倒立摆极点配置法

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1、直线一级倒立摆状态反馈一、控制对象建模题目：直线型倒立摆系统，是由沿直线导轨运动的小车以及一端固定于小车上的匀质长 杆组成的系统。小车可以通过传动装置由交流伺服电机驱动。小车导轨一般有固定的行程, 因而小车的运动范围是受到限制的。直线型一级倒立摆系统的实际控制要求可归结为3点：(1) 倒立摆小车控制过程的最大位移量不能超过小车轨道的长度；(2) 为保证倒立摆能顺利起立，要求初始偏角小于20 ;(3) 为保证倒立摆保持倒立的平衡态，要求控制系统响应速度足够快.为此，设调整时间小于 2 s,峰值时间小于0. 5 s.倒立摆的特性：1) 非线性倒立摆是一个典型的非线性复杂系统，实际中可以通过线性化得

2、到系统的近似模型，线 性化处理后再进行控制。也可以利用非线性控制理论对其进行控制。倒立摆的非线性控制正 成为一个研究的热点。2) 不确定性主要是模型误差以及机械传动间隙，各种阻力等，实际控制中一般通过减少各种误差来 降低不确定性，如通过施加预紧力减少皮带或齿轮的传动误差，利用滚珠轴承减少摩擦阻力 等不确定因素。3) 耦合性倒立摆的各级摆杆之间，以及和运动模块之间都有很强的耦合关系，在倒立摆的控制中 一般都在平衡点附近进行解耦计算，忽略一些次要的耦合量。4) 开环不稳定性倒立摆的平衡状态只有两个，即在垂直向上的状态和垂直向下的状态，其中垂直向上为 绝对不稳定的平衡点，垂直向下为稳定的平衡点。5)

3、 约束限制由于机构的限制，如运动模块行程限制，电机力矩限制等。为了制造方便和降低成本， 倒立摆的结构尺寸和电机功率都尽量要求最小，行程限制对倒立摆的摆起影响尤为突出，容 易出现小车的撞边现象。为了简化系统分析，在实际的模型 建立过程中，要忽略空气流动阻力，以 及各种次要的摩擦阻力。这样，可将倒 立摆系统抽象成小车和匀质刚性杆组成 的系统，如右图所示。本系统内部各相关参数定义如下：M 小车质量 m摆杆质量b小车摩擦系数l摆杆转动轴心到杆质心的长度I 摆杆惯量F 加在小车上的力x 小车位置0摆杆与垂直向上方向的夹角0摆杆与垂直向下方向的夹角(考虑到摆杆初始位置为竖直向下)N 和 P 为小车与摆杆相

4、互作用力的水下图是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中平和垂直方向的分量。-Ki分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：Mx -F -bx- N由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：W亦+加曲-皿沪切倍把这个等式代入上式中，就得到系统的第一个运动方程：(M + m)x + bx + ml& cos Q - ml61 sin 0 - F (1-1)对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：1 -1 厂w=i点直沁e mo CCSo力矩平衡方程如下：-Pl sin-AVcos = IQ式中：0 = tt + cos = -cossin) = -sin6* 合并这两个方程，约去p

5、和N，得到第二个运动方程：（/+ Zg/suu9 - 一用cos（ 2）用u来代表被控对象的输入力F，线性化后得到该系统数学模型的微分方程表达式:(I + mV 莎-mgl0 = mix对方程组（2-3）进行拉普拉斯变换，得到传递函数模型：整理后得到以输入力u为输入量，以摆杆摆角0为输出量的传递函数:(M + 血)壬 + bx- = h11U丄 b(I +； (Af :bntgl& HSS q式中：0 = K +田）（八加）_伽门状态空间数学模型由现代控制理论原理可知，控制系统的状态空间方程可写成如下形式:X -AX + Bhv = CX + DuX = .X 7曲用沁厂方程组（1-3）对X,

6、解代数方程，得到如下解:“1M 十 mj+Mnil1 “ I(M + m) + Mmi2 炉 + 儿忖 + 權)+伽尸0 二0点_. wgl（M 4- m）両莎+議产而+前+赢F-HfJb整理后得到系统状态空间方程:(11001- 0 nJ/ + WJV时+丽十倆阴+册 +输FV.tX/(3f + m)+Mutl$00010(1-jfi/bjrig/(M + iw)0皿LT.IHI(M+m + r/(Af + fflJ + Afiw/1.r .J(/ + 川_1 0 0 o-J70 10 0r0=+D ;0 1 O00 0 L0_以上就是一阶倒立摆小车系统的状态空间表达式。二、系统特性分析现规

7、定，系统内部各相关参数为：M 小车质量 0.5 Kg ；m 摆杆质量 0.2 Kg ；b 小车摩擦系数 0.1 N/m/sec ；l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.3 mI 摆杆惯量 0.006 kg*m*m ；所以传递函数为：UKS) = s4 + 0.1818$驚羸2 -4.545s以外界作用力作为输入的系统状态方程：xx申0100 一x0 0-0.18182 . 67270x1.81820001+00- 0 . 454531 .181804.5455u1000 一x0 0100x0y =0010+000010u在MATLAB里输入状态方程A=0 1 0 0;0 -0.1818 2.67

8、270;01;0-0.4545 31.1818 0B=0;1.8182;0;4.5455C=1 0 0 0;0 1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1D=0;0;0;0A =0 1.0000 00 -0.18182.67270001.00000-0.454531.18180B =01.818204.5455C =1000010000100001D =0000利用传递函数得到如下响应曲线 nunij den=s2tf (Aj Bj Cj D)num0. 00001. 8182-0. 0000-44.54601. 8182-0. 0000-44.54600. 00004.5455-0. 000

9、04.5455-0. 00000. 0000den =1. 00000. 1818-31.1818-4.4541Step(num,den)Step Response0/1 50.35Tlrre tsecj0.05系统响应曲线是发散的z,p,k=residue(num,den)p =-5. 60415.5651-0. 1428系统有一个极点在右半平面，所以系统是不稳定的。利用matlab命令uc=ctrb(A,B)； r=rank(uc)来判断系统能控性 结果如下：r =4该系统可控。三、搭建 Simulink 仿真平台t / 1= ack er (AjBjP-10. D000-24.2335

10、-1：.69L3E4.152?9. 6965-1O.OCO0+ 2.9273i -1.5000-2. 92?0i在MATLAB的Simulink环境下，可以搭建出如下图所示的状态反馈控制系统仿真试验研究 平台。0.030.020.01026810性能指标2超调量b % = 20%，调整时间ts S （稳态误差土 5%）系统响应如图所示：-0.01 hse” i-E2 = 20%所以，E 二 0.456t = 1.5 ss E n所以 = 4 .386n九 =-E + J1 E 2 j = 2 3.903j另令九3 = 12 1,2nn-12. OOOC-15. 0000-2. 0000 + 3

11、. E03Ji -2. 3000 - 3. 9O3Oi Knacker (A, B,F)-77.71?7 -27.9207105. 537?1T. 9482在 MATLAB 的 Simulink 环境下，可以搭建出如下图所示的状态反馈控制系统仿真试验 研究平台。系统响应如图所示：s 0 0 001 0000 s 0 00 0.1818 2.6727 01.8182+Ik k k k -0 0 s 00 0 0 101234_0 0 0 s_0 0.4545 31.1818 0_4.5455IsIA+bK=0九 4 = 150.015 p0.010.0050 -0.005 - rn -j I 1 T 1ii II ii ii0246810t L)246S10四、实验分析小结