。的值较难求。3 31 19 9.3 36 67 7y yy yL L1 11 11 1i i2 2i iy yy y)(5 5.0 06 6y yy yQ Q1 11 11 1i i2 2i ii i)(0 0.9 98 83 31 19 9.3 36 67 75 5.0 06 61 1r r2 27.34(1)曲线关系检验曲线关系检验表表7.7 曲线回归的方差分析表曲线回归的方差分析表差异来源差异来

10、源 平方和平方和 自由度自由度 均方均方 均方比均方比 F0.01 回回 归归 314.307 1 314.307 559.27*10.6 剩剩 余余 5.06 9 0.562 总总 和和 319.367 10Lyy=319.367,Q=5.06 U=319.367-5.06=314.3077.35 对回归关系的检验对回归关系的检验:(2)直化关系检验直化关系检验表表7.6 直化后的回归方差分析表直化后的回归方差分析表差异来源差异来源 平方和平方和 自由度自由度 均方均方 均方比均方比 F0.01 回回 归归 0.12478 1 0.12478 367*10.6 剩剩 余余 0.00308 9

11、 0.00034 总总 和和 0.12786 10,0 0.1 12 27 78 86 6L Ly yy y0 0.2 27 74 46 64 40 0.1 12 24 47 78 80 0.1 12 27 78 86 6Q Q0 0.1 12 24 47 78 80 0.2 22 28 85 57 70 0.5 54 45 59 9b bL LU Uy yx x7.36注：注：两种检验效果是一样的，如果曲线回归不能直化那么就只能用两种检验效果是一样的，如果曲线回归不能直化那么就只能用 曲线方法检验了。曲线方法检验了。2.指数函数直化指数函数直化指数函数指数函数 ,两边取两边取自然对数自然对数

12、可得可得(注意注意:这里这里 x 变量并未转换）变量并未转换）令令:b0图图7.7 指数函数图示指数函数图示x y2 22 2x xn nx xy yx xn n-y yx xb bx xb by ya ab bx xl ln na al ln ny yb bx xa ae ey yb bx x1 1a ae ey y,a al ln na ab bx xa ay yl ln na a,a al ln ny y,y y则直化方程为则直化方程为:7.37 例例7.8 在栽培试验中在栽培试验中,测得某夏季绿肥播种测得某夏季绿肥播种15天后天后,每每5天天 x为一期的生长量为一期的生长量y(kg),

13、所得数据所得数据如下如下,试对该资料进行回归与相关分析。根据试对该资料进行回归与相关分析。根据散点图散点图7.8选择指数函数选择指数函数模型模型 y=ae 来研究。来研究。bx图图7.8 绿肥绿肥5 5天一期生长量曲线天一期生长量曲线两边取自然对数两边取自然对数:b bx xl ln na al ln ny y直化方程直化方程:b bx xa ay y153045500100200400300.7.38表表7.8 绿肥绿肥5 5天一期生长量数据天一期生长量数据 x y y=lny x y1 15 58 4.060 60.902 20 67 4.205 84.103 25 79 4.369 10

14、9.23 4 30 140 4.941 148.235 35 200 5.298 185.436 40 320 5.768 230.727 45 480 6.173 277.78 210 1344 34.814 1096.367.393 30 0 x x7 70 00 00 0,x x2 21 10 0,x x2 24 4.9 97 73 38 8y y1 17 77 7.1 11 1,y y3 34 4.8 81 14 4,y y2 20 0.0 07 74 41 13 30 07 7-7 70 00 00 04 4.9 97 73 38 83 30 07 71 1.9 96 6.3 39

15、9x xn nx xy yx xn ny yx xb b2 2.7 75 50 08 83 30 00 0.0 07 74 41 14 4.9 97 73 38 8x xb by ya a2 22 22 2-回归方程的配合回归方程的配合:直化后的回归方程直化后的回归方程:0 0.0 07 74 41 1x x2 2.7 75 50 08 8y y 1 10 09 96 6.3 39 9y yx x7.40取反对数得取反对数得:转曲线回归方程：转曲线回归方程：表表7.9 剩余平方和剩余平方和Q的计算过程的计算过程 xi yi yi (yi-yi)(yi-yi)15 58 47.43 10.57

16、111.72 20 67 68.77 -1.77 3.13 25 79 99.81 -20.81 433.06 30 140 144.58-4.58 20.98 35 200 209.41-9.41 88.55 40 320 303.32 16.68 278.22 45 480 439.35 40.65 1652.42210 1344 2588.08相关指数计算：相关指数计算：21 15 5.6 65 55 52 22 2.7 75 50 08 8l ln n1 10 0.0 07 74 41 1x x1 15 5.6 65 55 52 2e ey y148446148446L Lyyyy2

