第1章完全信息静态博弈

《第1章完全信息静态博弈》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第1章完全信息静态博弈（73页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、1第一篇第一篇 非合作博弈理论非合作博弈理论1.完全信息静态博弈完全信息静态博弈2.完全信息动态博弈完全信息动态博弈3.不完全信息静态博弈不完全信息静态博弈4.不完全信息动态博弈不完全信息动态博弈21.完全信息静态博弈完全信息静态博弈1.1博弈论的基本概念及战略式表述博弈论的基本概念及战略式表述1.2纳什均衡纳什均衡1.3纳什均衡应用举例纳什均衡应用举例1.4混合战略纳什均衡混合战略纳什均衡1.5纳什均衡的存在性和多重性的讨论纳什均衡的存在性和多重性的讨论31.1博弈论的基本概念及战略式表述博弈论的基本概念及战略式表述开发商开发商A下在考虑是否要在北京的某一地段开发一栋新的下在考虑是否要在北京

2、的某一地段开发一栋新的写字楼。你面临的选择是开发或者不开发。如果决定开发，写字楼。你面临的选择是开发或者不开发。如果决定开发，你必须投入你必须投入1亿资金；如果决定不开发，你的资金投入为亿资金；如果决定不开发，你的资金投入为0。开发商。开发商B也面临与你同样的决策问题。也面临与你同样的决策问题。假定，如果市场上有两栋楼出售，需求大时，每栋售价达假定，如果市场上有两栋楼出售，需求大时，每栋售价达1.4亿元，需求小时，售价为亿元，需求小时，售价为7千万；千万；如果市场上只有一栋楼出售，需求大时售价为如果市场上只有一栋楼出售，需求大时售价为1.8亿，需亿，需求小时为求小时为1.1亿，这样，有以下亿，

3、这样，有以下8种可能的结果：种可能的结果：引例：引例：“房地产开发博弈房地产开发博弈”1.1.11.1.1基本概念基本概念41需求大，你开发，他不开需求大，你开发，他不开发；你的利润为发；你的利润为8千万，千万，他的利润为他的利润为0。2需求大，你不开发，他开需求大，你不开发，他开发；你的利润为发；你的利润为0，他的，他的利润为利润为8千万。千万。3需求大，你开发，他也开需求大，你开发，他也开发；你和他的利润各为发；你和他的利润各为4千万。千万。4需求大，你不开发，他不需求大，你不开发，他不开发；你和他的利润为开发；你和他的利润为0。5需求小，你开发，他不开发；需求小，你开发，他不开发；你的利

4、润为你的利润为1千万，他的利润千万，他的利润为为0。6，需求小，你不开发，他开发；，需求小，你不开发，他开发；你的利润为你的利润为0，他的利润为，他的利润为1千万。千万。7需求小，你开发，他也开发；需求小，你开发，他也开发；你和他的利润各为你和他的利润各为-3千万。千万。8需求小，你不开发，他不开需求小，你不开发，他不开发；你和他的利润都为发；你和他的利润都为0。博弈论的基本概念包括：博弈论的基本概念包括：参与人、行动、信息、战略、支付参与人、行动、信息、战略、支付 (效用效用)、结果和均衡、结果和均衡其中其中参与人、战略和支付参与人、战略和支付是描述一个博弈所需要的最少的要素，是描述一个博弈

5、所需要的最少的要素，而而行动和信息行动和信息是其是其“积木积木”。参与人、行动和结果统称为。参与人、行动和结果统称为“博博弈弈规则规则”(the rules of the game).51.参与人参与人(players)参与人指的是一个博弈中的决策主体，他的目的是通过选择行动参与人指的是一个博弈中的决策主体，他的目的是通过选择行动(或战略或战略)以最大化自己的支付以最大化自己的支付(效用效用)水平。水平。参与人可以是自然人，也可以是团体。在博弈论中，参与人可以是自然人，也可以是团体。在博弈论中，“自然自然”(nature)作为作为“虚拟参与人虚拟参与人”(pseudo-player)来处理。这

