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1、ABC中考数学复习考点知识专题讲解求线段长度问题的一般方法求线段长度问题是初中几何中常见的题型之一，笔者就此类问题 作了一些思考与归纳，供大家参考.一、将求线段长的问题转化到直角三角形中求解例 1：如图 1，在 Rt ABC ，ACB =90，CD AB 于 D ， AC =6 ，BC =8 ，求CD的长.解析：由勾股定理，得 AB =10 再由三角形的面积公式，得S1 1= 6 8 = 10 CD 2 2于是得CD =4.8.1 / 111 ， 例 2：如图 2，在 ABC 中，A =30，tan B = ，3BC = 10 ，求 AB 的长.解析：作 CD AB 于点 D ，这样就构造了两
2、个 Rt . 在 Rt BCD 中，tan B =CD 1= DB =3CD DB 3由勾股定理，得 CD =1 ， BD =3 . 在 Rt ACD 中，AD = 3，从而AB = 3 +3.例 3：如图 3，在平面直角坐标系中， A 与 y 轴相切于原点 O ，平行于x轴的直线交A于两点M，N.若点M的坐标是( -4, -2)，求点N的坐标.2 / 11解析：如图 3，作AE MN于点E,连 AM ， AN ，则构造了两个直角三角形 Rt AME ， Rt ANE .不妨设AO =AM =R ，易得 R 2=22+(4 -R )2 R =2.5，EN =Em =4 -2.5 =1.5，NF
3、 =2.5 -1.5 =1从而点 N 的坐标为 ( -1, -2).例 4：如图 4，点 E 、 O 、 C 在半径为 5 的 A 上， BE 是 A 上的一条弦，cos OBE =45，OEB =30，求 BC 的长解析：连 EC ，由条件，有四个直角三角形，分别是 OEC ， OEF ，EBC，FBC.COE =90， EC 为 A 的直径，CBE =90,又OCE =OBE,cos OCE =cos OBE =45,3 / 11在 Rt OEC 中，易知 OC =8 ， OE =6 ,在 Rt OEF 中， OEB =30， OE =6 ,得OF =2 3 . FC =OC -OF =8
4、 -2 3,又OEB =OCB =30,故在Rt FBC中，由边角关系，得BC =4 3 -3.说明：上述几例是将此线段置于某直角三角形之中，然后利用直角三角形的相关知识加以求解 .值得注意的是，构造的直角三角形要与题 目中的已知条件相互关联，才能使问题化繁为简，迅速求解.二、将求线段长 的问题转化到相似三角形中求解例 5：如图 5，梯形 ABCD 中， AB / CD ，且 AB =2CD ， E 、 F 分别是的AB，BC的中点，EF与BD相交于点M.(1) 求证 :EDMFBM; (2) 若BD =9，求BM的长.解析：(1)由题意，易得四边形 BCDE 是平行四边形.于是，有 BC /
5、 DE ， EDM FBM4 / 11， 得， ，(2)由 BF =BM FBEDM FBM =DM DE1 1 BM 1BC = DE = BM =3 2 2 9 -BM 2.例 6：如图 6，矩形ABCD中，AD =5，AB =7，点E为DC上一个动点，把 ADE 沿 AE 折叠，当点 D 的对应点 D 落在 ABC 的平分线上时，求 DE 的 长.解析：过点 D 作 D M AB 于点 M ，并反向延长交 DC 于 N .由题意，得MBD =45，设 D M =BM =x ， AM =7 -x在Rt AD M 中，有 x 2+(7 -x )2=25 ,解得 x =3 ， x =41 2.
6、5 / 11， 或 .5 5 D N =5 -x =2 ，或 1 .易知ED N D AM ，ED 2 ED 1 = =5 4 5 3 ED =ED =，或 .2 3例 7：如图 7，在 Rt ABC 中， ACB =90， BE 平分 ABC 交 AC 于点 E ，点 D 在 AB 上， DE BE 于点 E ， AD =6 ， AE =6 2.(1)判断直线 AC 与 DBE 的外接圆的位置关系，并说明理由; (2)求 BC 的长.解析：(1)由DEB =90,DB为DDBE外接圆的直径.设DDBE外接圆的圆心为O，连OE，易知1OE = BD2.OE =OB,1 =2.又1 =3,2 =
7、3, OE / BC.BC AC ,OE AC,6 / 11故直线 AC 与 DDBE 的外接圆相切.(2)易知4 +5 =3 +5 =90,4 =3,又因1 =3,4 =1.A =A,DAEDDABE, AE2=AD AB.由AD =6, AE =6 2 ，得 AB =12 ,进而得BD =6,0 E =3.由OE / BC，有DAEO DACB,EO AO 3 9= , = , BC =4 BC AB BC 12.说明：上述几例是将该线段作为某三角形的一边，然后想方设法找一个三角形使之与该线段所在的三角形相似，借用“相似三角形对应边成比 例”得到简易方程，进而求解.三、利用条件， 构造方程
8、(组)求线段长7 / 11 x =4 例 8：(1)如图 8，周长为 68 的矩形 ABCD 被分成 7 个全等的矩形，求矩形ABCD的面积.解析：设矩形的宽与长分别为x, y则有2 y =5 x x +3 y =34，解之得 . y =10故S矩形 ABCD=7 xy =280.例 9：如图 9 , O 是 DABC 的内切圆，与三边AB, BC , CA分别相切于点D , E , F，若AB =5, BC =6, AC =7，求AD , BE , CF的长.解析：由切线长定理 ，可设8 / 11x +z =AD =AF =x , BD =BE =y ， CE =CF =z.由题意得x +y
9、 =5 y +z =6，解之得x =3y =2.故 .AD =3, BE =2, CF =4z =4例 10：如图 10，李明同学在东西走向的滨海大道 A 处，测得江中灯塔 P 在北偏东 60方向上;他向东走了 400 米至 B 处，测的灯塔 P 在 北偏东 30方向上.求灯塔 P 到滨海路距离.解析：作PD AB于点D.设PAD =a,PBD =b,PD =x , BD =y , AD =z , AB =a.9 / 11在 RtDPAD与 RtDPBD中，有x x z = , y =tan a tanb,于是z -y =x x- =atan a tan b, x =tantanatan bb
10、-tan aa.这里 a =30,b=60,a =400，代入得x =200 3.例 11：如图 11，在 Rt DABO 中， AOB =90,OB =3, OA =4, C 是 OA 上一点，且 AC =1 ，点 P 在 BC 上， P 与 AO , AB 都相切.求 P 的半径.解析：设 P 的 半径为 r ， P 分别与 AO, AB 相切于 M , N ，连结 PM , PN .由条件易知PN =PM =CM =r，BC =3 2, PC = 2 r, AN =AM =r +1，BN =5 -( r +1) =4 -r ， BP =3 2 - 2r.在 Rt DPBN 中，有 r 2 +(4 -r ) 2 =(3 2 - 2 r )2，解得r =12.说明：上述几例是根据题中条件，通过设未知量构造方程(组)加以求解的 . 通过设未知量构造方程 (组 )求解，常常会使复杂问题简单化，10 / 11其思路清晰，易于学生接受.11 / 11
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