17、25 58 88 8.0 08 8Q Q0 0.9 98 81 14 48 84 44 46 62 25 58 88 8.0 08 81 1r r2 27.413.双曲线函数直化双曲线函数直化a 0，b0(c)(b)x xbxbxa ay yyyxxx x1 1a ab by ybxa 0，b0b00b(a).y令令:x x1 1x x可直化为下式可直化为下式x xa ab by y7.42相关指数的意义和直线回归决定系的意义是一相关指数的意义和直线回归决定系的意义是一样的。这里不能用原始数据求直线相关系数样的。这里不能用原始数据求直线相关系数r,r 只能用于直线只能用于直线,不能用于曲线。不

18、能用于曲线。可得：可得：回归方城配合回归方城配合:2 22 2x xn nx xy yx xn n-y yx xa ax xa ay yb bx xa ab by y对相关指数的说明对相关指数的说明:7.43 例例7.9 研究研究“岱字岱字”棉自播至齐苗（以棉自播至齐苗（以80%出出苗为准）的天数（苗为准）的天数（x）与日平均土温）与日平均土温(y)的关系的关系,得得下表下表7.10,试作回归分析。试作回归分析。表表7.10 “岱字岱字”棉至齐苗棉至齐苗 天数与土温的关系天数与土温的关系xy3330272421183.0034.005.008.0015.0yx4 8 12 16 40 30 2

19、0 10 0.图图7.10 “岱字棉岱字棉”至齐苗至齐苗 天数土温的关系图天数土温的关系图7.44323 34 4.5 55 53 37 7y yx x0 0.2 20 07 73 3,x x0 0.3 30 08 80 0 x x1 1.2 24 43 36 6,x x2 22 25 5.5 5y y4 40 05 59 9,y y1 15 53 3,y y2 2表表7.11 “岱字岱字”棉至齐苗天数与棉至齐苗天数与 土温的关系数据变换土温的关系数据变换xyx=1/x3330272421183.0034.005.008.0015.00.33330.27270.25000.20000.1250

20、0.066610.99898.18106.75004.80002.62501.1988xy所选模型：所选模型：x xbxbxa ay y23x xa ab by y 直化式如下直化式如下7.45xy22 0.1111 0.0744 0.0625 0.0400 0.0156 0.0044 1089 900 725 576 441 324153 1.2436 34.5537 0.308 4059直化回归方程：直化回归方程：曲线回归方程：曲线回归方程：相关指数：相关指数：1 13 3.7 77 77 70 0.2 20 07 73 35 56 6.5 55 52 25 5.5 5x xa ay yb

21、 b56.5556.550.20730.20736 60.3080.30825.525.50.20730.20736 634.553734.5537x xn nx xy yx xn ny yx xa a2 22 22 2-x x5 56 6.5 55 51 13 3.7 77 77 7y y x x13.777x13.777x56.5556.55y y7.460 0.9 98 81 11 15 57 73 3.0 05 51 1L LQ Q1 1r ry yy y2 2注注:本例还可用本例还可用 y=a+bx 转换转换,其中其中 y=xy,其结果相同。其结果相同。在农业试验中经常遇到一些曲线回

22、归配合问在农业试验中经常遇到一些曲线回归配合问题题,现列出几种常用的可直化的函数模型现列出几种常用的可直化的函数模型*b bx xa a1 1y ybxbxaxeaxey y2 2bxbxaeaey yb bx xa ae ey yb bx xa ax xy y如如:密度与有效穗密度与有效穗数间的关系。数间的关系。如如:毛细管水的上升毛细管水的上升高度与时间的关系。高度与时间的关系。如如:叶绿素与透叶绿素与透光度间的关系。光度间的关系。如如:棉纤维长分布棉纤维长分布与次数间关系。与次数间关系。如如:大豆密度与青荚大豆密度与青荚产量间关系。产量间关系。*注：注：农业试验统计农业试验统计莫惠栋莫惠

23、栋 编著编著 上海科技出版社上海科技出版社 1984b baxaxy y如如:洋葱鳞茎的直径洋葱鳞茎的直径与重量间的关系。与重量间的关系。7.474.S 形曲线直化形曲线直化 在生物界中在生物界中,反应生物的累积发生量反应生物的累积发生量(率率)y与与时间、浓度、药品用量时间、浓度、药品用量 x 等关系时等关系时,可以用可以用 S 形形曲线来刻画。如曲线来刻画。如:动植物的累积发病率、累积死动植物的累积发病率、累积死亡率、累积发生进度、繁殖过程与时间、浓度亡率、累积发生进度、繁殖过程与时间、浓度与药品用量的关系等。与药品用量的关系等。图图7.11 对称的对称的S S形曲线形曲线图图7.12 不