6、里，来处理。这里，“自自然然”是指决定外生的随机变量的概率分布的机制。是指决定外生的随机变量的概率分布的机制。“自然自然”没有自己的支付和目标函数。没有自己的支付和目标函数。2行动行动(actions or moves)行动是参与人在博弈的某个时点的决策变量行动是参与人在博弈的某个时点的决策变量 一般地，我们用一般地，我们用ai表示第表示第i个参与人的一个特定行动，个参与人的一个特定行动，Ai=ai表示供表示供i选择的所有行动的集合选择的所有行动的集合(action set)。在。在n人人博弈中，博弈中，n个参与人的行动的有序集个参与人的行动的有序集a=(a1,ai,an)称为称为“行动组合行

7、动组合”(action profile)，其中的第，其中的第i个个ai是第是第i个参与个参与人的行动。人的行动。63信息信息(information)信息是参与人有关博弈的知识，特别是有关信息是参与人有关博弈的知识，特别是有关“自然自然”的选择、的选择、其他参与人的特征和行动的知识。其他参与人的特征和行动的知识。信息集信息集(information set)是博弈论中描述参与人信息特征的一个基是博弈论中描述参与人信息特征的一个基本概念，可理解为参与人在特定时刻有关变量的值的知识。一本概念，可理解为参与人在特定时刻有关变量的值的知识。一个参与人无法准确知道的变量的全体属于一个信息集。个参与人无法

8、准确知道的变量的全体属于一个信息集。在博弈论中，在博弈论中，“完美信息完美信息”和和“完全信息完全信息”是两个有联系但又不是两个有联系但又不完全的概念。完全的概念。完美信息完美信息(perfect information)是指一个参与人对其他参与人是指一个参与人对其他参与人(包括虚拟参与包括虚拟参与人人“自然自然”)的行动选择有准确了解的情况，即每一个信息集只包含一个值；的行动选择有准确了解的情况，即每一个信息集只包含一个值；完全信息完全信息(complete information)是指自然不首先行动或自然的初始行动被是指自然不首先行动或自然的初始行动被所有参与人准确观察到的情况，即没有事前

9、的不确定性。所有参与人准确观察到的情况，即没有事前的不确定性。“共同知识共同知识”(common knowledge)指的是指的是“所有参与人知道所有参与人知道，所有参与人知道所有参与人知道所有参与人知道所有参与人知道，所有参与人知道所有参与人知道所有参与人知道所有参与人知道”的知识。的知识。7一般地，我们用一般地，我们用si表示第表示第i个参与人的一个特定战略，个参与人的一个特定战略，Si=si代表第代表第i个个参与人的所有可选择的战略转移的集合参与人的所有可选择的战略转移的集合(strategy set)。如果。如果n个参个参与人每人选择一个战略，与人每人选择一个战略，n维向量维向量s=(

10、s1,si,sn)称为一个战略组合称为一个战略组合(strategy profile),其中其中si第第i个参与人选择的战略。个参与人选择的战略。4战略战略(strategies)；战略与行动是两个不同的概念，战略是行动的规则而不是行动本身。战略与行动是两个不同的概念，战略是行动的规则而不是行动本身。在静态博弈中，战略和行动是相同的。在静态博弈中，战略和行动是相同的。作为一种规则，战略必须是完备的。作为一种规则，战略必须是完备的。战略是参与人在给定信息集的情况下的行动规则，它规定战略是参与人在给定信息集的情况下的行动规则，它规定参与人在什么时候选择什么行动。参与人在什么时候选择什么行动。在现实

