2020-2021年上海市黄浦区高三数学二模试卷

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1、A 学习是一件很有意思的事黄浦区 2021 年高考模拟考 数学试卷(完卷时间：120 分钟满分：150 分) 2021.4考生注意：1每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的 解答一律无效；2答卷前，考生务必将姓名等相关信息在答题卷上填写清楚，并在规定的区域贴上条形码； 3本试卷共 21 道试题，满分 150 分；考试时间 120 分钟一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前 6 题得 4 分、后 6 题得 5 分，否则一律得零分.1已知集合 A =x|x2 +2 x -3 0，B=x|x

2、-1| 1，则AB =2方程2log x +1 =3 4的解x =3已知某球体的表面积为 36p，则该球体的体积是 4已知函数f ( x)的定义域为R，函数 g ( x)是奇函数，且g ( x) = f ( x) +2x，若f (1) =-1，则f ( -1) =5.已知复数 z 的共轭复数为 z ，若 i z=3 -4i (其中 i 为虚数单位)，则 | z |=6 已知长方体 ABCD -A B C D 的棱 AB =BC =3, CC =4 ，则异面直线1 1 1 1 1AB 与 CD 所成角的大小是.（结果用反三角函数值表示）1 17 已知随机事件 A 和 B 相互独立，若P ( AB

3、) =0.36 ， P ( A) =0.6 ( A 表示1D1D.B1CC1事件A的对立事件) ，则P ( B )= .AB8.无穷等比数列an(nN*, a R)n的前n项和为Sn，且lim S =2nn ，则首项a1第 6 题图的取值范围是.2 -1 39已知(1 +2 x )n的二项展开式中第三项的系数是112，则行列式311中元素-1的代n21数余子式的值是.10已知实数x、y满足线性约束条件 x 0, y 0, x -2 y +2 0,则目标函数z =2 x +5 y的最大值2 x +3 y -6 0.是.1 学习是一件很有意思的事11某企业开展科技知识抢答抽奖活动，获奖号码从用 0

4、、1、2、3、9这十个数字组成没有重 复数字的三位数中产生，并确定一等奖号码为：由三个奇数字组成的三位数，且该三位数是3的倍数. 若某位职工在知识抢答过程中抢答成功，则该职工随机抽取一个号码能抽到一等奖号码的概率是 .(结果用数值作答)|x +a | +| x -2 | , x 0, 12已知 a R ，函数 f ( x) = 1x 2 -ax + a +1, x 0，奖金金额不超过 20 万元.（1）请你为该企业构建一个 y 关于 x 的函数模型，并说明你的函数模型符合企业奖励要求 的理由；(答案不唯一)1x +1, 50 x 500, 50（2）若该企业采用函数 y =1 -a19 + ,

5、 500 b 0) a2 b2的右顶点为A(a,0)，焦距为2c(c 0)，左、右焦点分别为F 、F ， P ( x , y ) 1 2 0 0为椭圆 C 上的任一点.(1)试写出向量 PF、PF 的坐标(用含1 2x 、y 、c 0 0的字母表示)；(2)若PF PF1 2的最大值为 3，最小值为2，求实数 a、b的值；(3)在满足(2)的条件下，若直线l : y =kx +m 与椭圆 C 交于 M 、 N 两点( M 、 N与椭圆的左右顶点不重合)，且以线段 MN为直径的圆经过点 A ，求证：直线 l必经过定点，并求出定点的坐标.21.（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小

6、题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分定义：符号max x, x , x1 2 3表示实数x 、x 、x 1 2 3中最大的一个数；min x, x , x1 2 3表示x 、x 、x 1 2 3中最小的一个数. 如，max -2,2,1.2=2，min -2,2=-2.设 K 是一个给定的正整数(K 3)，数列an共有K 项，记 A =min a, a , , a , ai 1 2 i -1 i，B =max a , a , , a i i +1 i +2K -1, aK，d =A -B ( i =1,2,3,4, , K -1 i i i).由 di的取值情况，