24、对称的不对称的S S形曲线形曲线时间时间 浓度浓度 用量用量累累积积率率yx时间时间 浓度浓度 用量用量x累累积积率率y7.48 (1)对称的对称的S 形曲线形曲线:一些作物的日生长量或一些作物的日生长量或发生量等往往为正态或近似正态分布发生量等往往为正态或近似正态分布(下图左下图左),其累积量其累积量(率率)y%与时间与时间 x 则呈对称的则呈对称的S 形曲线形曲线(下图右下图右)。xy日日发发生生量量日日生生长长量量日期日期图图7.13 正态分布曲线正态分布曲线图图7.14 对称对称 s 形曲线形曲线xy%日期日期累累积积率率累累积积量量7.49 可将资料中的累积率可将资料中的累积率y%视

25、为正态分布的分视为正态分布的分布函数布函数(u)=PUu,若将若将y%转化为正态分布的转化为正态分布的u值值,则则u与时间与时间 x 就成为直线关系了就成为直线关系了,但是但是u变量变量的取值有时为正或为负计算起来很不方便的取值有时为正或为负计算起来很不方便,可采可采用用 P=u+5 来解决。则来解决。则 P=a+bx。P 称概率单位称概率单位值值(不要和概率符号不要和概率符号P 相混淆相混淆),在一些统计书中在一些统计书中可查到百分率与概率单位换算表可查到百分率与概率单位换算表。7.50对称的对称的S 形曲线直化过程：形曲线直化过程：例例7.10 研究某地越冬代棉花红铃虫的化蛹研究某地越冬代

26、棉花红铃虫的化蛹进度进度 y%与时间与时间 x 的关系的关系,试进行回归分析。试进行回归分析。解解:首先将观察日期首先将观察日期转换为以转换为以5月月31日为日为0的数的数值值(x),化蛹进度化蛹进度 y%与与 x 成成 S 形曲线形曲线,再将再将 y%查查表转换为概率单位值表转换为概率单位值P,而而P与与x即为直线了。即为直线了。7.517.522 27 7.5 5x x9 96 62 25 5,x x2 27 75 5,x x2 22 27 74 4.8 84 4P P5 50 0.8 89 99 98 8,P P2 21 15 57 74 4.7 74 42 2x xP P5 5.0 0

27、8 89 99 98 8,P P0 0.0 08 84 48 82 20 06 62 2.5 51 17 74 4.8 88 87 75 50 0.0 08 84 48 8x x2 2.7 75 56 6P P2 2.7 75 56 62 27 7.5 50 0.0 08 84 48 87 72 25 5.0 08 89 99 98 8x xb bP Pa a2 22 22 22 27 7.5 51 10 09 96 62 25 55 5.0 08 89 99 98 82 27 7.5 51 10 01 15 57 74 4.7 74 42 2x xn nx xP Px xn nP Px xb

28、 b-7.53例如例如:测报测报 7月月2日时即日时即 x=32,代入回归方程代入回归方程得得P=5.4719,查表得查表得P对应的累积率为对应的累积率为68.15%P概概率率单单位位值值P=2.756+0.0848x 1020304050 x.73456日期日期图图7.16 概率单位与日期直线关系图概率单位与日期直线关系图可计算直线回归的相关系数可计算直线回归的相关系数P PP Px xx xx xP PL LL LL Lr r1 14 4.9 96 65 52 20 06 62 2.5 51 17 74 4.9 99 97 75 50 0.9 99 96 67.54 (2)不对称的不对称的

29、 S 形曲线形曲线:生物生长量或发生生物生长量或发生量量 y 与时间与时间 x 的曲线并不都是正态的曲线并不都是正态(图图7.17),其累积率也呈现出不对称的其累积率也呈现出不对称的 S 形曲线形曲线(图图7.18),xyxy%发发生生量量日期日期日期日期生生长长量量图图7.18 不对称不对称S S形曲线形曲线图图7.17 偏态曲线偏态曲线累积率累积率7.55 例例7.11 用氯氰菊酯对菜粉蝶五龄幼虫进行触用氯氰菊酯对菜粉蝶五龄幼虫进行触杀毒力测定杀毒力测定(LD50),累积死亡率累积死亡率y%与单位体重药与单位体重药量量 x(/L)之间的图形呈不对称的之间的图形呈不对称的 S 形曲线形曲线(

30、见下见下图图7.19),试对其直化后进行回归分析。试对其直化后进行回归分析。g如果将累积率如果将累积率 y%转换成转换成 P,则则P 和时间和时间 x 的关的关系仍然是曲线系仍然是曲线,达不到直化的目的达不到直化的目的,前面的方法前面的方法不能直接搬用不能直接搬用,但是只要将但是只要将 x 取对数转换取对数转换(lg x),则则P与与 lgx 就为直线了就为直线了,P=a+blgx 。7.56 解解:将累积更正死亡率查百分率与概率单位将累积更正死亡率查百分率与概率单位值转换表得概率单位值值转换表得概率单位值P,再将单位体重药量再将单位体重药量 转转换为换为lgx 建立直化回归方程建立直化回归方