11、有许多博弈中，即使所有参与人在现实有许多博弈中，即使所有参与人“共同共同”享享有某种知识，每个参与人也许并不知道其他参与人有某种知识，每个参与人也许并不知道其他参与人知道这些知识，或者并不知道其他人知道自己拥有知道这些知识，或者并不知道其他人知道自己拥有这些知识。这种情况被称为这些知识。这种情况被称为“一致信一致信念念”(concordant beliefs)。8博弈的一个基本特征是一个参与人的支付博弈的一个基本特征是一个参与人的支付不仅取决于自己的战略选择，而且取决不仅取决于自己的战略选择，而且取决于所有其他参与人的战略选择于所有其他参与人的战略选择即，即，ui是所有参与是所有参与 人的战略

12、转移选择的函人的战略转移选择的函数：数：ui=ui(s1,si,sn)5 5支付支付(payoff)在博弈论中，支付或者是指在一个特定的战略组合下参与人行到的在博弈论中，支付或者是指在一个特定的战略组合下参与人行到的确定效用水平，或者是指人得到的期望效用水平。确定效用水平，或者是指人得到的期望效用水平。令ui为第i个参与人的支付(效用水平)u=(u1,ui,un)为n个参与人的支付组合(payoff profile)。96结果结果(outcome)：结果是博弈分析者所感兴趣的所有东西，如果 均衡战略组合，均衡行动组合，均衡支付组合等。7均衡均衡(equilibrium)：均衡是所有参与人的最优

13、战略的组合，一般记为s*=(s*1,s*i,s*n)其中，s*i是第i个参与人在均衡情况下的最优战略，它是i的所有可能战略中ui或Eui最大化的战略。博弈论中的均衡概念与一般均衡理论中市场供应的均衡概念的区别。博弈论中的均衡概念与一般均衡理论中市场供应的均衡概念的区别。“均衡均衡”和和“均衡结果均衡结果”(equilibrium outcome)的区别，人们说的区别，人们说“均衡均衡”时他常常是指时他常常是指“均衡结果均衡结果”。101.1.2博弈的战略式表述博弈的战略式表述博弈的两种不同的表述方式博弈的两种不同的表述方式:战略式表述战略式表述(strategic form represent

14、ation)(strategic form representation)扩展式表述扩展式表述(extensive form representation)(extensive form representation)战略式表述更适合于静态博弈，而扩展式表述更适合于讨论动态博弈。战略式表述更适合于静态博弈，而扩展式表述更适合于讨论动态博弈。战略式表述又称为标准式表述战略式表述又称为标准式表述(normal form representation)(normal form representation)，在这种表述，在这种表述中，所以参与人同时选择各自的战略，所有参与人选择的战略一起决定每中，所

15、以参与人同时选择各自的战略，所有参与人选择的战略一起决定每个参与个参与 人的支付。人的支付。更为准确地讲，战略式表述给出：更为准确地讲，战略式表述给出：博弈的参与人集合：博弈的参与人集合：i,i,=(1=(1，2 2，n)n)；每个参与人的战略空间：每个参与人的战略空间：Si,iSi,i=1,2,n=1,2,n；每个参与人的支付函数：每个参与人的支付函数：ui(s1,ui(s1,sisi,sn),isn),i=1,2,n=1,2,n。我们将用我们将用G=S1,G=S1,SnSn；u1,unu1,un代表战略式表述博弈。在两寡头博弈里，代表战略式表述博弈。在两寡头博弈里，企业是参与人，产量是战略

16、空间，利润是支付；战略式博弈为：企业是参与人，产量是战略空间，利润是支付；战略式博弈为：G=q10,q20;1(q1,q2,),2(q1,q2)这里，这里，qi和和i分别是第分别是第i个企业的产量和利润。个企业的产量和利润。11一个博弈被称为有限博弈一个博弈被称为有限博弈(finite game)(finite game)第一、参与第一、参与 人的个数是有限的；第二、每个参与人可选择的战略是有限的人的个数是有限的；第二、每个参与人可选择的战略是有限的 两人有限博弈的两人有限博弈的战略式表述可以战略式表述可以用矩阵表来直观用矩阵表来直观地给出。表地给出。表1.1是是房地产开发博弈房地产开发博弈中

