【2021】高中数学《1.2.2组合》公开课优质教学设计教案

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1、m 精品资源：名师优品店铺1 22 组合课标要求：知识与技能：理解组合的意义，能写出一些简单问题的所有组合。明确组合与排列的联系与区别，能判断 一个问题是排列问题还是组合问题。过程与方法：了解组合数的意义，理解排列数合数公式进行计算。mn与组合数C 之间的联系，掌握组合数公式，能运用组 n情感、态度与价值观：能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力。 教学重点：组合的概念和组合数公式教学难点：组合的概念和组合数公式授课类型：新授课课时安排：2 课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题.排列与组

2、合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题，与顺序无关是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要 .排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中 学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系.指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序 .教的秘诀在于度，学的真谛在于悟， 只有学生真正理解了，才能举一反三、融会贯通.能列举出某种方法时，让学生通过交换元素位置的办法加以鉴别.学生易于辨别组合、全排列问题，而排列问题就是先组合后全排列 .在求解排列、组合问题时，可引导学生找出两定义的关系后，按以下两步思考：首先要考虑如何选出符合题意要求的元素来，选出元素后再去

3、考虑是否要对元素进行排队，即第一步仅从组合的角度考虑，第二步则考虑元素是否需全排列，如果 不需要，是组合问题；否则是排列问题.排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题思路通常是依据具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述 .也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景的出发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程 .据笔者观察，有些同学之所以学习中感到抽象，不知如何思考，并不是因为数学知识跟不上，而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性，或解题思路是自己主观想象的做法（很可能是有悖于常理或常规的做法） .要解决这个问题，需要师生一道在分析问题时要

4、根据实际情况，怎么做事就怎么分析，若能借助适当的工具，模拟做事的过程，则更能说精品资源：名师优品店铺 精品资源：名师优品店铺明问题.久而久之，学生的逻辑思维能力将会大大提高.教学过程：一、复习引入：1 分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有 n 类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有 m 种不同的方法，在第 n 类办法中有 m 种不同的方法 那么完成这件事共有2 n+mN =m +m +种不同的方法1 2n2.分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成 n 个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有 m 种不同的方法，做第 n 步有 m 种不同的方法，那么完成这件

5、事有 2 nN =m m 1 2mn种不同的方法3排列的概念：从 n 个不同元素中，任取 m （ m n ）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定 的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列4排列数的定义：从n 个不同元素中，任取 m （ m n ）个元素的所有排列的个数叫做从 n 个元素中 取出 m 元素的排列数，用符号 A m 表示n5排列数公式：A mn=n ( n -1)(n -2) ( n -m +1)（m, n N*, m n）6 阶乘： n!表示正整数 1 到 n 的连乘积，叫做 n 的阶乘 规定 0! =17排列数的另一个计算公式：Amn=n! ( n

6、 -m )!8.提出问题：示例 1：从甲、乙、丙3 名同学中选出 2 名去参加某天的一项活动，其中 1 名同学参加上午的活动，1 名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？示例 2：从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加一项活动，有多少种不同的选法？引导观察：示例 1 中不但要求选出 2 名同学，而且还要按照一定的顺序“排列”，而示例 2 只要求选出 2 名同学，是与顺序无关的 引出课题：组合二、讲解新课：1 组合的概念：一般地，从 n 个不同元素中取出m (mn)个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出m个元素的一个组合说明：不同元素；“只取不排”无序性；相同组合：元素相同 例 1

7、判断下列问题是组合还是排列精品资源：名师优品店铺m m m m m精品资源：名师优品店铺（1）在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的 飞机票价？（2）高中部 11 个班进行篮球单循环比赛，需要进行多少场比赛？（3）从全班 23 人中选出 3 人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？选 出三人参加某项劳动，有多少种不同的选法？（4）10 个人互相通信一次，共写了多少封信？（5）10 个人互通电话一次，共多少个电话？问题：（1）1、2、3 和 3、1、2 是相同的组合吗？（2）什么样的两个组合就叫相同的组合2组合数的概念：从 n 个

8、不同元素中取出m (mn)个元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数用符号 C 表示n3组合数公式的推导：（1）从 4 个不同元素a, b, c, d中取出 3 个元素的组合数C34是多少呢？启发：由于排列是先组合再排列，而从 4 个不同元素中取出 3 个元素的排列数 可以考察一下 C 3 和 A 3 的关系，如下：4 4组 合排列A 34可以求得，故我们abcabdacdbcdabc , bac ,abd , bad ,acd , cad ,bcd , cbd ,cab ,dab ,dac ,dbc ,acb , bca , cba adb , bda , db