7、我们可以得出一些有趣的结论. 比如，若d 02，则a a2 3. 理由：d 02，则A B2 2. 又a A , B a 2 2 2 3，于是，有a a2 3.试解答下列问题：(1) 若 数 列an1的 通 项 公 式 为 a =( )2n( n =1,2,3, K )， 求 数 列d(i=1,2,3, , K -1) i的通项公式；(2)若数列an(n =1,2, K )满足a =3, d =1 (i =1,2, , K -1) 1 i，求通项公式an；(3)试构造项数为 K 的数列an，满足an=b +cn n，其中bn是等比数列，cn是公差不为零的等差数列，且数列d(i=1,2,i唯一)

8、, K -1)是单调递减数列，并说明理由.(答案不4 1 学习是一件很有意思的事黄浦区 2021 年高考模拟考数学试卷参考答案2021.4说明：1本解答仅列出试题的一种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的 评分精神进行评分2评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的 评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题 的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分 数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分一、填空题.1 (1,2)2 x =4336p4 -325 56 arccos72

9、57 0.98 (0,2) (2,4)9 56210 11712712 -3 - 13 二、选择题13 ( B )14 ( C )15( A)16 ( A )三、解答题17（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分解(1)ABCD -A B C D1 1 1 1 AA 平面 ABCD 1是长方体,棱 AB =BC =2 ， AA =31，即三棱锥 D -EBC 的高等于 AA .1 1，A1D1zB1C1= SDEBCVD -EBC12=BC AB =2.1DEBC 1S AA =2 3.AxEO (D)BCy(2)按如图所示建立空间直角坐标

10、系，可得E (1,0,0 )，C(0,2,0),B(2,2,0)，D1(0,0,3).EB =(1,2,0)，ED =1(-1,0,3)，D C =1(0,2, -3)设平面 EBD 的法向量 n =(x,y, z 1)，则n EB =0, n ED =0.1即 x +2 y =0, -x +3 z =0.5 p ( ) 学习是一件很有意思的事取x =6y =-3,，得 故平面 z =2.EBD的一个法向量为 1n =(6,-3,2).设直线 CD 和平面 EBD 所成的角为q ，则 1 1sinq=D C n1D C n1=12 12 13=13 7 91.所以直线 CD 和平面 EBD 所

11、成角的大小为1 1arcsin12 139118（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分解 (1) 在 DABC中， b =1 ，a sin A =3sin B，根据正弦定理：a b c= = =2 R sin A sin B sin C， 得a 2 b 2=3 , a 2 =3 2 R 2 R(a 0) a = 3 .(2) 由(1)知， a = 3 ，f (x)=asin2 x +cos2 x= 3 sin 2 x +cos 2 x=2sin 2 x + ( x R). 6 函数 f ( x )的最小正周期为 T =2p2=p.由 2

12、kp-p22 x +p62 kp+p2( k Z )，得kp-p3x kp+p6( k Z) .函数 f (x)的递增区间是 kp-p p, kp+ k Z . 3 6 19 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分 解 (1) 答案不唯一. 构造出一个函数；说明是单调增函数；函数的取值满足要求.6 0 学习是一件很有意思的事如，y =1100x +1, x 50,1500，就是符合企业奖励的一个函数模型.理由：根据一次函数的性质，易知， y 随x增大而增大，即为增函数；当 x =50 时， y =1 350 +1 = 0 ， 100 2当

13、 x =1500 时， y =11001500 +1 =16 0 且不超过 20 万元.故该函数是符合企业奖励要求的一个函数模型.(2) 当 50 x 500 时，易知 y =1501x +1 是增函数，且当 x =50 时， y = 50 +1 =2 0 ，当50x =500 时， y =150500 +1 =11 0 且不超过 20 万的要求；故当 50 x 500 时， y =150x +1 符合企业奖励要求.当 500 x 1500 时，函数 f ( x) =19 +1 -ax是增函数，即对任意 x 、x (500,15001 2，且 x x 1 2时，f ( x ) -f ( x )