31、程 0.007999 19.8 0.01559 32.2 0.0376 57.8 0.0684 81.7 0.131 92.3 x(g/L)死亡率死亡率y%表表7.13 菜粉蝶五龄幼虫毒杀力测定菜粉蝶五龄幼虫毒杀力测定12345图图7.19 氯氰菊酯触杀菜氯氰菊酯触杀菜 粉蝶毒力测定图粉蝶毒力测定图单位体重药量单位体重药量y%累累积积死死亡亡率率.10000.040.120.08806040200.16x7.57l lg gx xa aP P 0.007999 -2.097 19.8 4.1512 0.01559 -1.807 32.2 4.5379 0.0376 -1.425 57.8 5.

32、1968 0.0684 -1.165 81.7 5.9040 0.131 -0.883 92.3 6.4255 -7.377 26.2154 平均平均 -1.4754 5.2431 x(/L)x=lgx g表表7.14 菜粉蝶五龄幼虫毒杀力测定数据菜粉蝶五龄幼虫毒杀力测定数据123457.581 1.4 47 75 54 4x x1 11 1.8 83 30 02 2,x x7 7.3 37 77 7,x x2 25 5.2 24 43 31 1P P1 14 40 0.9 97 76 6,P P2 26 6.2 21 15 54 4,P P2 23 36 6.8 86 62 24 4P Px

33、 x0 0.9 94 46 62 21 1.4 47 75 54 45 51 11 1.8 83 30 02 2x xn nx xL L2 22 22 2x xx x)(3 3.5 52 25 55 55 5.2 24 43 31 15 51 14 40 0.9 97 76 60 0P Pn nP PL L2 22 22 2P PP P)(5 5.2 24 43 31 11 1.4 47 75 54 45 53 36 6.8 86 62 24 4P Px xn nP Px xL LP Px x)(-1 1.8 81 15 59 95 57.59即即:lgx概率单位值概率单位值 P-0.8-1.

34、6-2.0-2.4.76543-1.4图图7.20 直线回归方程直线回归方程 8 8.0 07 74 46 61 1.4 47 75 54 41 1.9 91 19 91 15 5.2 24 43 31 1x xb bP Pa a)(0 0.9 94 46 62 21 1.8 81 15 59 95 5L LL Lb bx xx xP Px x 直线回归方程直线回归方程x x1.91911.91918.07468.0746P P1 1.9 91 19 91 1l lg gx x8 8.0 07 74 46 6P P1 1.9 91 19 91 1l lg gx x8 8.0 07 74 46

35、6P P7.601 0.007999-2.097 19.8 4.1512 4.050 17.1 7.292 0.01559 -1.807 32.2 4.5379 4.607 34.7 6.253 0.0376 -1.425 57.8 5.1968 5.339 63.3 30.34 0.0684 -1.165 81.7 5.9040 5.839 80.9 0.645 0.131 -0.883 92.3 6.4255 6.379 91.6 0.49 -7.377 26.215 44.92 平平 均均 -1.475 5.2431 x(/L)x=lgx y%Pg表表7.15 菜粉蝶五龄幼虫毒杀力测定预

36、测及相关指数计算表菜粉蝶五龄幼虫毒杀力测定预测及相关指数计算表Py%(yi yi)2ii7.61预测预测 x=0.04(/L)时时,菜粉蝶五龄幼虫死亡率菜粉蝶五龄幼虫死亡率?概率单位值概率单位值 P=8.0746+1.9191lg 0.04=5.392,将概率单位值转换为百分率将概率单位值转换为百分率:5.392 转换为百分率转换为百分率65.25%,(查附表查附表)相关指数：相关指数：r =0.987.62 5.Logistic 生长曲线生长曲线(S 形曲线形曲线)动植物的生长或繁殖动植物的生长或繁殖,假定在无限空间、无假定在无限空间、无限营养来源等无约束条件下进行限营养来源等无约束条件下进

37、行,则其生长或繁则其生长或繁殖量与时间的关系开始时为指数函数殖量与时间的关系开始时为指数函数:这种关系通常只能在一开始的一段时间内成立这种关系通常只能在一开始的一段时间内成立,但实际上由于环境条件的恶化、营养的不足、衰但实际上由于环境条件的恶化、营养的不足、衰老的加快、繁殖的减慢、死亡的增多等约束条件老的加快、繁殖的减慢、死亡的增多等约束条件伴随而来伴随而来,不能保持稳定不能保持稳定,它们将改变这这种关它们将改变这这种关系而呈现出系而呈现出 Logistic 曲线形式。曲线形式。7.63x xe ey y 称上式为自然生长方程。其中称上式为自然生长方程。其中:y是生长量是生长量,繁繁殖量殖量(