17、开发商中开发商A和和B同时行动博弈的同时行动博弈的战略式表述战略式表述开发商开发商B开发开发 不开发不开发 开发商开发商B开发开发 不开发不开发 开发商开发商A 开发开发 不开发不开发4000，40008000，00，80000，0-3000，-30001000，00，10000，0(a)高需求情况高需求情况(b)低需求情况低需求情况开发商开发商A 开发开发 不开发不开发如果如果12完全静态博弈完全静态博弈是一种最简单的博弈，在这种博弈中，是一种最简单的博弈，在这种博弈中，由于每个人是在不知其他人行动的情况下选择自由于每个人是在不知其他人行动的情况下选择自己的行动，战略和行动实际上是一回事。己

18、的行动，战略和行动实际上是一回事。博弈分析的目的博弈分析的目的是预测博弈的均衡结果，即给定每是预测博弈的均衡结果，即给定每个参与人都是理性的个参与人都是理性的(rational)。纳什均衡是完全。纳什均衡是完全信息静态博弈解的一般概念，也是所有其他类型信息静态博弈解的一般概念，也是所有其他类型博弈解的基本要求。博弈解的基本要求。1.2纳什均衡纳什均衡131.2.1占优战略均衡占优战略均衡一个参与人的最优战略可能并不依赖于其他参与一个参与人的最优战略可能并不依赖于其他参与 人的战略选择，就是人的战略选择，就是说，不论其他参与人选择什么战略，他的最优战略是唯一的，这样的最说，不论其他参与人选择什么

19、战略，他的最优战略是唯一的，这样的最优战略被称为优战略被称为“占优战略占优战略”(dominant strategy).例如，例如，“囚徒困境囚徒困境”。囚犯囚犯B坦白坦白 抵赖抵赖 坦白坦白囚犯囚犯A 抵赖抵赖-8，-80，-10-10，0，-1，-1一般地，一般地，s*i称为参与人称为参与人i的的(严格严格)占占优战略，如果对应所有的优战略，如果对应所有的s-i,s*i是是i的的严格最优选择，即：严格最优选择，即：*,),(),(uiiiiiiiisssssussu对应地，所有的对应地，所有的*iiss 被称为被称为“劣战略劣战略”(dominated strategies).记住，这里记

20、住，这里),(111niissss是是i之外所有参与人战略的组合之外所有参与人战略的组合。14定义：定义：在博弈的战略式表述中，如果对于所有的i,s*i是i的占优战略，那么，战略组合 称为占优战略均衡(dominant-strategy equilibrium)。),(*1*nsss占优战略均衡只要求每个参与人是理性的，而并不要求每个参与人知占优战略均衡只要求每个参与人是理性的，而并不要求每个参与人知道其他参与人是理性的道其他参与人是理性的(也就是说，不要求也就是说，不要求“理性理性”是共同知识是共同知识)。囚徒困境反映了一个深刻的问题，即个人与团体理性的冲突。这是囚徒困境反映了一个深刻的问题

21、，即个人与团体理性的冲突。这是合作博弈与非合作博弈的区别。合作博弈与非合作博弈的区别。1.2.2 重复剔除重复剔除 占优均衡占优均衡在每个参与人都有占优战略的情况下，占优战略均衡是一个非常合在每个参与人都有占优战略的情况下，占优战略均衡是一个非常合理的预测，但在绝大多数博弈中，占优战略均衡是不存在的。尽管理的预测，但在绝大多数博弈中，占优战略均衡是不存在的。尽管如此，在有些博弈中，我们仍可以应用占优的逻辑找出均衡。如此，在有些博弈中，我们仍可以应用占优的逻辑找出均衡。15在在“智猪博弈智猪博弈”的例子中。显然，这个博弈没有占优战略均衡，所以不能应用占的例子中。显然，这个博弈没有占优战略均衡，所