14、 =(1-a ) 1 2x -x2 1x x1 20成立 . 故当且仅当 1 -a 1 时，此时函数在(500,1500上是增函数.由19 +1 -a5001 -a 1 -a0 ，得 a 9501 ；进一步可知， 0 ，故 y =19 + 19 20 成立，即当x x1 0且金额不超过 20 万的要求.1x +1, 50 x 500, 50依据函数模型 y =1 -a19 + , 500 x 1500 x函数，是符合企业的奖励要求，即此函数为增1 1 -a于是，有 500 +1 19 + ，解得 a 4001 50 500.综上，所求实数 a 的取值范围是 1 b 0) a2 b 2上，x2

15、y 20 + 0a2 b 2=1，则 y 20=b2b2- x 2 .a 271 2 0 2 21 21 2学习是一件很有意思的事b2 PF PF =(1- ) x 2a2+b2-c2.依据椭圆的性质，可知 -a x a0. 当且仅当 x =a0时，( PF1PF )2 max=(1-ba22) a2 +b 2 -c 2 =a 2 -c 2，当且仅当 x =0 0时，( PF PF ) 1 2 minb2=(1- ) 0 +b a22-c2=b2-c2.又 a2-b2=c2,PF PF1 2的最大值为 3，最小值为2，a2-c2=3, a=2, 解得 即为所求. b-c =2. b=3证明 (

16、3)由(2)知，椭圆C :x 2 y 2+ =14 3. 又 l : y =kx +m ，x2 y 2 + =1,联立方程组 4 3y =kx +m.得(3 +4 k2 ) x 2 +8kmx +4 m 2-12 =0.设 M ( x , y )、N ( x , y ) 1 1 2 2是直线l : y =kx +m 与椭圆 C 的两个交点，于是，有8kmx +x =- ,3 +4 k 2 4m 2 -12x x = , 3 +4 k 2D=64k 2m2-4(3 +4 k2)(4 m2-12) 0.以线段MN为直径的圆经过点A(2,0)， AM AN ，即 ( x -2, y ) (x -2,

17、 y ) =01 1 2 2，进一步得(1+k2) x x +( km -2)( x +x ) +4 +m 1 2 1 22=0 (y y =( kx +m)(kx +m) 1 2 1 2)，化简得7 m2+16 km +4 k2=0.2 2解得 m =- k 或 m =-2k .(经检验， m =- k ,m =-2k 都满足 D0 7 7)当 m =-2k 时，直线 l 过点 A(2,0)不满足 M 、N8与椭圆的左右顶点不重合要求，故m =-2kn 1 2 1 i 2 i i i学习是一件很有意思的事舍去.2m =- k ，即 72l : y =kx - k7.直线 l2必经过定点，且定

18、点的坐标为 ( ,0) .721（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分解 (1)数列a的通项公式为 n1a =( )2n( n =1,2,3, K )1，考察指数函数 y =( )2x( x R)的图像与性质，知数列a是单调递减数列,即 nanan +1( n =1,2, K -1). A =min a, a ,i 1 2, a , a =( ) i -1 ii，B =max a , a , , a , a =( ) i +1(i =1,2, , K -1)i +1 i +2 K -1 K.1 1 d =A -B

19、 =( ) i -( )2 2i +11=( )2i +1(i =1,2, K -1)为所求的通项公式(2)数列an(n =1,2, , K )满足a =3, d =1 (i =1,2, , K -1) 1 i，依据题意，由 d =1 01，知 a a 12；由 d =1 02，知 a a 23；依此类推，有 aK -1aK，即a a 1 2aK -1aK，于是，数列an( n =1,2, , K )是单调递减数列. A =mina,a , , a , a =ai 1 2 i -1 i i，B =maxa , a , , a , ai i+1 i+2 K -1 K ，d =1i=a (i =1

20、,2, , K -1) i +1. a -ai i +1=1, 即 ai +1-a =-1 i数列a是首项a =3n 1，公差为 -1的等差数列 a =a +( n -1)d =4 -n ( n =1,2, n 1, K )(3) 构 造 数 列bn： b =ann(0 a 1) ， 数 列cn： c =b n(b 0) n， n =1,2, , K ， 设a =b +c n n n理由如下：，则数列a满足题设要求. n构造数列b：bn n=a n (0 a 1) ，数列c：c nn=b n(b 0)， n =1,2, , K ，9学习是一件很有意思的事易知，数列b是等比数列，数列 nc是等差