38、或累积率或累积率),K 是时间无限时是时间无限时 y 的极限量的极限量(率率),x 为演变时间。该曲线与前两种为演变时间。该曲线与前两种 s 形曲线有所不同形曲线有所不同,它没有正态分布或近似正态分布假定它没有正态分布或近似正态分布假定,所以具有更所以具有更广泛的适应性。广泛的适应性。(1)Logistic 函数表达式函数表达式或或b bx xa ae e1 1K Ky ybxbxa ae e1 1K Ky y7.64 (2)Logistic 函数的性质函数的性质1.当当x=0 时可算得起始量时可算得起始量2.当当 x=-ln(1/a)/b,y=K/2 时为拐点时为拐点,即即变化率从逐增过度到

39、逐减的分界点。变化率从逐增过度到逐减的分界点。3.当当 x 在在0,-ln(1/a)/b 区区间时变化率逐增间时变化率逐增;在在 -ln(1/a)/b,变化率变化率逐减。见图逐减。见图7.22xy 时间时间累累积积量量累累积积率率%Kk2x=-ln(1/a)/b0图图7.22 Logistic曲线曲线.7.65a a1 1K Ka ae e1 1K Ky yb bx x拐点拐点未知参数的确定：未知参数的确定：如果如果 y 是累积率则极限值是累积率则极限值 则则K=100。如果如果 y 是生长量或繁殖量是生长量或繁殖量,其极限其极限 值值 K 可由按下式近似求得可由按下式近似求得在实际应用时在实

40、际应用时(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),是数据中是数据中的三对观察值的三对观察值,x1,x2,x3 是等间距的量是等间距的量,间距不间距不应太小应太小,间距小了算出的间距小了算出的K值误差较大。值误差较大。3 31 12 22 23 32 21 13 31 12 22 2y yy yy yy yy y2 2y yy yy yy yK K)(7.66 (3)Logistic 生长曲线直化过程生长曲线直化过程将函数将函数 变形得变形得等式两边同除以等式两边同除以 y 并取自然对数得并取自然对数得b bx xb bx xy ya ae ey yK Ka ae e1 1y yK K)(

41、b bx xl ln na ay yy yK Kl ln na ae ey yy yK Kb bx x)(,令：令：l ln na aa a,y yy yK Kl ln ny y)(则有则有:再求解直线回归系数再求解直线回归系数：a,-b b bx xa ay y7.67b bx xa ae e1 1K Ky y 再对再对 a取反自然对数得曲线回归系数取反自然对数得曲线回归系数 a,可得方程式可得方程式。注意注意:如果对如果对式直化则有式直化则有 (对回对回归系数归系数a 不再取反对数不再取反对数)。即。即:,式的式的 a 是不是不同的同的,这里必须指出用同一资料所配合的这里必须指出用同一资料

42、所配合的 曲线曲线方程方程 和和 是等价的。是等价的。b bx xa ay y注注:Logistic 曲线方程是由比利时数学家曲线方程是由比利时数学家P.F.Verhulst t于于1838 年导出年导出,但长期湮没但长期湮没,至至20世纪世纪20年代才又被统计学家年代才又被统计学家R.Pearl 和和L.J.Reed重新发现。该方程在动植物的饲养、栽培、资源、重新发现。该方程在动植物的饲养、栽培、资源、生态、环境保护等方面的模拟研究中已有较广泛的应用。生态、环境保护等方面的模拟研究中已有较广泛的应用。7.68 例例7.13 试以生长曲线描述例试以生长曲线描述例7.10越冬代棉红越冬代棉红铃虫

43、化蛹进度和时间的关系。利用铃虫化蛹进度和时间的关系。利用 Logistic 函数函数的数学性质的数学性质,求出拐点并解释其实际意义。求出拐点并解释其实际意义。解：解：因为因为 y 变量是化蛹进度为百分数变量是化蛹进度为百分数(%),所所以当发生时间以当发生时间 x 无限时无限时y 的极限值的极限值 K=100 分析计算过程：分析计算过程：3 36 69 9.9 94 47 75 5y yx x2 27 7.5 5,x x9 96 62 25 5,x x2 27 75 5,x x2 20 0.1 17 72 23 3y y5 50 0.9 91 10 02 2,y y1 1.7 72 22 29

44、 9,y y2 2-7.69表表7.17 棉红铃虫化蛹进度和时间表棉红铃虫化蛹进度和时间表x(天天)y%100-yy ln()100-yy 5 3.5 27.571 3.316810 6.4 14.625 2.682715 14.6 5.8493 1.766320 31.4 2.1847 0.781525 45.6 1.1930 0.176530 60.4 0.6556 -0.422235 75.2 0.3298 -1.109340 90.2 0.1068 -2.219645 95.4 0.0482 -3.032050 97.5 0.0256 -3.6636iiii7.70反对数求反对数求 a

