专题 动量守恒定律中的碰撞问题

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1、专题：碰撞中的动量守恒碰撞1碰撞指的是物体间相互作用持续时间很短，而物体间相互作用力很大的现象 在碰撞现象中，一般都满足内力远大于外力，故可以用动量守恒定律处理碰撞问题按碰撞 前后物体的动量是否在一条直线上有正碰和斜碰之分，中学物理只研究正碰的情况 2一般的碰撞过程中，系统的总动能要有所减少，若总动能的损失很小，可以略去不计， 这种碰憧叫做弹性碰撞其特点是物体在碰撞过程中发生的形变完全恢复，不存在势能的储 存，物体系统碰撞前后的总动能相等。若两物体碰后粘合在一起，这种碰撞动能损失最多 叫做完全非弹性碰撞其特点是发生的形变不恢复，相碰后两物体不分开，且以同一速度运 动，机械能损失显著。在碰撞的一

2、般情况下系统动能都不会增加（有其他形式的能转化为机 械能的除外，如爆炸过程），这也常是判断一些结论是否成立的依据3弹性碰撞题目中出现：“碰撞过程中机械能不损失”.这实际就是弹性碰撞.设两小球质量分别为m m2，碰撞前后速度为V、v2、V/、v2/,碰撞过程无机械能损失，求碰后二者的速度.根据动量守恒m V+m2 v2=m v/+m2 v2/ 根据机械能守恒m v2十力m2v22= m v/2十m2 v2/2m 一 m 勺 + 2m v 由得V/=+2 1m + m12v2/=2 一 m12 + 2mvm +m仔细观察V/、v2/结果很容易记忆,当 v2=0 时 v1/=I 一 m 1421 ,

3、m + m12v2/=2m v1-m + m12 当v2=0时；m=m2时v/=0, v2/=v这就是我们经常说的交换速度、动量和能量. mm2，v/=v, v2/=2v.碰后m几乎未变，仍按原来速度运动，质量小的物体 将以m的速度的两倍向前运动。 mm2，v/产一 v, v2/=0.碰后m被按原来速率弹回，叫几乎未动。v/、 v2/【例 】试说明完全非弹性碰撞中机械能损失最多. 解析：前面已经说过，碰后二者一起以共同速度运动的碰撞为完全非弹性碰撞 设两物体质量分别为m. m2，速度碰前V、v2，碰后 由动量守恒：miVi+mQVQhmiV/十 m2v2/损失机械能：Q=mv2+m2v22m

4、v/2m2 v2/2由得 mv+m2vm2v+m2v2=mv/+ m2v/m2v/+m2v2/ 写成(m+m2)vm2 (vv2)= (m十 m2)v/m2 (v/v2/) 即(m+m2)(v v/) = m2 (vv2) (v/v2/) 于是(V V/) = m2 (vv2) (v/v2/) / (m+m2) 同理由得 mv+mv2mv2+m2v2=mv/+ mv2/mv2/+m2v2/ 写成(m+m2)v2+m (vv2)= (m十 m2)v2/+m (v/v2/)(mm2) (v2 v2/) = m(v/v2/)(vv2) (v2 v2/) = m(v/v2/)(vv2) / (mm2)

5、 代入得 Q=mv2+m2v22mv/2m2v2/2=m(v2v/2)+m2(v22v2/2) =m(vv/) (v+v/)+m2(v2v2/) (v2+v2/)=%m(V+V/) m2(v1v2) (v1/v2/)/(m1+m2) +m2(v2+v2/)m1(v1/v2/) (v1v2)/(m1 +叫)=m1 m2/(m1+m2) v12v1v2+v1v1/v2v1/v1v1/+v1v2/v1/2+v1/v2/+v2v1/v2v2/v1v2+ v22+v1/v2/v2/2v1v2/+v2v2/=m1 m2/(m1+m2) v12v1v2v1v2+v22v1/2+v1/v2/+v1/v2/v2

6、/2= m1 m2/(m1+m2)(v1 v2)2(v1/v2/)2=m m 1 2 m + m1 2 由式可以看出:当v1/= v2/时，损失的机械能最多.【例2】如图所示，一轻质弹簧两端各连接一质量均为m的滑块A和B，两滑 块都置于光滑水平面上.今有质量为m/4的子弹以水平速度V射入A中不再 穿出，试分析滑块B何时具有最大动能其值为多少？解析：对子弹和滑决A根据动量守恒定律mv/4=5mv/4所以v/=v/5。当弹簧被压缩后又恢复原长时，B的速度最大，具有的动能也最大，此过程动能与动量 都守恒55mv / = mv mv44 AB1 5151x mv/2 = x mv2 + x mv22

7、424a 2 b由得：vB=2v/9所以B的动能为EkB=2mv2/81答案：弹簧被压缩又恢复原长时；EkB=2mv2/81【例3】甲物体以动量P1与静止在光滑水平面上的乙物体对心正碰，碰后乙物体的动量为 P2，则P2和P1的关系可能是（）A. P2P1； D.以上答案都有可能解析：此题隐含着碰撞的多种过程.若甲击穿乙物体或甲、乙两物体粘在一起匀速前进 时有P2P1;故四个答案都是可能的.而 后三个答案往往漏选答案：ABCD【例4】如图所示，在支架的圆孔上放着一个质量为M的木球，一质量为m的子弹以速度 v0从下面竖直向上击中子弹并穿出，使木球向上跳起高度为h,求子弹穿过木球后上升的高 度。【解