22、以不能应用占优战略找出均衡。优战略找出均衡。小猪小猪按按 等待等待3，12，47，-1，0，0那么，什么是这个博弈的可能的均衡解呢？假定小猪那么，什么是这个博弈的可能的均衡解呢？假定小猪是理性的，那么理性的小猪会选择是理性的，那么理性的小猪会选择“等待等待”。再假定。再假定大猪知道小猪是理性的，那么大猪的最优选择只能是大猪知道小猪是理性的，那么大猪的最优选择只能是“按按”。这是一个。这是一个“多劳不多得，少劳不少得多劳不多得，少劳不少得”的均的均衡衡。以上实际上是应用了以上实际上是应用了“重复剔除严格劣战略重复剔除严格劣战略”的思路的思路 定义：定义：令令 和和 是参与人是参与人i可选择的两个

23、战略可选择的两个战略(即即 )。如果对于。如果对于任意的其他参与人的战略组合，参与任意的其他参与人的战略组合，参与 人从选择得到的支付严格小于人从选择得到的支付严格小于从选择得到的支付，即：从选择得到的支付，即：is isiiiiSsSs,isis isiiiiiiisssussu),(),(我们说战略严格劣于战略（我们说战略严格劣于战略（is strictly dominated by）。通常，）。通常，称为相对于的劣战略；对应地，称为相对于的优战略。占优战略称为相对于的劣战略；对应地，称为相对于的优战略。占优战略均衡中的占优战略是相对于所有的占优战略。均衡中的占优战略是相对于所有的占优战略

24、。is isis isis is isis*is*iiss定义：定义：弱劣于战略弱劣于战略(is strictly dominated by)，如果对于所有的，如果对于所有的，且对于某些严格不等式成立。，且对于某些严格不等式成立。称为相对于的弱占优战略。称为相对于的弱占优战略。is isis is),(),(,iiiiiiissussusis isis 按按大猪大猪 等待等待16重复剔除的占优均衡重复剔除的占优均衡：战略组合称为重复剔除的占优均衡，如果：战略组合称为重复剔除的占优均衡，如果重复剔除劣战略后剩下的唯一的战略组合。如果这种唯一的战略组合是存在的，我们说重复剔除劣战略后剩下的唯一的战

25、略组合。如果这种唯一的战略组合是存在的，我们说该博弈是重复剔除占优可解的该博弈是重复剔除占优可解的(dominantce solvable)。),(*1*nsss一个抽象的例子：一个抽象的例子：在这个例子中，参与人在这个例子中，参与人A有两个有两个战略：战略：SA=(U,D),参与人参与人B有三个战略：有三个战略：SB=(L,M,R)。A的战略中没有一个严格的战略中没有一个严格优于另一个：如果优于另一个：如果B选择选择L或或M，U是最是最优的优的(10)，但如果，但如果B选择选择R，D是最优是最优的的(20)。然而，对。然而，对B来说，来说，M严格优于严格优于R，故理性的参与人，故理性的参与人

26、B不会选择不会选择R。如果。如果参与人参与人A知道参与人知道参与人B是的，是的，R被剔除，被剔除，A将选择自己的战略，似乎面对的是如将选择自己的战略，似乎面对的是如表表1.4(b)所代表的博弈。在这个新的中，所代表的博弈。在这个新的中，U严格优于严格优于D。这样，如果。这样，如果B知道知道A是理是理性的，并且性的，并且B知道知道A知道知道B是理性的是理性的(从从而而B知道知道1.4表表(b)是适用的是适用的)，D将被从将被从其战略中剔除，我们行到如表其战略中剔除，我们行到如表1.4(C)所所示的博弈。这个博弈实际上是一个单人示的博弈。这个博弈实际上是一个单人决策问题，决策问题，M严格地严格地L

