专题四 第3讲 导数与函数的切线及函数零点问题

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1、2 x 2 x 2 t t t 4t 第 3 讲导数与函数的切线及函数零点问题高考定位高考对本内容的考查主要有： (1)导数的几何意义是考查热点，要求是 B 级，理解导数的几何意义是曲线上在某点处的切线的斜率，能够解决与曲 线的切线有关的问题； (2)在高考试题导数压轴题中涉及函数的零点问题是高考 命题的另一热点.真 题 感 悟(2016 江苏卷)已知函数 f (x)axbx(a0，b0，a1，b1).1(1)设 a2，b .求方程 f (x)2 的根；若对任意 xR，不等式 f (2x)mf (x)6 恒成立，求实数 m 的最大值； (2)若 0a1，b1，函数 g(x)f ( x)2 有且

2、只有 1 个零点，求 ab 的值.解 (1)由已知可得 2x12， 即 2x1 2.(2x 2x)222x10，解得 2x1，x0.f (x)2x12x2x，令 t2x2x，则 t2.又 f (2x)22x22xt22，故 f (2x)mf (x)6 可化为 t22mt6，4 4 4即 mt ，又 t2，t 2 t 4(当且仅当 t2 时等号成立)， mt 4，即 m 的最大值为 4. min(2)0a1，b1，ln a0，ln b0.g(x)f (x)2axbx2，g(x)axln abxln b 且 g(x)为单调递增，值域为 R 的函数.g (x)一定存在唯一的 变号零点，10 00 0

3、 00 0 0 00 0 1 2 12 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 2 g(x)为先减后增且有唯一极值点. 由题意 g(x)有且仅有一个零点， 则 g(x)的极值一定为 0，而 g(0)a0b020，故极值点为 0.g(0)0，即 ln aln b0，ab1.考 点 整 合1.求曲线 yf (x)的切线方程的三种类型及方法(1)已知切点 P(x ，y )，求 yf (x)过点 P 的切线方程：求出切线的斜率 f (x )， 由点斜式写出方程.(2)已知切线的斜率为 k，求 yf (x)的切线方程：设切点 P(x ，y )，通过方程 k f (x )解得

4、x ，再由点斜式写出方程.(3)已知切线上一点(非切点)，求 yf (x)的切线方程：设切点 P(x ，y )，利用导 数求得切线斜率 f (x )，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得 x ，再由 点斜式或两点式写出方程.2.三次函数的零点分布三次函数在存在两个极值点的情况下，由于当 x时，函数值也趋向 ，只要 按照极值与零的大小关系确定其零点的个数即可.存在两个极值点 x ，x 且 x x 的函数 f (x)ax3bx2cxd(a0)的零点分布情况如下：a 的符号a0(f (x )为极大值， f (x )为极小值)a0(f (x )为极小值， f (x )为极大值)零点个数一个两个三

5、个一个两个三个充要条件f (x )0 或 f (x ) 0 f (x )0 或者 f (x )0f (x )0 且 f (x )0 f (x )0 或 f (x )0f (x )0 或者 f (x )0 f (x )0 且 f (x )03.(1)研究函数零点问题或方程根问题的思路和方法研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点，归根到底还是研究函数的图象， 如单调性、值域、与 x 轴的交点等，其常用解法如下：转化为形如 f (x ) f (x )0 的不等式：若 yf (x)满足 f (a)f (b)0，则 f (x)在(a，2x 1 1 2 2 2 2 2 1 2 x 1 2 2 2 1 1

6、 2 2b)内至少有一个零点；转化为求函数的值域：零点及两函数的交点问题即是方程 g(x)0 有解问题， 将方程分离参数后(af (x)转化为求 yf (x)的值域问题；数形结合：将问题转化为 yf (x)与 yg(x)的交点问题，利用函数图象位置关 系解决问题.(2)研究两条曲线的交点个数的基本方法数形结合法，通过画出两个函数图象，研究图象交点个数得出答案.函数与方程法，通过构造函数，研究函数零点的个数得出两曲线交点的个数.热点一 函数图象的切线问题【例 1】 (1)(2016 全国卷)若直线 ykxb 是曲线 yln x2 的切线，也是曲 线 yln(x1)的切线，则 b_.1解析 yln