45、 可得可得:4 4.1 12 28 85 56 63 32 27 7.5 50 0.1 15 56 63 39 95 50 0.1 17 72 23 3a a)(0 0.1 15 56 63 39 95 52 27 7.5 51 10 09 96 62 25 50 0.1 17 72 23 32 27 7.5 51 10 03 36 69 9.9 94 47 75 5b b2 2)(-0 0.1 15 56 63 39 95 5x x6 62 2.0 08 88 86 64 4e e1 11 10 00 0y y6 62 2.0 08 88 86 64 4l ln n4 4.1 12 28 8

46、5 56 63 3a a得曲线回归方程得曲线回归方程:或或7.710 0.1 15 56 63 39 95 5x x4 4.1 12 28 85 56 63 3e e1 11 10 00 0y y当当 x=0 时化蛹进度时化蛹进度 y%=1.58%,当当 x=-ln(1/62.08864)/0.156395=26.4为拐点为拐点,见图见图7.23。说明在说明在6月月27日时化蛹日时化蛹进度达进度达 y%=50%,6月月27日前化蛹进度是日前化蛹进度是逐增的逐增的,6月月27日以后日以后化蛹进度就逐渐减慢。化蛹进度就逐渐减慢。图图7.23 棉红铃虫化蛹进度棉红铃虫化蛹进度xy%化化蛹蛹进进度度日

47、期日期10 20 3040 5025507510050%100%6月月27日日.07.72 测定某种肉用鸡在良好饲养条件下测定某种肉用鸡在良好饲养条件下的生长过程的生长过程,每两周测定一次每两周测定一次,得数据如下得数据如下,试试以以 Logistic方程描述之。方程描述之。(x 周次周次,y 重量重量kg)先求先求极限生长量极限生长量K值：由资料可选等间距值：由资料可选等间距 x 对应的对应的 y 值为值为 2 2.8 8y y2 2.2 2,y y0 0.3 3,y y3 32 21 12 2.8 82 27 72 2.8 80 0.3 32 2.2 22 2.8 82 2.2 20 0.

48、3 32 22 2.8 80 0.3 32 2.2 2K K2 22 2)(7.73解：解：由下式可求得由下式可求得K值值表表7.18 肉用鸡周次体重肉用鸡周次体重(ykgkg)数据表数据表2.827-yy ln()2.827-yy 1 2 0.30 8.4233 2.1310 4.2620 2 4 0.86 2.2872 0.8273 3.3092 3 6 1.73 0.6341 -0.4556 -2.7336 4 8 2.20 0.2850 -1.2553 -10.0424 5 10 2.47 0.1445 -1.9345 -19.345 6 12 2.67 0.0588 -2.8336

49、-34.0032 7 14 2.80 0.0096 -4.6460 -65.0224 56 -8.1667 -123.597平均平均 8 -1.1667 周次周次x 重量重量 yiiiiiy yx x7.74配合回归方程：配合回归方程：8 8x x5 56 60 0,x x5 56 6,x x2 21 1.1 16 66 67 7y y4 40 0.3 36 65 58 8,y y8 8.1 16 66 67 7,y y2 2-0 0.5 52 20 02 28 87 75 56 60 01 1.1 16 66 67 78 87 71 12 23 3.5 59 97 7x xn nx xy y

50、x xn ny yx xb b2 22 22 2-)(-1 12 23 3.5 59 97 7y yx x2 2.9 99 94 49 98 80 0.5 52 20 02 21 1.1 16 66 67 7x xb by ya a)(-7.75 当当:周周(为拐点为拐点)是生长过程的速率由快转慢的界点是生长过程的速率由快转慢的界点,当当 x5.761 19 9.9 98 82 2.9 99 94 49 9l ln na a1 10 0.5 52 20 02 2x x2 2.9 99 94 49 90 0.5 52 20 02 2x xe e1 12 2.8 82 27 7y y,1 19 9

51、.9 98 8e e1 12 2.8 82 27 7y y或或5 5.7 76 60 0.5 52 20 02 21 1/1 19 9.9 98 8l ln nx x)(周时速率逐增周时速率逐增,x5.76时速率逐减。时速率逐减。x拐点时拐点时,可用指数函数描述可用指数函数描述,x拐点时拐点时,则需用则需用 Logistic 方程才能描述全过程。方程才能描述全过程。7.76一元二次抛物线回归一元二次抛物线回归(一元二次多项式回归一元二次多项式回归)样本回归方程样本回归方程:1.一元二次抛物线回归的配合一元二次抛物线回归的配合数学模型：数学模型：上式不能直接用取对数的方进行直化上式不能直接用取对

