一阶动态电路分析

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1、一阶动态电路分析p - 第3章 电路的暂态分析p 【教学提示】 暂态过程是电路的一种特殊过程，持续时间一般极为短暂，但在实际工作中却极为重要。本章介绍了电路暂态过程分析p 的有关概念和定律，重点分析p 了RC和RL一阶线性电路的暂态过程，由RC电路的暂态过程归纳出了一阶电路暂态分析p 的三要素法。最后讨论了RC的实际应用电路积分和微分电路。 【教学要求】 ? 理解一阶电路的暂态、稳态、鼓励、响应等的根本概念 ? 理解电路的换路定律和时间常数的物理意义 ? 理解用经典法分析p RC电路、RL电路的方法 ? 掌握一阶电路暂态分析p 的三要素法 ? 理解微分电路和积分电路的构成及其必须具备的条件 3

2、.1 暂态分析p 的根本概念 暂态分析p 的有关概念是分析p 暂态过程的根底，理解这些概念能更好地理解电路的暂态过程。 1.稳态 在前面几章的讨论中，电路中的电压或电流，都是某一稳定值或某一稳定的时间函数，这种状态称为电路的稳定状态，简称稳态steady state。 2.换路 当电路中的工作条件发生变化时，如电路在接通、断开、改接、元件参数等发生突变时，都会引起电路工作状态的改变，就有可能过渡到另一种稳定状态。把上述引起电路工作状态发生变化的情况称为电路的换路switching circuit。 3.暂态 换路后，电路由原来的稳定状态转变到另一个稳定状态。这种转换不是瞬间完成的，而是有一个过

3、渡过程，电路在过渡过程中所处的状态称为暂态transient state。 4.鼓励 鼓励excitation又称输入，是指从电输入的信号。鼓励按类型不同可以分为直流鼓励、阶跃信号鼓励、冲击信号鼓励以及正弦鼓励。 5.响应 电路在在内部储能或者外部鼓励的作用下，产生的电压和电流统称为响应。按照产生响应原因的不同，响应又可以分为： 1零输入响应zero input response：零输入响应就是电路在无外部鼓励时，只是由内部储能元件中初始储能而引起的响应。 2零状态响应zero state response：零状态响应就是电路换路时储能元件在初始储能为零的情况下，由外部鼓励所引起的响应。 3全

4、响应plete response：在换路时储能元件初始储能不为零的情况下，再加上外部鼓励所引起的响应。 3.一阶电路 电路中只含有一个储能元件或等效为一个储能元件的线性电路，其KVL方程为一阶微分方程，这类电路称为一阶电路，它包括RC电路和RL电路。 尽管暂态过程时间短暂，但它是客观存在的物理现象，在实际应用中极为重要。一方面可以利用暂态过程有利的一面，如在电子技术中利用它来产生波形锯齿波、三角波等。另一方面，也要防止它有害的一面，如在暂态过程中可能会出现过电压或过电流，会损坏元器件和电气设备。因此研究暂态过程可以掌握它的规律，以便利用它有利的一面，防止不利的一面，意义重大。 3.2 换路定律

5、 换路定律是电路暂态分析p 中的主要定律，它是求解电容的电压和电感的电流初始值的主要根据。 3.2.1 换路定律 电路的换路是产生暂态过程的外因，而要产生暂态过程，必须有储能元件电感或电容。当换路时，含有储能元件的电路的稳定状态发生了变化，电感和电容中的储能也要发生变化，但能量不dw能突变。因为假设能量突变，由p-可得功率为无穷大，而功率是有限的。因此，能量不能突dt11变。而电感的磁场能为WL?LiL2，电容中的电场能WC?CuC2，能量不能突变，这就意味着电22感中的电流和电容上的电压不能突变。所以换路前的终了值应等于换路后的初始值，这一规律称为电路的换路定律switching law。

6、假设t=0_表示换路前终了瞬间，t=0+表示换路后初始瞬间，那么换路定律可以用公式表示为： uC0?uC0? i?i L0?L0?3.2.2 初始值确实定 1.初始值的求解步骤 换路定律适用于换路瞬间，由它可以确定换路后uC或iL的初始值，再由这两个初始值来确定换路后电路的其他电压或电流的初始值。以下为求初始值的求解步骤： 1由t?0?的等效电路求出uC或i。 0?L0?2由换路定律确定uC或i。 0?L0?3由t?0?的等效电路，利用uC或i求出换路瞬间电路中的其他电量的初始值。 0?L0?2.等效电路的画法 在t?0?和t?0?时，等效电路的画法应根据以下几点： 1换路前电容或电感上没有储