8、析】把木球和子弹作为一个系统研究，在子弹和木球相互作用时间内，木球和子弹要受到重力作用，显然不符合动量守恒的条件。但由于子弹和木球间的作用力内力）远大于它 们的重力（外力），可以忽略重力作用而认为系统动量守恒。设子弹刚穿过木球时，子弹的速度为v”木球的速度为v2，竖直向上为正方向。 对系统，据动量守恒：mv=mv1+Mv2 木球获得速度v2后，上升的过程机械能守恒：力Mv22=Mgh mmv Mj 2 gh 两式联立得气=1m子弹射穿木球后的上升过程机械能守恒：力mv2=mgH，将v1代入得子弹上升的最大高度:Cmv M ：2gh）2 gm2H =0-【例5】有两块大小不同的圆形薄板(厚度不计

9、)质量分别为M和m,半径分别为R和r, 两板之间用一根长为0. 4m的轻绳相连结.开始时，两板水平放置并叠合在一起，静止于 高度为0. 2m处如图(a)所示.然后自由下落到一固定支架C上，支架上有一半径为R/M(rVR/VR =的圆孔，圆孔与两薄板中心在圆板中心轴线上，木板与支架发生没有机械能损 失的碰撞，碰撞后，两板即分离，直到轻绳绷紧.在轻绳绷紧瞬间，两物体具有共同速度V， 如图4 一 22 (b)所示.问：若M=m,则v值为多大.(2)若M/m=k，试讨论v的方向与k值间的关系.解析：M、m与固定支架碰撞前的自由下落，所以v02=2ghv0= 2 x 10 x 0 - 2 =2 m /

10、sv12=v02 一 2g h1 v2=v0+gt又 hl+h2=0. 4v1=1m/s碰撞后，M原速返回向上作初达v0的匀减速运动，m作初速为v0向下匀加速运动. 设绳刚要绷直时，M的速度为v.上升的髙度为儿，m的速度为v2，下降的髙度为h2， 历时间为t,则：v1=v0 一 gt v22=v02 一 2g h2由上五式解得：v2=3 m/s，在绳绷紧瞬间，时间极短，重力的冲量忽略不计，则M与m组成的系统动量守恒.设向下 为正贝Umv2Mv1= (M+m) v,即 v= mV2 - MV1M + m(1)当 M=m 时，v=lm/s (2)当 M/m=k 时.1 + k讨论：kV3时，v0两

11、板向下运动，k3时，v0两板向上运动， k=3时，v = 0两板瞬时静止【例6】如图所示，一辆质量M=2 kg的平板车左端放有质量m=3 kg的小滑块，滑块与平板 车之间的动摩擦因数卩=0.4,开始时平板车和滑块共同以v0=2m/s的速度在光滑水平面上向 右运动，并与竖直墙壁发生碰撞，设碰撞时间极短且碰撞后平板车速度大小保持不变，但方 向与原来相反.平板车足够长，以至滑块不会滑到平板车右端.(取g=10 m/s2)求：(1) 平板车第一次与墙壁碰撞后向左运动的最大距离；(2) 平板车第二次与墙壁碰撞前瞬间的速度v2；(3) 若滑块始终不会滑到平板车右端，平板车至少多长.解析:平板车第一次与竖直

12、墙壁发生碰撞后速度大小保持不变，但方向与原来相反在此过 程中，由于时间极短，故滑块m的速度与其在车上的位置均未发生变化.此外，由于相对 运动，滑块m和平板车间将产生摩擦力，两者均做匀减速运动，由于平板车质量小，故其 速度减为0时，滑块m仍具有向右的不为0的速度，此时起，滑块m继续减速，而平板车 反向加速一段时间后，滑块M和平板车将达到共同速度，一起向右运动，与竖直墙壁发生第二次碰撞(1)设平板车第一次碰墙壁后，向左移动s,速度减为0.(由于系统总动量向右，平板车 速度为0时，滑块还具有向右的速度).根据动能定理有：一卩mgS=0 Mv02代入数据得:Mv 2s 二912 卩 mg2 x 221

13、=m2 x 0.4 x 3 x 103(2)假如平板车在第二次碰墙前还未和滑块相对静止，那么其速度的大小肯定还是2 m/s,滑 块的速度则大于2 m/s，方向均向右，这显然不符合动量守恒定律.所以平板车在第二次碰墙前肯定已和滑块具有共同速度v2.此即平板车碰墙瞬间的速度mv0 一 Mv0=(M+m) v2, m - M1 Iv =v = v = 0.4m / s2 m + M 05 0力(M+m)v02=pmgL, L =(M + m )v 2a 2卩mg5 x 225=m2 x 0.4 x 3 x106(3) 平板车与墙壁第一次碰撞后到滑块与平板车又达到共同速度v前的过程，可 用图(a) (b) (c)表示.图(a)为平板车与墙碰撞后瞬间滑块与平板车的位置，图(b) 为平板车到达最左端时两者的位置，图(c)为平板车与滑块再次达到共同速度时 两者的位置.在此过程中滑块动能减少等于摩擦力对滑块所做功卩mgs/,平板车 动能减少等于摩擦力对平板车所做功卩mgs/ (平板车从B到A再回到B的过程中 摩擦力做功为0),其中s ,s分别为滑块和平板车的位移滑块和平板车动能总减 少为卩mgL,其中L=s/+s为滑块相对平板车的位移.此后，平板车与墙壁发生多 次碰撞，每次情况与此类似，最后停在墙边.设滑块相对平板车总位移为L,则有：L即为平板车的最短长度.