9、a adc , cda , dca bdc , cdb , dcb由此可知,每一个组合都对应着 6 个不同的排列，因此，求从 4 个不同元素中取出 3 个元素的排列数A 34，可以分如下两步： 考虑从 4 个不同元素中取出 3 个元素的组合，共有C34个； 对每一个组合的 3 个不同元素进行全排列，各有A 33种方法由分步计数原理得：A 34C 3 A3 4 3，所以，C 3 =4A 34A 33（2）推广：一般地，求从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数 先求从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数 C ；nA mn，可以分如下两步： 求每一个组合中 m 个元素全排列数 A ，根据

10、分步计数原理得： A Cm n n（3）组合数的公式：Amm精品资源：名师优品店铺n 精品资源：名师优品店铺Am n(n -1)(n -2) (n -m +1) Cm = n =Am m!m或Cmn=n! m!( n -m )!( n, m N*,且m n)规定:C0n=1.三、讲解范例：例 2用计算器计算C710解：由计算器可得例 3计算：（1） C 4 ； （2） C 7 ；7 10（1）解：C 4 =77 6 5 44!35；（2）解法 1：C 710=10 9 8 7 6 5 47!120解法 2：C 71010! 10 9 8 = =7!3! 3!120例 4求证：C m =nm +

11、1n -mCm +1n证明：Cmn=n! m!( n -m )!m +1n -mCm +1n=m +1 n!n -m ( m +1)!(n -m -1)!m +1 n!( m +1)! ( n -m )( n -m -1)! n!m !(n -m )!C m =nm +1n -mCm +1n例 5设x N , 求 C+x -12 x -3+C2 x -3x +1的值解：由题意可得：2 x -3 x -1 x +1 2 x -3，解得2 x 4，x N+， x =2或x =3或x =4，精品资源：名师优品店铺精品资源：名师优品店铺当 x =2 时原式值为 7；当 x =3 时原式值为 7；当 x

12、 =4 时原式值为 11所求值为 4 或 7 或 11例 6 一位教练的足球队共有 17 名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛按照足球比赛规则， 比赛时一个足球队的上场队员是 11 人问：(l)这位教练从这 17 名学员中可以形成多少种学员上场方案？(2)如果在选出 11 名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？分析：对于（1)，根据题意，17 名学员没有角色差异，地位完全一样，因此这是一个从 17 个不同元素中选出 11 个元素的组合问题；对于（ 2 ) ，守门员的位置是特殊的，其余上场学员的地位没有差异， 因此这是一个分步完成的组合问题解： (1）由于上场

13、学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案有 C 手 12 376 （种） . (2）教练员可以分两步完成这件事情：第 1 步，从 17 名学员中选出 n 人组成上场小组，共有C1117种选法；第 2 步，从选出的 n 人中选出 1 名守门员，共有C111种选法所以教练员做这件事情的方法数有C1117C111=136136（种）.例 7（1）平面内有 10 个点，以其中每 2 个点为端点的线段共有多少条？(2）平面内有 10 个点，以其中每 2 个点为端点的有向线段共有多少条？解：(1）以平面内 10 个点中每 2 个点为端点的线段的条数，就是从 10 个不同的元素中取出 2 个元 素的组合

14、数，即线段共有C210=10 912=45（条）.(2）由于有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是终点，以平面内10 个点中每 2 个点为端点的 有向线段的条数，就是从 10 个不同元素中取出 2 个元素的排列数，即有向线段共有A210=10 9 =90（条）.例 8在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品从这 100 件产品中任意抽出 3 件 . (1）有多少种不同的抽法？(2）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？(3）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？解：(1）所求的不同抽法的种数，就是从 100 件产品中取出 3 件的组合数，所以共有C31

15、00=100 99 98 12 3= 161700 （种）.精品资源：名师优品店铺1 2 2 1+ C C + C C精品资源：名师优品店铺(2）从 2 件次品中抽出 1 件次品的抽法有 C 1 种，从 98 件合格品中抽出 2 件合格品的抽法有 C 22 98种，因此抽出的 3 件中恰好有 1 件次品的抽法有C 1 C 2 2 98=9506(种).(3）解法 1 从 100 件产品抽出的 3 件中至少有 1 件是次品，包括有 1 件次品和有 2 件次品两种情况在第（2）小题中已求得其中 1 件是次品的抽法有C1 C 22 98种，因此根据分类加法计数原理，抽出的3 件中至少有一件是次品的抽