52、数的方进行直化,只能用解只能用解方程的方程的方法求解回归系数方法求解回归系数 a,b,c。i i2 2i i2 2i i1 10 0i ix xx xy y2 2c cx xb bx xa ay y7.77图图7.24 抛物线回归方程与图形抛物线回归方程与图形y=a+bx+cx2yx 在研究动植物发育速度与温度间的关系、肥在研究动植物发育速度与温度间的关系、肥料或饲料与产量或重量的关系有时可用抛物线回料或饲料与产量或重量的关系有时可用抛物线回归来描述。如：苜蓿盲蝽卵不同温度与卵的发育归来描述。如：苜蓿盲蝽卵不同温度与卵的发育速度间的关系就为抛物线。速度间的关系就为抛物线。2.二次抛物线方程系数

53、的最小二乘估计：二次抛物线方程系数的最小二乘估计：令令:求函数求函数 (因为因为Q是二次函数是二次函数,所以一定有极值且有所以一定有极值且有极小极小2 2i ii iy yy yQ Q)(m mi in nQ Q7.78值值),对函数对函数Q(a,b,c)分别求一阶偏导分别求一阶偏导,令其为令其为0：0 0c cx xb bx xa ay yc cb b,a a,Q Q2 22 2i ii ii i)()(即即:0 0 x xc cx xb bx xa ay y2 2d d(c c)d d(Q Q)0 0 x xc cx xb bx xa ay y2 2d d(b b)d d(Q Q)0 01

54、 1)c cx xb bx xa ay y2 2d d(a a)d d(Q Q)2 2i i2 2i ii ii ii i2 2i ii ii i2 2i ii ii i)()()(7.79三元一次正规方程组三元一次正规方程组y yx xc cx xb bn na a2 2x xy yx xc cx xb bx xa a3 32 2y yx xx xc cx xb bx xa a2 24 43 32 2对上面正规方程组求解对上面正规方程组求解 a,b,c(行列式解法行列式解法)将方程两边各同除以将方程两边各同除以2,进行整理之进行整理之,可得下面可得下面7.804 4i i3 3i i2 2i

55、 i3 3i i2 2i ii ii i2 2i ii ii i4 4i i3 3i i2 2i i3 3i i2 2i ii i2 2i ii ix xx xx xx xx xy yx xx xx xy ya a,x xx xx xx xx xx xx xx xn ni i2 2i i3 3i i2 2i ii ii i2 2i ii ii ii ii i4 4i ii i2 2i i2 2i i3 3i ii ii ii i2 2i ii iy yx xx xx xy yx xx xy yx xy yx xn nc c,x xy yx xx xx xy yx xx xx xy yn nb

56、bc cc c,b bb b,a aa a得：得：2 2c cx xb bx xa ay y回归方程回归方程:7.81 对苜蓿盲蝽卵进行研究对苜蓿盲蝽卵进行研究,发现不同温发现不同温度度x与卵的发育速度与卵的发育速度 y 呈二次曲线型呈二次曲线型,见表见表7.19 图图7.25 试对其进行回归分析。试对其进行回归分析。解：解：盲蝽象卵的发育速度盲蝽象卵的发育速度 y 是按照发育天是按照发育天数的倒数乘以数的倒数乘以100转换来的。转换来的。图图7.25 苜蓿盲蝽卵温度苜蓿盲蝽卵温度与发育速度关系图与发育速度关系图 发育速度发育速度y温度温度 x.16481215 20 25 30 35 40表

57、表7.19 苜蓿盲蝽卵温度与苜蓿盲蝽卵温度与 发育速度关系发育速度关系 温温 度度 x 发育速度发育速度 y 15 3.85 20 7.58 25 9.43 30 11.35 35 14.16 37 12.14 40 10.357.826 63 34 44 4,x x2 20 02 2,x x7 7,n n2 2745.034,745.034,y y68.86,68.86,y y2 2 7 73 34 46 60 03 36 6x x2 21 11 15 52 28 8,x x4 43 37 70 05 53 32 2.6 66 6y yx x2 21 14 44 4.3 38 8,x xy

58、y2 26 68 8.8 86 66 63 34 44 4c c2 20 02 2b b7 7a a2 21 14 44 4.3 38 82 21 11 15 52 28 8c c6 63 34 44 4b b2 20 02 2a a7 70 05 53 32 2.6 66 67 73 34 46 60 03 36 6c c2 21 11 15 52 28 8b b6 63 34 44 4a a7.838 84 48 88 84 40 01 16 67 73 34 46 60 03 36 62 21 11 15 52 28 86 63 34 44 42 21 11 15 52 28 86 63

