高中数学必修一至必修五知识点总结完整版

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1、高中数学必修一至必修五知识点总结完好版 - 高中数学必修1知识点总结 第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性： 1.元素确实定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性 说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，一样的对象归入一个集合时，仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此断定两个集合是否一样，仅需比拟它们的元素是否一样，不需考察排列顺序是否一样

2、。 (4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示： ? 如我校的篮球队员，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋 1. 用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5 2集合的表示方法：列举法与描绘法。 非负整数集即自然数集记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作 aA ，相反，a不属于集合A 记作 a?A 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。 描绘法：将集合中的元素的公共属性描绘出来，写在大括号内表示集合的方法

3、。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 语言描绘法：例：不是直角三角形的三角形 数学式子描绘法：例：不等式x-32的解集是x?R| x-32或x| x-32 4、集合的分类： 1有限集 含有有限个元素的集合 2无限集 含有无限个元素的集合 3空集 不含任何元素的集合 例：x|x2=5 二、集合间的根本关系 1.“包含”关系子集 注意： 有两种可能1A是B的一局部，；2A与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A 2“相等”关系(55，且55，那么5=5) 实例：设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素一样” 结论：对于两个集合A与

4、B，假如集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B 任何一个集合是它本身的子集。A?A 真子集:假如A?B,且B? A那就说集合A是集合B的真子集，记作A? B(或B? A) 假如 A?B, B?C ,那么 A?C - 1 - / 35 假如A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 三、集合的运算 1交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集 记作AB(读作”A交B”)，即AB=x|xA，且x

5、B 2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：AB(读作”A并B”)，即AB=x|xA，或xB 3、交集与并集的性质：AA = A, A= , AB = BA，AA = A, A= A ,AB = BA. 4、全集与补集 1补集：设S是一个集合，A是S的一个子集即 ，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集或余集 2全集：假如集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。 四、函数的有关概念 1函数的概念：设A、B是非空的数集，假如按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数

6、x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数记作： y=f(x)，xA其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域 注意：假如只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式 定义域补充 能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要根据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4

7、)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)假如函数是由一些根本函数通过四那么运算结合而成的.那么，它的定义域是使各局部都有意义的x的值组成的集合.6指数为零底不可以等于零 (6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. (又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。) 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 注意：1构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，假如两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等或为同一函数2两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。一样函数的判断方法：表达式

8、一样；定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本21页相关例2) 值域补充 (1)、函数的值域取决于定义域和对应法那么，不管采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. (2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的根底。 3. 函数图象知识归纳 - 2 - / 35 (1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (xA)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x A)的图象 集合C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的

9、点(x，y)，均在C上 . 即记为C= P(x,y) | y= f(x) , xA ,图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的假设干条曲线或离散点组成。 (2) 画法 A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来. B、图象变换法请参考必修4三角函数 常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换 (3)作用： 1、直观的看出函数的性质；2、利用数形结合的方法分析p 解题的思路。进步解题的速度。发现解题中的错误。 4理解区间的概

10、念 1区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；2无穷区间；3区间的数轴表示 5什么叫做映射 一般地，设A、B是两个非空的集合，假如按某一个确定的对应法那么f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应， 那么就称对应f：A B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：A B” 给定一个集合A到B的映射，假如aA,bB.且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象 说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，集合A、B及对应法那么f是确定的；对应法那么有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的

11、；对于映射f：AB来说，那么应满足：集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 常用的函数表示法及各自的优点： 1 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的根据；2 解析法：必须注明函数的定义域；3 图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；4 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征 解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值. 补充一：分段函数 参见课

12、本P24-25 在定义域的不同局部上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各局部的自变量的取值情况1分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；2分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集 补充二：复合函数 假如y=f(u),(uM),u=g(x),(xA),那么 y=fg(x)=F(x)，(xA) 称为f、g 的复合函数。 例如: y=2sinx y=2cos(2x+1) 7函数单调性 1增函数 - 3 - / 35 设函数y=f(x

13、)的定义域为I，假如对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量a，b，当a1，且nN* 当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数此时，a的n次方根用符号na表示式子na叫做根式radical，这里n叫做根指数radical exponent，a叫做被开方数radicand 当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数此时，正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号na表示正的n次方根与负的n次方根可以合并成naa0由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作n0?0。 ?a(a?0)注意：当n是奇数时，nan?a，当n是偶数时，nan?

14、|a|- ?a(a?0)?2分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： a?nam(a?0,m,n?N*,n?1)，amn?mn?1mn?1na0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂 3实数指数幂的运算性质 rsrsrrr?s1aa?a(a?0,r,s?R)；2(a)?a(a?0,r,s?R)； rrs(ab)?aa(a?0,r,s?R) 3二指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数y?ax(a?0,且a?1)叫做指数函数exponential function，其中x是自变量，函数的定义域为R 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1 2、指数函数的图象和性质 a1 0554433221111-4-20-1246 -4-20-1246 0?a?1 图象特征 a?1 0?a?1 向x、y轴正负方向无限延伸 图象关于原点和y轴不对称 函数图象都在x轴上方 函数图象都过定点0，1 自左向右看，图自左向右看，图象逐渐上升 象逐渐下降 - 5 - / 35 函数性质 a?1 函数的定义域为R 非奇非偶函数 函数的值域为R+ a0?1 增函数 减函数 第 11 页 共 11 页