7、 x2 的切线为：y xln x 1(设切点横坐标为 x ).11 xyln(x1)的切线为：y xln(x 1) ，(设切点横坐标为 x )x 1 x 11 1 ，x x 1ln x 1ln（x 1） 2x 1，1解得 x ，bln x 11ln 2. 答案 1ln 2(2)已知函数 f (x)2x33x.求 f (x)在区间2，1上的最大值；若过点 P(1，t)存在 3 条直线与曲线 yf (x)相切，求 t 的取值范围.解 由 f (x)2x33x 得 f (x)6x23.2 2令 f (x)0，得 x 或 x . 2 2因为 f (2)10，f 2，f 2， 2 2 f (1)1，30

8、 00 0 00 0 0 0 0 00 0 0 2所以 f (x)在区间2，1上的最大值为 f 2. 2 设过点 P(1，t)的直线与曲线 yf (x)相切于点(x ，y )，则 y 2x33x ，且切线斜率为 k6x23，所以切线方程为 yy (6x23)(xx )，因为 ty (6x23)(1x ).整理得 4x36x2t30，设 g(x)4x36x2t3，则“过点 P(1，t)存在 3 条直线与曲线 yf (x)相切”等价于“g(x)有 3 个不同零点”.g(x)12x212x12x(x1)，当 x 变化时，g(x)与 g(x)的变化情况如下：xg(x)(，0) 00(0，1)10(1，

9、)g(x)t3t1所以，g(0)t3 是 g(x)的极大值，g(1)t1 是 g(x)的极小值.当 g(0)t30，即 t3 时，此时 g(x)在区间(，1)和1，)上分别至多 有 1 个零点，所以 g(x)至多有 2 个零点.当 g(1)t10，即 t1 时，此时 g(x)在区间(，0)和0，)上分别至多 有 1 个零点，所以 g(x)至多有 2 个零点.当 g(0)0 且 g(1)0，即3t1 时，因为 g(1)t70，g(2)t11 0，所以 g(x)分别在区间1，0)，0，1)和1，2)上恰有 1 个零点，由于 g(x)在 区间(，0)和(1，)上单调，所以 g(x)分别在区间(，0)

10、和1，)上恰有 1 个零点.综上可知，当过点 P(1，t)存在 3 条直线与曲线 yf (x)相切时，t 的取值范围是 (3，1).探究提高 解决曲线的切线问题的关键是求切点的横坐标，解题时先不要管其他 条件，先使用曲线上点的横坐标表达切线方程，再考虑该切线与其他条件的关系， 如本题第(2)问中的切线过点(1，t).【训练 1】 已知函数 f (x)x3x.40 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 4 0 14 0 00 0 0 2 40 4 (1)设 M( ，f ( )是函数 f (x)图象上的一点，求图象在点 M 处的切线方程； (2)证明：过点 N(2，1)可以作曲线 f (x)x

11、3x 的三条切线.(1)解因为 f (x)3x21.所以曲线 f (x)x3x 在点 M( ，f ( )处的切线的斜率为 kf ( )321.所以切线方程为 y( 即 y(3 21)x2 3.3 )(321)(x )，(2)证明由(1)知曲线 f (x)x3x 在点(，f ()处的切线的方程为 y(321)x23.若切线过点 N(2，1)，则 12(321)23，即 236230.过点 N 可作曲线 f (x)的三条切线等价于方程 236230 有三个不同的解.设 g()23623，则 g()62126(2).当 变化时，g()，g()的变化情况如下表：g()(，0)00(0，2)20(2，)

12、g()极大值 3极小值5因为 g()在 R 上只有一个极大值 3 和一个极小值5，所以过点 N 可以作曲线 f (x)x3x 的三条切线.热点二 利用导数解决与函数零点(或方程的根)有关的问题命题角度 1讨论函数零点的个数【例 21】 (2015 全国卷)已知函数 f (x)x31ax ，g(x)ln x.(1)当 a 为何值时，x 轴为曲线 yf (x)的切线；(2)用 minm，n表示 m，n 中的最小值，设函数 h(x)minf (x)，g(x)(x0)，讨 论 h(x)零点的个数.解 (1)设曲线 yf (x)与 x 轴相切于点(x ，0)，x3ax 0，则 f (x )0，f (x

13、)0.即3x2a0，1 3解得 x ，a .3因此，当 a 时，x 轴为曲线 yf (x)的切线.(2)当 x(1，)时，g(x)ln x0，54 4 4 4 4 3 3 3 3 44 4 4 4 4 4 4 从而 h(x)minf (x)，g(x)g(x)0，故 h(x)在(1，)上无零点.5当 x1 时，若 a ，5则 f (1)a 0，h(1)minf (1)，g(1)g(1)0，故 x1 是 h(x)的零点； 5若 a ，则 f (1)0，h(1)minf (1)，g(1)f (1)0.所以只需考虑 f (x)在(0，1)的零点个数.()若 a3 或 a0，则 f (x)3x2a 在(