59、 34 44 42 20 02 26 63 34 44 42 20 02 27 71 13 32 22 21 17 73 34 46 60 03 36 62 21 11 15 52 28 87 70 05 53 32 2.6 66 62 21 11 15 52 28 86 63 34 44 42 21 14 44 4.3 38 86 63 34 44 42 20 02 26 68 88 86 6a a1 13 38 89 99 90 07 78 86 67 73 34 46 60 03 36 67 70 05 53 32 2.6 66 66 63 34 44 42 21 11 15 52 28

60、 86 68 8.8 86 62 20 02 26 63 34 44 42 20 02 27 7b b2 20 04 45 57 70 05 57 70 05 53 32 2.6 66 62 21 11 15 52 28 86 63 34 44 42 21 14 44 4.3 38 86 63 34 44 42 20 02 26 68 8.8 86 62 20 02 27 7c c分别求行列式分别求行列式、a、b、c7.84回归方程：回归方程：1 15 5.5 57 75 53 35 58 84 48 88 84 40 01 16 61 13 32 22 21 1a aa a1 1.6 63

61、37 74 42 28 84 48 88 84 40 01 16 61 13 38 89 99 90 07 78 86 6b bb b0 0.0 02 24 41 18 84 48 88 84 40 01 16 62 20 04 45 57 70 05 5c cc c2 20 0.0 02 24 41 1x x1 1.6 63 37 74 42 2x x1 15 5.5 57 75 53 35 5y y分别求回归方程参数的估计值分别求回归方程参数的估计值a、b、c7.85*注注:本例计算量较大本例计算量较大,也可直接上计算机用程序计算。也可直接上计算机用程序计算。3.抛物线回归的检验与预测抛物

62、线回归的检验与预测表表7.20 方差分系表方差分系表 F0.01(1,3)=4.70差异来源差异来源 平方和平方和 自由度自由度 均方均方 均方比均方比 回回 归归 61.735 1 61.735 52.00*剩剩 余余 5.933 5 1.187 总总 和和 67.668 66 67 7.6 66 68 89 9.8 83 37 77 77 74 45 5.0 03 34 4L L2 2y yy y6 61 1.7 73 35 59 9.8 83 37 79 90 06 6.2 28 86 67 77 70 05 53 32 2.6 66 60 0.0 02 24 41 19 9.8 83

63、37 72 28 8.8 85 57 77 72 21 14 44 4.3 38 81 1.6 63 37 74 42 2c cL Lb bL LU Uy yx xx xy y2 2)()(5 5.9 93 33 36 61 1.7 73 35 56 67 7.6 66 68 8Q Q 检验：检验：7.86 预测：预测：将将 x 变量值代入回归方程变量值代入回归方程,可求可求 y 变量的点预测值变量的点预测值,例例7.15中当温度为中当温度为32 C度盲蝽度盲蝽象卵的发育速度为何？象卵的发育速度为何？t(5,0.05)=2.571 在对二次抛物线回归方程的研究中在对二次抛物线回归方程的研究中,

64、回归值回归值 y 的方差可近似等于剩余方差的方差可近似等于剩余方差 Se,所以区间式为所以区间式为:201 12 2.1 14 44 43 32 20 0.0 02 24 41 13 32 21 1.6 63 37 74 42 21 15 5.5 57 75 53 35 5y y2 22 2.8 81 1.0 08 89 92 2.5 57 71 11 1.0 08 89 9,1 1.1 18 87 7S Se e 1 14 4.9 9 9 9.3 34 42 2.8 81 12 2.1 14 44 4y y7.877.88 现在配合例现在配合例7.7资料的二次抛物线方资料的二次抛物线方程并给

65、于检验程并给于检验,再与幂函数进行比较。再与幂函数进行比较。x y x x x y xy x y 1 15 13.9 2 20 17.1 3 25 20.0 4 30 22.1 5 35 24.0 6 40 25.6 7 45 27.0 8 50 28.3 9 55 29.410 60 30.211 65 31.4表表7.21 云杉胸径与树高云杉胸径与树高配合二次抛物线方程数据计算表配合二次抛物线方程数据计算表423222254006259001225160020252500302536004225337580001562527000428756400091125125000166375216

66、00027462550625160000390625810000150062525600004100625625000091506251296000017850625 440 269 20350 1034000 55783750 6897.64 11677.5 568462.52 20 03 35 50 0,x x4 40 0.0 00 00 0,x x4 44 40 0,x x2 26 68 89 97 7.6 64 4,y y2 24 4.4 45 54 45 5,y y2 26 69 9,y y2 25 55 57 78 83 37 75 50 0 x x1 10 03 34 40 00 00 0,x x4 43 35 56 68 84 46 62 2.5 5y yx x1 11 16 67 77 7.5 5,x xy y2 2将下面所得数值代入正则方程组并解之：将下面所得数值代入正则方程组并解之：2 26 69 92 20 03 35 50 0c c4 44 40 0b b1 11 1a a11677.511677.51034000c1034000c20350b20350b44