初等数论开课

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1、Number Theory专业基础课程专业基础课程开课介绍开课介绍Email：陈尽东陈尽东 研究数的规律，特别研究数的规律，特别是整数性质的数学分支。是整数性质的数学分支。是数论的一个最古老的分是数论的一个最古老的分支。它以算术方法为主要支。它以算术方法为主要研究方法，主要内容有整研究方法，主要内容有整数的整除理论、不定方程数的整除理论、不定方程、同余式等。、同余式等。初等数论就是用初等、初等数论就是用初等、朴素的方法去研究数论。朴素的方法去研究数论。另外还有解析数论（用解另外还有解析数论（用解析的方法研究数论。）、析的方法研究数论。）、代数数论（用代数结构的代数数论（用代数结构的方法研究数论

2、）。方法研究数论）。中外数论科学家中外数论科学家毕达哥拉斯毕达哥拉斯:古希古希腊腊,初等数论的先初等数论的先驱。大约生于公元驱。大约生于公元前前580580年年-500-500 年。年。最大贡献最大贡献“毕达哥毕达哥拉斯定理拉斯定理”（勾股（勾股定理）。定理）。中外数论科学家中外数论科学家 欧几里德欧几里德:公元前公元前4 4世纪，世纪，几何原本几何原本通过通过102102个命题，个命题，初步建立了整数的初步建立了整数的整除理论。他关于整除理论。他关于“素数有无穷多个素数有无穷多个”的证明，被认为的证明，被认为是数学证明的典范是数学证明的典范。中外数论科学家中外数论科学家拉格朗日拉格朗日:法国

3、数学家法国数学家、物理学家。、物理学家。17361736年年1 1月月2525日生于意大利都灵，日生于意大利都灵，18131813年年4 4月月10 10日卒于巴黎日卒于巴黎。他在数学、力学和天。他在数学、力学和天文学三个学科领域中都文学三个学科领域中都有历史性的贡献，其中有历史性的贡献，其中尤以数学方面的成就最尤以数学方面的成就最为突出。为突出。中外数论科学家中外数论科学家欧拉欧拉:1707:1707年出生年出生在瑞士。在瑞士。18 18世纪世纪最优秀的数学家最优秀的数学家，也是历史上最，也是历史上最伟大的数学家之伟大的数学家之一，被称为一，被称为“分分析的化身析的化身”。中外数论科学家中外

4、数论科学家费马费马:1601:16011665 1665，法国著名数学家法国著名数学家，被誉为，被誉为“业余业余数学家之王数学家之王”、“费马大定理费马大定理”、“费马小定理费马小定理”。中外数论科学家中外数论科学家刘徽，生于公元刘徽，生于公元250250年年左右，三国时期数学左右，三国时期数学家，是世界上最早提家，是世界上最早提出十进小数概念的人出十进小数概念的人，著，著九章算术注九章算术注10 10卷；卷；海岛算经海岛算经；九章重差图九章重差图.割割圆术求圆面积和圆周圆术求圆面积和圆周率率.中外数论科学家中外数论科学家祖冲之，祖冲之，429429500500，数学家，科学家，数学家，科学家

5、，算出算出在在3.14159263.1415926和和3.14159273.1415927之间，之间，求球体积公式求球体积公式著有著有缀术缀术.天文天文历法和机械历法和机械方面的成就方面的成就略略。中外数论科学家中外数论科学家秦九韶秦九韶 约约1202120212611261，著，著数书九章数书九章,最重要的数最重要的数学成就学成就“大衍总数术大衍总数术”一次同余组解法一次同余组解法 与与“正负开方术正负开方术”高次方程数值解法高次方程数值解法，在中世纪世界，在中世纪世界数学史上占有突出地位。数学史上占有突出地位。李冶李冶119211921279,1279,著著测圆海镜测圆海镜，主要目，主要目

6、的就是说明用开元术列方程的方法。的就是说明用开元术列方程的方法。“开元开元术术”与现代代数中的列方程法相类似。与现代代数中的列方程法相类似。杨辉杨辉12501250前后前后，是世界上第一个排出丰富的纵横，是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家。著图和讨论其构成规律的数学家。著详解九章算详解九章算法法,日用算法日用算法等。等。中外数论科学家中外数论科学家朱世杰朱世杰13001300前后前后，著，著算学启蒙算学启蒙和和四四元玉鉴元玉鉴。算学启蒙算学启蒙是一部通俗数学是一部通俗数学名著，曾流传海外，影响了朝鲜、日本名著，曾流传海外，影响了朝鲜、日本数学的发展。数学的发展。四元玉鉴四元

7、玉鉴则是中国宋元则是中国宋元数学高峰的又一个标志，其中最杰出的数数学高峰的又一个标志，其中最杰出的数学创作有学创作有“四元术四元术”多元高次方程列式多元高次方程列式与消元解法与消元解法、“垛积法垛积法”高阶等差数列高阶等差数列求和求和 与与“招差术招差术”高次内插法高次内插法。素数素数 (质数质数)：所谓素数，就是一个正整数，它除了所谓素数，就是一个正整数，它除了本身和本身和 1 1 以外并没有任何其他因子。以外并没有任何其他因子。素数就好象是正整数的原子一样，著素数就好象是正整数的原子一样，著名的高斯唯一分解定理说，任何名的高斯唯一分解定理说，任何一个整数。可以写成一串质数相乘的一个整数。可