16、法有C C + C C 2 98 2 98=9 604 （种） .解法 2 抽出的 3 件产品中至少有 1 件是次品的抽法的种数，也就是从 100 件中抽出 3 件的抽法种数 减去 3 件中都是合格品的抽法的种数，即C3100-C398=161 700-152 096 = 9 604 （种）.说明：“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解。变式：按下列条件，从 12 人中选出 5 人，有多少种不同选法？（1）甲、乙、丙三人必须当选； （2）甲、乙、丙三人不能当选；（3）甲必须当选，乙、丙不能当选； （4）甲、乙、丙三人只有一人当选；（5）甲、乙、丙三人至多 2 人当选； （6）甲、乙、

17、丙三人至少 1 人当选；例 9（1）6 本不同的书分给甲、乙、丙 3 同学，每人各得 2 本，有多少种不同的分法？解：C26C24C22=90（2）从 5 个男生和 4 个女生中选出 4 名学生参加一次会议，要求至少有 2 名男生和 1 名女生参加，有 多少种选法？解：问题可以分成 2 类：第一类 2 名男生和 2 名女生参加，有C25C24=60中选法；第二类 3 名男生和 1 名女生参加，有C35C14=40中选法依据分类计数原理，共有 100 种选法错解：C 2 C 1C 1 =240 5 4 6种选法 引导学生用直接法检验，可知重复的很多例 104 名男生和 6 名女生组成至少有1 个

18、男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3 男，2 男 1 女，1 男 2 女，分别有C 3 ，4C24C16，C14C26，所以，一共有C3 2 1 1 2 4 4 6 4 6100 种方法精品资源：名师优品店铺 m m 精品资源：名师优品店铺解法二：（间接法）C310-C36=100组合数的性质 1：Cmn=Cn -mn一般地，从 n 个不同元素中取出 m 个元素后，剩下 n -m 个元素因为从 n 个不同元素中取出 m 个 元素的每一个组合，与剩下的 n - m 个元素的每一个组合一一对应，所以从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合

19、数，等于从这 n 个元素中取出 n - m 个元素的组合数，即：Cmn=Cn -mn在这里，主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想证明： Cn -mn=n! n!=(n -m)!n -(n -m)! m!(n -m)!又Cmn=n! m!( n -m )!，Cm =C n -m n n说明：规定：C0n=1；等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标；此性质作用：当 m n2时，计算 C 可变为计算 C n -m ，能够使运算简化. n n例如 C 2001 C 2002 -2001 2002 2002 C12002=2002；C x =C y x =y n n或x +y =n2组合

20、数的性质 2：Cm C m + C m -1 n +1 n n一般地，从a , a , L , a 1 2n +1这 n+1 个不同元素中取出 m 个元素的组合数是Cmn +1，这些组合可以分为两类：一类含有元素a1，一类不含有a1含有a1的组合是从a , a , L , a 2 3n +1这 n 个元素中取出 m -1 个元素与a1组成的，共有Cm -1n个；不含有a1的组合是从a , a , L , a 2 3n +1这 n 个元素中取出 m 个元素组成的，共有 C 个根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质在这里，主要体现从特殊到一般的归纳 n思想，“含与不含其元素”的分类思想证明：

21、 C m +C m -1 = n nn! n! n!( n -m +1) +n!m + =m!( n -m )! ( m -1)! n -( m -1)! m!( n -m +1)!=( n -m +1 +m ) n! ( n +1)!=m!( n -m +1)! m!( n -m +1)!=Cmn +1Cm C m + C m -1 n +1 n n说明：公式特征：下标相同而上标差 1 的两个组合数之和，等于下标比原下标多 1 而上标与大的相同的 一个组合数；此性质的作用：恒等变形，简化运算精品资源：名师优品店铺* x +3x +3x +3精品资源：名师优品店铺例 11一个口袋内装有大小不同

22、的 7 个白球和 1 个黑球，（1）从口袋内取出 3 个球，共有多少种取法？（2）从口袋内取出 3 个球，使其中含有 1 个黑球，有多少种取法？（3）从口袋内取出 3 个球，使其中不含黑球，有多少种取法？解：（1）C38=56 ,或 C38=C27+C37，；（2）C27=21；（3）C37=35例 12（1）计算：C37+C47+C58+C69；（2）求证：Cn C n + 2C n -1 + C n -2 m +2 m m m解：（1）原式=C 4 +C 5 +C 6 =C 5 +C 6 =C 6 =C 4 =210 8 8 9 9 9 10 10；证明：（2）右边=(Cnm+Cn -1m

