《高等数学（上）课件：5_3 定积分的换元法和分部积分法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学（上）课件：5_3 定积分的换元法和分部积分法（25页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、高等数学（上）高等数学（上）5.35.3节节 定积分的换元法定积分的换元法和分步积分法和分步积分法主主 要要 内内 容容1 定积分的换元法2 定积分的分部积分法不定积分不定积分换元积分法换元积分法分部积分法分部积分法定积分定积分换元积分法换元积分法分部积分法分部积分法定积分的换元法定积分的换元法定理定理1 设函数设函数,)(baCxf 单值函数单值函数)(tx 满足满足:1),)(1 Ct 2)在在,上上,)(bta ;)(,)(ba tfxxfbadd)()(t)(t 证证 所证等式两边被积函数都连续所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在因此积分都存在,且它们的原函数也存在且它们的原函数
2、也存在.,)()(的的一一个个原原函函数数是是设设xfxF是是的原函数的原函数,因此有因此有则则 baxxfd)()()(aFbF )(F)(F F)(t f)(t)(t 则则tfd )(t)(t 定积分的换元法定积分的换元法tfd )(t)(t 说明说明:1)当当 ,即即区间换为区间换为，时时,定理定理 1 仍成立仍成立.2)必需注意必需注意换元必换限换元必换限,原函数中的变量不必代回原函数中的变量不必代回.3)换元公式也可反过来使用换元公式也可反过来使用,即即)(tx 令令xxfbad)(或配元或配元 f)(t)(dt 配元不换限配元不换限tfd )(t)(t tfxxfbadd)()(t
3、)(t 定积分的换元法定积分的换元法).0(d022 axxaa计算计算且且则则设设,dcosd,sinttaxtax ;0,0 tx时时当当 2022022dcosdttaxxaa于于是是.42sin2122202atta ttad)2cos1(2202 例例1解解.2,tax时时当当O22xay xyaS四分之一圆的面积四分之一圆的面积定积分的换元法定积分的换元法例例2 计算计算.dsincos205 xxx解解令令,cosxt 2 x,0 t0 x,1 t 205dsincos xxx 015dtt1066t.61,dsindxxt 或解或解 205dsincos xxx 205)cos
4、d(cos xx2066cos x )610(.61 定积分的换元法定积分的换元法例例3 计算计算解解.dsinsin053 xxxxxxf53sinsin)(23sincosxx 053dsinsinxxx 023dsincosxxx 2023dsincos xxx 223dsincosxxx 2023sindsin xx 223sindsinxx 2025sin52 x 225sin52x.54 定积分的换元法定积分的换元法.d12240 xxx 计算计算且且则则设设,dd,21,122ttxtxtx .3,4;1,0 txtx时时当当时时当当 312d)3(21tt3133321tt t
5、tttxxxd221d12231240 于是于是.322)331()9327(21 例例4解解例例5.,)(aaCxf设证证:(1)(1)若若,)()(xfxfaaaxxfxxf0d)(2d)(则xxfaad)(2)(2)若若,)()(xfxf0d)(aaxxf则xxfad)(0 xxfad)(0ttfad)(0 xxfad)(0 xxfxfad)()(0,d)(20 xxfa时)()(xfxf时)()(xfxf,0偶倍奇零偶倍奇零tx令定积分的换元法定积分的换元法定积分的换元法定积分的换元法证证（1）设设tx 2,ddtx 0 x,2 t2 x,0 t例例6 定积分的换元法定积分的换元法 2
6、0d)(sin xxf 02d2sin ttf 20d)(cos ttf;d)(cos20 xxf（2）设设tx ,ddtx 0 x,t x,0 t 0d)(sinxxfx 0d)sin()(ttft,d)(sin)(0 ttft定积分的换元法定积分的换元法 0d)(sinttf 0d)(sinttft 0d)(sinxxf,d)(sin0 xxfx.d)(sin2d)(sin00 xxfxxfx 02dcos1sinxxxx 02dcos1sin2xxx 02)(cosdcos112xx 0)arctan(cos2x .42 )44(2 0d)(sinxxfx定积分的换元法定积分的换元法证证