8、以写成一串质数相乘的积。但是至今仍然没有一个一般的特积。但是至今仍然没有一个一般的特别使用的式子可以表示所有的素数。别使用的式子可以表示所有的素数。1 1、哥德巴赫猜想、哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)(Goldbach Conjecture)“所有的所有的大于大于2 2的的偶数，都偶数，都可以表示可以表示为两个素为两个素数数”。哥德巴赫猜想有两个内容：哥德巴赫猜想有两个内容：第一部分叫做偶数的猜想第一部分叫做偶数的猜想;第二部分叫做奇数的猜想。第二部分叫做奇数的猜想。偶数的猜想是说，大于等于偶数的猜想是说，大于等于6 6的的偶数一定是两个奇素数的和。奇偶数一定是两个奇素

9、数的和。奇数的猜想指出，任何一个大于等数的猜想指出，任何一个大于等于于9 9的奇数都是三个奇素数的和。的奇数都是三个奇素数的和。例如：例如：15=3+5+777=53+17+7461=449+7+58=5+312=7+5哥德巴赫猜想的历程哥德巴赫猜想的历程19201920年，挪威的布朗证明了年，挪威的布朗证明了“9+9”9+9”。19241924年，德国的拉特马赫证明年，德国的拉特马赫证明“7+7 7+7”。19321932年，英国的埃斯特曼证明了年，英国的埃斯特曼证明了“6+6”6+6”。19371937年，意大利的蕾西先后证明了年，意大利的蕾西先后证明了“5+7”,5+7”,“4+9”,“

10、3+15”“4+9”,“3+15”和和“2+366”2+366”19381938年，苏联的布赫年，苏联的布赫 夕太勃证明夕太勃证明“5+5”“5+5”。19401940年，苏联的布赫年，苏联的布赫 夕太勃证明了夕太勃证明了“4+4”“4+4”。19481948年，匈牙利的瑞尼证明了年，匈牙利的瑞尼证明了“1+c”“1+c”，其中，其中c c是一很大的自然数。是一很大的自然数。19571957年，中国的王元先后证明了年，中国的王元先后证明了 “3+3”“3+3”和和“2+3”“2+3”。19561956年，中国的王元证明了年，中国的王元证明了“3+4”“3+4”。19621962年，中国的潘承洞

11、和苏联的巴年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩证明了尔巴恩证明了“1+5”1+5”，中国的王，中国的王元证明了元证明了“1+4”1+4”。19651965年，苏联的布赫年，苏联的布赫 夕太勃和小维诺格拉多夕太勃和小维诺格拉多夫，及夫，及 意大利的朋比利证明了意大利的朋比利证明了“1+3”1+3”。19661966年，中国的陈景润证明了年，中国的陈景润证明了 “1+2”1+2”。2 2、孪生素数猜想：、孪生素数猜想：所谓孪生素数指的就是所谓孪生素数指的就是这种间隔为这种间隔为 2 2 的相邻素数的相邻素数，它们之间的距离已经近，它们之间的距离已经近得不能再近了，就象孪生得不能再近了，就象孪生兄弟一样

12、。兄弟一样。最小的孪生素数是最小的孪生素数是 (3,5)(3,5)在在 100 100 以内的孪生素数还有以内的孪生素数还有 (5,7),(11,13),(17,19),(29,31),(5,7),(11,13),(17,19),(29,31),(41,43),(59,61)(41,43),(59,61)和和 (71,73)(71,73)，总，总计有计有 8 8 组。组。孪生素数猜想：孪生素数猜想：存在无穷多个素存在无穷多个素数数 p,p,使得使得 p+2 p+2 也也是素数。是素数。截至截至20022002年底，人们发现的最年底，人们发现的最大的孪生素数是：大的孪生素数是：(33218925

13、(332189252169690-1,2169690-1,33218925332189252169690+1)2169690+1)在证明孪生素数猜想上的成果大在证明孪生素数猜想上的成果大体可以分为两类。体可以分为两类。第一类是非估算性的结果，第一类是非估算性的结果，这一方面迄今最好的结果是一九这一方面迄今最好的结果是一九六六年由已故的我国数学家陈景六六年由已故的我国数学家陈景润利用筛法润利用筛法 所取得的。陈景润所取得的。陈景润证明了：存在无穷多个素数证明了：存在无穷多个素数 p,p,使使得得 p+2 p+2 要么是素数，要么是两个要么是素数，要么是两个素数的乘积。素数的乘积。有无穷多个素数：