23、) +(Cn -1m+Cn -2m) =Cnm +1+Cn -1m +1=Cnm +2=左边例 13解方程：（1）C x +113=C 2 x -3 13；（2）解方程：Cx -2x +2+Cx -3x +2=110A 3x +3解：（1）由原方程得 1x +1 13x +1 =2 x -3 或 x +1 +2 x -3 =13 ， x =4 或 x =5 ，又由 12 x -3 13 得 2 x 8 且 x N ，原方程的解为 x =4 或 x =5*x N上述求解过程中的不等式组可以不解,直接把x =4和x =5代入检验,这样运算量小得多.（2）原方程可化为Cx -2x +3=1 1 A3

24、 ，即 C 5 = A310 10，( x +3)! ( x +3)!=5!( x -2)! 10 x!，1 1=120( x -2)! 10 x(x -1) (x -2)!，x2-x -12 =0 ，解得 x =4 或 x =-3，经检验： x =4 是原方程的解例 14证明：Cn Cp =C p Cn-p m n m m -p。证明：原式左端可看成一个班有m个同学，从中选出n个同学组成兴趣小组，在选出的n个同学中，p个同学参加数学兴趣小组，余下的n -p个同学参加物理兴趣小组的选法数。原式右端可看成直接在m个同学中选出p个同学参加数学兴趣小组，在余下的m -p个同学中选出n -p个同学参加

25、物理兴趣小组的选法数。显然，两种选法是一致的，故左边=右边，等式成立。例 15证明：C0nCmm+C1nCm -1m+CmnC0m=Cmm +n（其中n m）。证明：设某班有 n 个男同学、 m 个女同学，从中选出 m 个同学组成兴趣小组，可分为 m +1 类：男精品资源：名师优品店铺n精品资源：名师优品店铺同学 0 个，1 个，m 个，则女同学分别为 m 个，m -1 个，0 个，共有选法数为C0nCmm+C1nCm -1m+CmnC0m。又由组合定义知选法数为Cmm +n，故等式成立。例 16证明：C 1 +2C 2 +3C 3 + n n n+nC n =n2 n -1 n。证明：左边=

26、C1n+2C2n+3C3n+ +nC =nC11C1n+C12C2n+C13C3n+ +C1nCnn，其中C1 C ii n可表示先在 n 个元素里选 i 个，再从 i 个元素里选一个的组合数。设某班有 n 个同学，选出若干人（至少 1 人）组成兴趣小组，并指定一人为组长。把这种选法按取到的人数i分类（i =1，2， n），则选法总数即为原式左边。现换一种选法，先选组长，有n 种选法，再决定剩下的n -1 人是否参加，每人都有两种可能，所以组员的选法有2n -1种，所以选法总数为n2n -1种。显然，两种选法是一致的，故左边=右边，等式成立。例 17证明：C 1 +2 2 C 2 +3 2 C

27、 3 + n n n+n 2 C n =n ( n +1)2 n -2 n。证明：由于i 2 C i =C 1 C 1C i n i i n可表示先在n个元素里选i个，再从i个元素里选两个（可重复）的组合数，所以原式左端可看成在例 3 指定一人为组长基础上，再指定一人为副组长（可兼职）的组合数。对原式右端我们可分为组长和副组长是否是同一个人两种情况。若组长和副组长是同一个人，则有n2n -1种选法；若组长和副组长不是同一个人，则有n ( n -1)2n -2种选法。共有n 2n -1+n ( n -1)2n -2=n (n +1)2n -2种选法。显然，两种选法是一致的，故左边=右边，等式成立

28、。例 18第 17 届世界杯足球赛于 2002 年夏季在韩国、日本举办、五大洲共有32 支球队有幸参加，他们先分成 8 个小组循环赛，决出 16 强（每队均与本组其他队赛一场，各组一、二名晋级 16 强），这支球队按确定的程序进行淘汰赛，最后决出冠亚军，此外还要决出第三、四名，问这次世界杯总共将进行多少场 比赛？答案是：8C 2 +8 +4 +2 +2 =64 4，这题如果作为习题课应如何分析解：可分为如下几类比赛：小组循环赛：每组有 6 场，8 个小组共有 48 场；八分之一淘汰赛：8 个小组的第一、二名组成 16 强，根据抽签规则，每两个队比赛一场，可以决出 8 强，共有 8 场；四分之一

29、淘汰赛：根据抽签规则，8 强中每两个队比赛一场，可以决出 4 强，共有 4 场；半决赛：根据抽签规则，4 强中每两个队比赛一场，可以决出 2 强，共有 2 场；决赛：2 强比赛 1 场确定冠亚军，4 强中的另两队比赛 1 场决出第三、四名 共有 2 场.精品资源：名师优品店铺精品资源：名师优品店铺综上，共有 8C 2 +8 +4 +2 +2 =644四、课堂练习：场1判断下列问题哪个是排列问题，哪个是组合问题：（1）从 4 个风景点中选出 2 个安排游览，有多少种不同的方法？（2）从 4 个风景点中选出 2 个，并确定这 2 个风景点的游览顺序，有多少种不同的方法？27名同学进行乒乓球擂台赛，