14、0，1)上无零点，1 5故 f (x)在(0，1)上单调. 而 f (0) ，f (1)a ，所以当 a3 时，f (x)在(0，1)内有一个零点；当 a0 时，f (x)在(0，1)上没有零点.()若3a0， 33即 a0，f (x)在(0，1)无零点； a若 f 0， 33即 a ，则 f (x)在(0，1)有唯一零点； 4 a 3若 f 0，即3a ， 31 5由于 f (0) ，f (1)a ，5 3所以当 a 时，f (x)在(0，1)有两个零点； 5当3 或 a 时，h(x)有一个零点；3 5当 a 或 a 时，h(x)有两个零点；5 3当 a0).令 f (x)0，得 x2，当

15、x(0，2)时，f (x)0，所以函数 f (x)在(0，2)上单调递减，在(2，)上单调递增.所以当 x2 时，f (x)1有最小值 f (2) ln 2.(2)证明由 f (x)ax2 xln x 得1 2ax2 x1f (x)2ax1 ，x0.所以当 a0 时，f (x)2ax2x1x0，函数 f (x)在(0，)上单调递减，所以当 a0 时，函数 f (x)在(0，)上最多有一个零点.因为当1a0 时，f (1) a10，所以当1a0 时，函数 f (x)在(0，)上有零点.综上，当1a0 时，函数 f (x)有且只有一个零点.【训练 22】 (2015 江苏卷)已知函数 f (x)x

16、3 ax2b(a，bR).82 23 1 2 3 3 3 2a 3 3 3 3 3 2a 43 3 2a 4 3 272727 27 27272 22 2 2 (1)试讨论 f (x)的单调性；(2)若 bca(实数 c 是与 a 无关的常数)，当函数 f (x)有三个不同的零点时，a 3 3 的取值范围恰好是(，3)1， ，求 c 的值. 解 (1)f (x)3x22ax，令 f (x)0，2a解得 x 0，x .当 a0 时，因为 f (x)3x20，所以函数 f (x)在(，)上单调递增； 2a当 a0 时，x， (0，)时，f (x)0， 2a x ，0时，f (x)0， 2a所以函数

17、 f (x)在， ，(0，)上单调递增， 在 ，0上单调递减； 2a 2a当 a0 时，x(，0) ，时，f (x)0，x0， 时，f(x)0， 2a 2a所以函数 f (x)在(，0)， ，上单调递增，在0， 上单调递减. (2)由(1)知，函数 f ( x)的两个极值为 f (0)b，f a 273b，则函数 f (x)有三个零点等价于 f (0) fb a b0， a0， a0， 从而 4 或 4 a3b0 0b a3.又 bca，所以当 a 0 时，4 4a3ac0 或当 a0 时， a3ac0.4 设 g(a) a3ac，因为函数 f (x)有三个零点时，a 的取值范围恰好是 3 3

18、 (，3)1， ， 3 3 则在(，3)上 g(a)0，且在1， ，上g(a)0 均恒成立. 从而 g(3)c10，3且 gc10，因此 c1.92 2 0 0 0 0 00 00 0 0 2 此时，f (x)x3ax21a(x1)x2(a1)x1a，因函数有三个零点，则 x2(a1)x1a0 有两个异于1 的不等实根， 所以 (a1)24(1a)a22a30，且(1)2(a1)1a0， 3 3 解得 a(，3)1， ，.综上 c1. 1.求曲线的切线方程的方法是利用切线方程的公式 yy f (x )(xx )，它的难 点在于分清“过点 P 的切线”与“在点 P 处的切线”的差异.突破这个难点

19、的关键是 理解这两种切线的不同之处在哪里，在过点 P(x ，y )的切线中，点 P 不一定是 切点，点 P 也不一定在已知曲线上，而在点 P(x ，y )处的切线，必以点 P 为切 点，则此时切线的方程是 yy f (x )(xx ).2.我们借助于导数探究函数的零点，不同的问题，比如方程的解、直线与函数图 象的交点、两函数图象交点问题都可以转化为函数零点问题.3.对于存在一个极大值和一个极小值的函数，其图象与 x 轴交点的个数，除了受 两个极值大小的制约外，还受函数在两个极值点外部函数值的变化的制约，在解 题时要注意通过数形结合找到正确的条件.4.求函数零点或两函数的交点问题，综合了函数、方