21、数列. n由指数函数 y =ax( x R,0 a a n +1 ，即数列bn是单调递减数列；由函数y =kx ( x R, k a n +1 +b ( n +1) ，即a ann +1( n =1,2,3, , K -1).数列a是单调递减数列. n d =a -a i i i +1=(1-a ) ai-b(i =1,2,3, K -1) . d -dii +1=(1 -a ) ai-b -(1-a ) ai +1-b =(1-a )2ai0，即数列d(i=1,2, , K -1)是单调 i递减数列.数列a是满足条件的数列. n10学习是一件很有意思的事坚持希望一天，一个瞎子和一个瘸子结伴去

22、寻找那种仙果，他们一直走呀走，途中他们 翻山越岭。历经千辛万苦，头发开始斑白。有一天，那瘸子对瞎子说： “天哪！这样 下去哪有尽头？我不干了，受不了了。 “老兄，我相信不远了，会找到的，只要心中 存有希望，会找到的。 ”瞎子却说。可瘸子执意要留在途中的山寨中，瞎子便一个人 上路了。由于瞎子看不见，不知道该走向何处，他碰到人便问，人们也好心地指引他，他 身上捉襟见肘，遍体鳞伤，可他心中的希望未曾改变。终于有一天，他到达了那座山，他全力以赴向上爬，快到山顶的时候，他感觉自 己浑身充满了力量，像年轻了几十岁，他向身旁摸索，便摸到了果子一样的东西，放 在嘴里咬一口，天哪！他复明了，什么都看见了，绿绿的

23、树木，花儿鲜艳，小溪清澈。 果子长满了山坡，他朝溪水俯身看去，自己竞变成了一个英俊年轻的小伙子！准备离去的时候，他没有忘记替同行而来的瘸子带上两个仙果，到山寨的时候，他看到瘸子拄着拐棍，变成了一个头发花白的老头，瘸子认不出他了，因为他已是一个年轻的小伙子。可当他们相认后，瘸子吃下那果子，却丝毫未起任何变化，他们终于知道，只有自己的行动，才能换来成功和幸福。所谓成功，我们 要心存希望，要勇往直前，要坚持，要有毅力，那么，成功早晚属于你。11学习是一件很有意思的事一饭千金帮助汉高祖打平天下的大将韩信，在未得志时，境况很是困苦。那时候，他时常往城下 钓鱼，希望碰着好运气，便可以解决生活。但是，这究竟

24、不是可靠的办法，因此，时常要饿 着肚子。幸而在他时常钓鱼的地方，有很多漂母（清洗丝棉絮或旧衣布的老婆婆）在河边作 工的，其中有一个漂母，很同情韩信的遭遇，便不断的救济他，给他饭吃。韩信在艰难困苦 中，得到那位以勤劳克苦仅能以双手勉强糊口的漂母的恩惠，很是感激她，便对她说，将来 必定要重重的报答她。那漂母听了韩信的话，很是不高兴，表示并不希望韩信将来报答她的。 后来，韩信替汉王立了不少功劳，被封为楚王，他想起从前曾受过漂母的恩惠，便命从人送 酒菜给她吃，更送给她黄金一千两来答谢她。这句成语就是出于这个故事的。它的意思是说：受人的恩惠，切莫忘记，虽然所受的恩 惠很是微小，但在困难时，即使一点点帮助也是很可贵的；到我们有能力时，应该重重地报 答施惠的人才是合理。【感恩小结】感恩，是结草衔环，是滴水之恩涌泉相报。感恩，是一种美德，是一种境界。感恩，是值得你用一生去等待的一次宝贵机遇。感恩，是值得你用一生去完成的一次世纪壮举。感恩，是值得你用一生去珍视的一次爱的教育。感恩，不是为求得心理平衡的喧闹的片刻答谢，而是发自内心的无言的永恒回报。 感恩，让生活充满阳光，让世界充满温馨12