14、有无穷多个素数：这个古老的命题最初是这个古老的命题最初是由古希腊数学家欧几里德由古希腊数学家欧几里德在他的不朽著作几何原在他的不朽著作几何原本里给出的。本里给出的。证明（反证法）：证明（反证法）：假设命题不真，则只有有限多个素数，假设命题不真，则只有有限多个素数，设所有的素数是设所有的素数是2=a2=a1 1aa2 2aaNai i(i=1,2n).(i=1,2n).无论是哪无论是哪种情况，都将和假设矛盾。这个矛盾种情况，都将和假设矛盾。这个矛盾就完成了我们的证明，所以确实有无就完成了我们的证明，所以确实有无穷多个素数！穷多个素数！亲和数：亲和数：如果两个数如果两个数a a和和b b，a a的

15、的所有真因数之和等于所有真因数之和等于b,bb,b的所有真因数之和的所有真因数之和等于等于a,a,则称则称a,ba,b是一对是一对亲和数亲和数。220220和和284284 220220的因数除去本身之外，有的因数除去本身之外，有1 1、2 2、4 4、5 5、10 10、11 11、2020、2222、4444、5555、110110。把这些。把这些数相加数相加1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=2841+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284。它们的和正好等于它们的和正好等于284284嘛！嘛！284284也一样，也一样，因数（不包含本身）有

16、因数（不包含本身）有1 1、2 2、4 4、71 71、142142，把这，把这5 5个数加起来就是个数加起来就是220220。难道这。难道这不奇妙吗？不奇妙吗？又如又如11841184和和12101210，它们，它们也是一对相亲数。也是一对相亲数。18 18世世纪著名数学家欧拉，就纪著名数学家欧拉，就曾经一次向大家公布了曾经一次向大家公布了6060对相亲数。对相亲数。完全数完全数:如果一个数除去这个数本身不算外如果一个数除去这个数本身不算外，其他所有因数的和还等于这个数，其他所有因数的和还等于这个数，就把这个数叫做，就把这个数叫做完全数完全数。完全数。完全数是一些特殊的自然数。比如是一些特殊

17、的自然数。比如6 6，就，就是一个完全数。因为是一个完全数。因为6 6的因数是的因数是1 1、2 2、3 3、6 6。除去。除去6 6不算，不算，1+2+3=61+2+3=6。这。这证明了证明了6 6是最小的完全数。是最小的完全数。2828、496496、81288128、130816130816、33550336.33550336.这些都是完全这些都是完全数。现在数学家们用电子计数。现在数学家们用电子计算机来验算，已经找到有好算机来验算，已经找到有好几万位的数值非常大的完全几万位的数值非常大的完全数。事实上，至今，人类只数。事实上，至今，人类只发现了发现了4444个完全数。个完全数。费马费马

18、(Fermat):(Fermat):数论大师数论大师费马大定理：费马大定理：n2n2是整数，则方程是整数，则方程x xn n+y+yn n=z=zn n没有没有满足满足xyz0 xyz0的整数解。这个是不定的整数解。这个是不定方程，它已经由美国数学家证明方程，它已经由美国数学家证明了了(1995(1995年年)，证明的过程是相当艰，证明的过程是相当艰深的！深的！费马小定理：费马小定理：假如假如p p是质数，且是质数，且(a,p)=1(a,p)=1，那么那么 a a(p-1)(p-1)1 1（mod pmod p）假如假如p p是质数，且是质数，且a,pa,p互质，那么互质，那么 a a的的(p

19、-1)(p-1)次方除以次方除以p p的余数恒等的余数恒等于于1 1。成果：成果：(1)(1)全部素数可分为全部素数可分为4n+14n+1和和4n+34n+3两种形两种形式。式。(2)(2)形如形如4n+14n+1的素数能够，而且只能够的素数能够，而且只能够以一种方式表为两个平方数之和。以一种方式表为两个平方数之和。(3)(3)没有一个形如没有一个形如4n+34n+3的素数，能表的素数，能表示为两个平方数之和。示为两个平方数之和。(4)(4)形如形如4n+14n+1的素数能够且只能够的素数能够且只能够作为一个直角边为整数的直角三作为一个直角边为整数的直角三角形的斜边；角形的斜边；4n+14n+

20、1的平方是且只的平方是且只能是两个这种直角三角形的斜边能是两个这种直角三角形的斜边；类似地，；类似地，4n+14n+1的的m m次方是且只能次方是且只能是是m m个这种直角三角形的斜边。个这种直角三角形的斜边。(5)(5)边长为有理数的直角三角形的面边长为有理数的直角三角形的面积不可能是一个平方数。积不可能是一个平方数。(6)(6)发现了第二对亲和数：发现了第二对亲和数：1729617296和和1841618416。(7)4n+1(7)4n+1形的素数与它的平方形的素数与它的平方都只能以一种方式表达为两都只能以一种方式表达为两个平方数之和；它的个平方数之和；它的3 3次和次和4 4次方都只能以两种表达为两次方都只能以两种表达为两个平方数之和；个平方数之和；5 5次和次和6 6次方次方都只能以都只能以3 3种方式表达为两个种方式表达为两个平方数之和，以此类推，直平方数之和，以此类推，直至无穷。至无穷。