20、程、不等式等多方面知识， 可以全面地考察学生对函数性质、函数图象等知识的综合应用能力，同时考察学 生的变形、转化能力.因此在高考压轴题中占有比较重要的地位.一、填空题1.曲线 yxex1 在点(0，1)处的切线方程是_.解析 yexxex(x1)ex，y| 1，所求切线方程为 xy10.x0答案 xy102.(2017 南通调研)已知两曲线 f (x)2sin x，g(x)acos x，x0， 相交于点 P. 10 2 0 6 cos x 30 0 x 3 3 2 2 3 3 3 3 3 3 0，所以 0，1 2 若两曲线在点 P 处的切线互相垂直，则实数 a 的值为_.解析 设 P(x ，y

21、 )，x 0， ，则2sin x acos x ，且 f (x )g(x )2cos x 0 0 0 0 0 0 0 0 2sin x 2 3(asin x )1，联立以上两式，解得 x ，则 a .0答案2 333.(2016 全国卷)已知 f (x)为偶函数，当 x0 时，f (x)ln(x)3x，则曲线 y f (x)在点(1，3)处的切线方程是_.解析 设 x0，则x0，f (x)ln x3x，又 f (x)为偶函数，f (x)ln x3x， 1f (x) 3，f (1)2，切线方程为 y2x1.答案 2xy104. 已知 f (x) x3 _.2 2 2 f x2 x ，则 f (x

22、) 的图象在点 ，f处的切线斜率是 3 解析 f (x)3x2 2 2 2 222f x1，令 x ，可得 f 32 f 1，解 3 32 2 2得 f 1，所以 f (x)的图象在点，f处的切线斜率是1. 3 答案 15.已知 yf (x)为 R 上的可导函数，当 x0 时，f(x)f（x）x0，若 g(x)f (x)1x，则函数 g(x)的零点个数为_.解析 令 h(x)xf (x)，因为当 x0 时，x f （x）f（x） h （x） x x因此当 x0 时，h (x)0，当 x0 时，h (x)0，又 h(0)0，易知当 x0 时，h(x)0，又 g(x)h（x）1x，所以 g(x)0

23、，故函数 g(x)的零点个数为 0.答案 06.(2017 扬州调研)关于 x 的方程 x3 3x2a0 有三个不同的实数解，则实数 a 的取值范围是_.解析 由题意知使函数 f (x)x33x2a 的极大值大于 0 且极小值小于 0 即可，又 f (x)3x26x3x(x2)，令 f (x)0，得 x 0，x 2.当 x0 时，f (x)0； 当 0x2 时，f (x)0；当 x2 时，f (x)0，所以当 x0 时，f (x)取得极大113 23 2值，即 f (x) 极大值f (0)a；当 x2 时，f (x)取得极小值，即 f (x)极小值f (2)a0，4a，所以4a0，解得4a0.

24、答案 (4，0)sin x，x1，7.(2017 宿迁调研)已知函数 f (x)x 9x 25xa，x1.若函数 f (x)的图象与直线 yx 有三个不同的公共点，则实数 a 的取值集合为 _.解析 当 x0，g(x)单调递增；当 x(2，4)时，g(x)0，g(x)单调递增.又因为 g(1)g(4)16a，所以 g(2) 20a0 或 g(4)g(1)16a0，解得 a 20 或 a16，故实数 a 的取 值集合为20，16.答案 20，168.设 x3axb0，其中 a，b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是_(写出所有正确条件的编号). a3，b3；a3，b2；a3，b

25、2； a0，b2；a1，b2.解析 令 f (x)x3axb，f (x)3x2a，当 a0 时，f (x)0，f (x)单调递增，必有一个实根，正确；当 a0 时，由 于选项当中 a3，只考虑 a3 这一种情况，f(x)3x233(x1)(x1)，f (x) f (1)13bb2，f (x) 极大 极小f (1)13bb2，要使f (x)0 仅有一个实根，则需 f (x) 0，b2，正确，所有正确条件为. 答案 二、解答题12 1 e x x x e e e e 2 e e 1 e 1 e 1 e 2 9.(2017 泰州质检)已知函数 f (x)2ln xx2ax(aR ).(1)当 a2