7、(1)记记,d)()(Taaxxfa,0)()()(afTafa 即即.d)(d)(0 TTaaxxfxxf例例7，)0()(常数常数a定积分的换元法定积分的换元法 10d)(d)(nkTkTakTanTaaxxfxxf(2)100d)(nkTxxf Txxfn0d)(nxx0d2sin1所以所以 0d2sin1xxn 0d|cossin|xxxn 0d|)4sin(|2xxn 454d|sin|2 ttn 0dsin2ttnn22/+4xt令令(1)(1)为为周周期期的的函函数数，是是以以因因为为 x2sin1 定积分的换元法定积分的换元法例例8 计算计算解解.d)33(30222 xxxx
8、,43)23(3322 xxx令令),2|(|tan2323 uux则则,sec169)sec43()33(42222uuxx .dsec23d2uux 且且;30 ux.33 ux所以所以 30222d)33(xxxx 3322udcos23916)49tan233tan43(uuu 3022dcos)49tan43(2338 uuu 3022d)cos3(sin34 uuu302sin21234 uu .1338 奇函数奇函数定积分的换元法定积分的换元法定积分的换元法定积分的换元法 41.d)2(,01,cos11,0,e)(2xxfxxxxxfx计算计算设设且且则则设设,dd,2txtx
9、 .2,4;1,1 txtx当当时时当当 4121d)(d)2(ttfxxf于是于是2001e212tan2tt 2001decos1d2ttttt例例9解解.21e2121tan4 主主 要要 内内 容容1 定积分的换元法2 定积分的分部积分法定积分的分部积分法定积分的分部积分法定理定理2.,)(,)(1baCxvxu设则则)()(d)()(xvxuxxvxubaabbaxxvxud)()(证证:)()()()()()(xvxuxvxuxvxu)()(xvxuabxxvxuxxvxubabad)()(d)()(baxxvxud)()()()(xvxuabbaxxvxud)()(上积分两端在,
10、ba定积分的分部积分法定积分的分部积分法例例10 计算计算.darcsin210 xx解解令令,arcsin xu ,ddxv ,1dd2xxu ,xv 210darcsinxx 210arcsin xx 21021dxxx621 )1(d112120221xx 12 21021x .12312 则则定积分的分部积分法定积分的分部积分法20dcosttn20dcosxxn例例11.证明证明20dsinxxInn证证:令令20dcosxxn,22143231nnnn n 为偶数为偶数,3254231nnnn n 为奇数为奇数,2xt则则20dsinxxn022d)(sinttn令令,sin1xu
11、n,sin xv 则则,cossin)1(2xxnunxvcossincos1xxInn022022dcossin)1(xxxnn02022dcossin)1(xxxnInn2022d)sin1(sin)1(xxxnn2)1(nInnIn)1(由此得递推公式由此得递推公式21nnnnII于是于是mI2mm21212mI122mm而而0I20dx,220dsinxxInn201dsinxxI1故所证结论成立故所证结论成立.0I1I22mI2232mm42mI 214312mI1222mm32mI 3254本本 节节 小小 结结 基本积分法基本积分法换元积分法换元积分法分部积分法分部积分法换元必换限换元必换限配元不换限配元不换限边积边代限边积边代限思考与练习思考与练习1.提示提示:令令,txu_d)(sindd0100ttxxx则则ttxxd)(sin0100ud0 xu100sinx100sin2.设设,1,0)(连续在xf ,3)2(,1)0(ff且,5)2(f求求.d)2(10 xxfx 解解:xxfxd)2(10)2(d2110 xfx10)2(21xfx xxfd)2(102510)2(41xf2(分部积分分部积分)本本 节节 小小 结结作业作业P253 1(4),(10),(16);6,7(4),(9),(10)作作 业业
高等数学（上）课件：5_3 定积分的换元法和分部积分法