7、能： t?0?的等效电路中，所有电量的值为0，f(0?)?0。 t?0?的等效电路中，电容视为短路，电感视为开路。 这是因为t?0?时，由换路定律知uC=0，而此时电容中有电流，所以电容视为短0?uC0?i路；i=0，而此时电感两端有电压，所以电感视为开路。 L0?L0?2换路前电容或电感上有储能且已达稳态， 0?t?0?的等效电路中，电容视为开路，其电压为uC；电感视为短路，其电流为i； L0?diduc0?0，uL?LL，换路前达稳态时，iCdtdtu?0。所以电容视为开路，其电压为uC0?；电感视为短路，其电流为i。 L0?L0?这是因为电容与电感的伏安关系分别为iC?C0?t?0?的等

8、效电路中，电容视为一个恒压，电压为uC；电感视为一个恒流，电流为i。 L0?这是因为换路时电容的电压和电感的电流不能突变，所以电容视为一个恒压，电压为uC0?；电感视为一个恒流，电流为i。 L0?3.2.3 稳态值确实定 换路后的电路到达新的稳态后，电压和电流的数值称为稳态值，当t-时，电路又达新的稳态。 ?0，i?0，其它电量的稳态值也为零。 假设t-时电感或电容无储能，那么uCL?0，u?0而uC?0，i?0。假设t-时电感或电容有储能，因已达稳态，那么iCLL? 所以在t-的等效电路中，电容视为开路，其电压为uC；电感视为短路，其电流为i。L再利用电容开路和电感短路求其它电量的稳态值。

9、【例3.1】电路如图3.2.1所示，E=12V，R1=4，R2=2，开关S断开前电路已达稳态。求S断开后， 0?0?1uC、iC、uR。 10? ? 2uC、iC、uR。 1? S + E iC + R2 U2 - R1 - C 图3.2.1 解：1求初始值 画出t?0?时的等效电路如图3.2.2a所示。 + 12V - + 2 uC(0-) iC(0+) + 4V 4 - - + 2 uR2(0+) - a b 图3.2.2 由题意知：换路前电路已处于稳态，电容C视为开路，由等效电路得： uC0?0?uC0?由换路定律得：uC=4V 2?12?4V 4?2画出t?0?时的等效电路如图3.2.

10、2b所示，此时电容视为一个电压为4V的恒压，那么 iC(0?)-4-2A 2uR?4V 20?2求稳态值 由题意知：达稳态时，电容没有储能，那么 uC?0V iC?0A uR?0V 2?3.3 RC电路的暂态分析p 本节将通过最简单的RC电路来分析p 其响应，也就是研究RC电路的充放电规律。 3.3.1 RC电路的零输入响应 1 S + E 2 + uR - R C iC + uC + uR - R C iC + uC - - - a b 图3.3.1 RC电路的零输入响应 在图3.3.1所示aRC一阶电路中，换路前开关S合在“1”处，RC电路与直流电连接，电通过电阻R对电容器充电至U0，t=

11、0时换路，即将开关S转换到“2”处，试分析p 换路后uC、iC的变化规律。 因为换路后的电路外部鼓励为零，内部储能元件电容换路前有初始储能，所以该电路的响应为零输入响应。分析p RC电路的零输入响应也就是分析p 其放电规律。 换路后等效电路如图3.3.1b，由KVL可得： uC?uR?0 由于uR=R i，将i?Cduc代入上式得微分方程： dtduCduCuC?uC?0 或 -0 dtdtRC这是一个一阶常系数线性齐次微分方程，它的通解为： RCuC?Aept 式中A和p是待定系数，A为常数，p为该微分方程特征方程的根。 将通解代入微分方程式得： RCpAept?Aept?0 整理后得到如下

12、的特征方程： RCp?1?0 特征根为： 1 RC再来求常数A，可由初始条件确定，由题意知换路前电容电压 p-uC0?U0 根据换路定律得： uC0?uC0?U0 令t=0将其代入微分方程的通解得： A?uC0?U0 将p和A的结果代入方程的通解得： uC?U0e?tRC 或 uC?uC0?e 0 ?tRC 其随时间变化的曲线如图3.3.2a所示。由图可见，它的初始值为U，按指数规律衰减至零。 U0 uCiCt 0 t ?U0R a b 图3.3.2 RC电路的响应曲线 由iC?Cduc可求出iC的变化规律： dtU?duciC?C-0eRC dtRt其随时间变化的曲线如图3.3.2 (b)所示。由图可见，它的初始值为U0，按指数规律衰减至零。 通过分析p uC 、iC的变化规律可见，电路中各处的电压和电流均按指数规律变化。当上面的暂态过程完毕时，电路处于稳定状态，这时电容端电压uC和电流iC的稳态值均为零。暂态过程进展的快慢，取决于电路参数R和C的乘积。 第 10 页 共 10 页