26、时，求 f (x)的图象在 x1 处的切线方程；(2)若函数 g(x)f (x)axm 在，e上有两个零点，求实数 m 的取值范围. 解 (1)当 a2 时，f (x)2ln xx22x，2f (x) 2x2，切点坐标为(1，1)，切线的斜率 kf (1)2，则切线方程为 y12(x1)，即 y2x1.(2)g(x)2ln xx2m，2 2（x1）（x1） 则 g(x) 2x.1 因为 x，e，所以当 g (x)0 时，x1. 1当 x1 时，g(x)0，此时函数单调递增；当 1xe 时，g (x)0，此时函数单调递减. 故 g(x)在 x1 处取得极大值 g(1)m1.1 1又 gm2 ，g

27、(e)m2e2， 1 1 1g(e)g4e2 0，则 g(e)g， e2 所以 g(x)在，e上的最小值是 g(e). g(x)在，e上有两个零点的条件是 g（1）m10，1g1em2e120，解得1m2e2， 所以实数 m 的取值范围是1，2 . 10.已知函数 f (x)x2aln x1，函数 F(x)x1.x1(1)如果函数 f (x)的图象上的每一点处的切线斜率都是正数，求实数 a 的取值范 围；(2)当 a2 时，你认为函数 yf（x）x1的图象与 yF(x)的图象有多少个公共点？13x x 3 2请证明你的结论.解 (1)f (x)x2aln x1 的定义域为(0，)，函数 f (

28、x)的图象上的每一点处 的切线斜率都是正数，af (x)2x 0 在(0，)上恒成立.a2x2在(0，)上恒成立，y2x20 在(0，)上恒成立，a0. 所求的 a 的取值范围为(，0.(2)当 a2 时，函数 yf（x）x1的图象与 yF(x)的图象没有公共点.证明如下：f（x） x22ln x1当 a2 时，y ，它的定义域为x1 x1x|x0 且 x1，F(x)的定义域为0，).当 x0 且 x1 时，由f（x）x1F(x)得 x22ln xx2 x20.设 h(x)x22ln xx2 x 2，2 1则 h(x)2x 1x（ x1）（2x x2x x2） x.当 0x1 时，h(x)0，

29、此时，h(x)单调递减； 当 x1 时，h(x)0，此时，h(x)单调递增. 当 x0 且 x1 时，h(x)h(1)0，即 h(x)0 无实数根.当 a2，x0 且 x1 时，f（x）x1F(x)无实数根.当 a2 时，函数 yf（x）x1的图象与 yF(x)的图象没有公共点.1 111.(2017 山东卷)已知函数 f (x) x3 ax2，aR .(1)当 a2 时，求曲线 yf (x)在点(3，f (3)处的切线方程；146 (2)设函数 g(x)f (x)(xa)cos xsin x，讨论 g(x)的单调性并判断有无极值，有 极值时求出极值.解 (1)由题意 f (x)x2ax，所以

30、当 a2 时，f (3)0，f (x)x22x，所以 f (3)3，因此曲线 yf (x)在点(3，f (3)处的切线方程是 y3(x3)，即 3xy90.(2)因为 g(x)f (x)(xa)cos xsin x，所以 g(x)f (x)cos x(xa)sin xcos xx(xa)(xa)sin x(xa)(xsin x)，令 h(x)xsin x，则 h(x)1cos x0，所以 h(x)在 R 上单调递增.因为 h(0)0，所以，当 x0 时，h(x)0；当 x0 时，h(x)0.当 a0 时，g(x)(xa)(xsin x)，当 x(，a)时，xa0，g(x)单调递增； 当 x(a

31、，0)时，xa0，g(x)0，g (x)0，g(x)单调递增. 所以，当 xa 时，g(x)取到极大值，1极大值是 g(a) a3sin a，当 x0 时，g(x)取到极小值，极小值是 g(0)a.当 a0 时，g(x)x(xsin x)，当 x(，)时，g(x)0，g(x)单调递增；所以 g(x)在(，)上单调递增，g(x)无极大值也无极小值. 当 a0 时，g(x)(xa)(xsin x)，当 x(，0)时，xa0，g(x)单调递增； 当 x(0，a)时，xa0，g(x)0，g (x)0，g(x)单调递增.所以，当 x0 时，g(x)取到极大值，极大值是 g(0)a；156 6 6当 xa 时 g(x)取到极小值，1极小值是 g(a) a3sin a.综上所述：当 a0 时，函数 g(x)在(，0)和(a，)上单调递增，在(0，a)上单调递减，1函数既有极大值，又有极小值，极大值是 g(0)a，极小值是 g(a) a3sin a.16