30、决出新的擂主，则共需进行的比赛场数为（ ）A42B21C 7D 63如果把两条异面直线看作“一对”，则在五棱锥的棱所在的直线中，异面直线有（ ）A15对B25对C30对D20对4设全集U =a,b,c, d，集合A、B是U的子集，若A有3个元素，B有2个元素，且AB =a，求集合 A 、 B ，则本题的解的个数为 （ ）A 42B 21C 7D 35从6位候选人中选出2人分别担任班长和团支部书记，有 种不同的选法6从6位同学中选出2人去参加座谈会，有 种不同的选法7圆上有 10 个点：（1）过每 2 个点画一条弦，一共可画条弦；（2）过每 3 个点画一个圆内接三角形，一共可画个圆内接三角形8（

31、1）凸五边形有条对角线；（2）凸n五边形有条对角线9计算：（1）C 315；（2）C36C 4810A, B, C , D , E 5个足球队进行单循环比赛，（1）共需比赛多少场？（2）若各队的得分互不相同，则冠、亚军的可能情况共有多少种？11空间有 10 个点，其中任何 4 点不共面，（1）过每 3 个点作一个平面，一共可作多少个平面？（2）以 每 4 个点为顶点作一个四面体，一共可作多少个四面体？12壹圆、贰圆、伍圆、拾圆的人民币各一张，一共可以组成多少种币值？13写出从a , b, c, d , e 这 5 个元素中每次取出 4 个的所有不同的组合答案：1. （1）组合, （2）排列2.

32、 B 3. A 4. D5. 30 6. 157. （1）45 （2） 1208. （1）5（2）n ( n -3) / 2精品资源：名师优品店铺精品资源：名师优品店铺9. 455； 2710. 10； 2011. C 310=120； C 410=21012.C 1 +C 2 +C 3 +C 4 =2 4 -1 =15 4 4 4 413.a , b, c, d；a , b, c, e；a , b, d , e；a , c, d , e；b, c, d , e五、小结 ：组合的意义与组合数公式；解决实际问题时首先要看是否与顺序有关，从而确定是排列问题 还是组合问题，必要时要利用分类和分步计数

33、原理学生探究过程：（完成如下表格）名称内容分类原理分步原理定义相同点不同点名 称排列组合定义种数符号计算公式关系性质，精品资源：名师优品店铺精品资源：名师优品店铺六、课后作业：七、板书设计（略）八、教学反思：排列组合问题联系实际生动有趣，题型多样新颖且贴近生活，解法灵活独到但不易掌握，许多学生面对较难问题时一筹莫展、无计可施，尤其当从正面入手情况复杂、不易解决时，可考虑换位思考将其等价 转化，使问题变得简单、明朗。教科书在研究组合数的两个性质Cmn=Cn -mn，Cmn +1=Cmn+Cm -1n时，给出了组合数定义的解释证明，即构造一个组合问题的模型，把等式两边看成同一个组合问题的两种计算方

34、法，由组合个数相等证出要证明的组合等式。这种构造法证明构思精巧，把枯燥的公式还原为有趣的实例，能极大地激发学习兴 趣。本文试给几例以说明。教学反思：1 注意区别“恰好”与“至少”从 6 双不同颜色的手套中任取 4 只，其中恰好有一双同色的手套的不同取法共有多少种2 特殊元素（或位置）优先安排将 5 列车停在 5 条不同的轨道上，其中 a 列车不停在第一轨道上，b 列车不停在第二轨道上，那么不 同的停放方法有种3“相邻”用“捆绑”，“不邻”就“插空”七人排成一排，甲、乙两人必须相邻，且甲、乙都不与丙相邻，则不同的排法有多少种4、混合问题，先“组”后“排”对某种产品的 6 件不同的正品和 4 件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次 品恰好在第 5 次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？5、分清排列、组合、等分的算法区别(1)今有 10 件不同奖品,从中选 6 件分给甲一件,乙二件和丙三件,有多少种分法?(2) 今有 10 件不同奖品, 从中选 6 件分给三人,其中 1 人一件 1 人二件 1 人三件, 有多少种分法? (3) 今有 10 件不同奖品, 从中选 6 件分成三份,每份 2 件, 有多少种分法?6、分类组合,隔板处理从 6 个学校中选出 30 名学生参加数学竞赛,每校至少有 1 人,这样有几种选法?精品资源：名师优品店铺