27、L将被剔除。这样，将被剔除。这样，(U，M)是剩下的唯一的战略组合。是剩下的唯一的战略组合。参与人参与人B L M 参与人参与人A UD1，01，20，10，30，12，01，01，20，30，11，01，2参与人参与人BL M R 参与人参与人BL M参与人参与人A UD参与人参与人A U(a)(b)(c)17如果每次剔除的是严格，均衡结果与剔除的顺序无关。如果的是弱劣战略，均衡如果每次剔除的是严格，均衡结果与剔除的顺序无关。如果的是弱劣战略，均衡结果可能结果可能 与剔除顺序有关。如表与剔除顺序有关。如表1.5参与人参与人BC1 C2 C32，121，101，120，120，100，110，

28、120，100，13参与人的战略空间越大，需要的步骤就参与人的战略空间越大，需要的步骤就越多，对共同知识的要求就越严格。越多，对共同知识的要求就越严格。由于这个原因，尽管在许多博弈中得利由于这个原因，尽管在许多博弈中得利剔除的占优均衡是一个合理的，但这一剔除的占优均衡是一个合理的，但这一点并非总是如此，特别是当支付取某些点并非总是如此，特别是当支付取某些极端值的时候。极端值的时候。参与人参与人BL R U参与人参与人A D8，10-1000，97，66，5这个例子说明，在类似右表所示的博弈中，这个例子说明，在类似右表所示的博弈中，博弈的结果对行为的不确定性是很敏感的，博弈的结果对行为的不确定性

29、是很敏感的，即使是很小的不确定性。即使是很小的不确定性。在单人决策分析里，只有一个决策人，他面临的唯一不确定性是在单人决策分析里，只有一个决策人，他面临的唯一不确定性是“自然自然”可能的行可能的行动，他对自然选择不同行支的概率有一个固定的、外生的信念。相反，在博弈分析动，他对自然选择不同行支的概率有一个固定的、外生的信念。相反，在博弈分析中，有多个，每个决策人有关其他决策人的行为的信念并不是外生的。由于这个区中，有多个，每个决策人有关其他决策人的行为的信念并不是外生的。由于这个区别，许多我们所熟悉的决策论中的比较静态结论并不能推广到博弈论中。别，许多我们所熟悉的决策论中的比较静态结论并不能推广

30、到博弈论中。博弈分析与单人分析的一个重要区别博弈分析与单人分析的一个重要区别 R1 参与人参与人 A R2 R3181.2.31.2.3纳什均衡纳什均衡纳什均衡是完全信息博弈解的一般概念，构成纳什均衡的战略纳什均衡是完全信息博弈解的一般概念，构成纳什均衡的战略一定是重复剔除严格劣过程一定是重复剔除严格劣过程 中不能被中不能被 剔除的战略，就是说，剔除的战略，就是说，没有任何一个战略严格优于纳什均衡战略。没有任何一个战略严格优于纳什均衡战略。定义：定义：有有n个参与人的战略式表述博弈，战略组个参与人的战略式表述博弈，战略组合是一个纳什均衡，如果对于每一个合是一个纳什均衡，如果对于每一个i,是给定

31、其他参与人选择的情况下第是给定其他参与人选择的情况下第i个参与个参与人的最优战略，即：人的最优战略，即：,;,11nnuuSSG),(*1*nissss*is),(*1*1*1*niiisssssiSsssussuiiiiiiii,),(),(*或者用另一种表述方式，是下述最大化问题的解：或者用另一种表述方式，是下述最大化问题的解：*is),2,1,(*1*1*1*maxargnisssssusniiiiSsiii(1)每一个占优战略均衡、重复剔除的占优均衡一定是纳什均衡，但并非每一个纳什均每一个占优战略均衡、重复剔除的占优均衡一定是纳什均衡，但并非每一个纳什均衡都是占优战略均衡或重复剔除的占

32、优均衡。衡都是占优战略均衡或重复剔除的占优均衡。(2)纳什均衡一定是在重复剔除严格劣战略过程中没有被剔除掉的战略组合，但没有被纳什均衡一定是在重复剔除严格劣战略过程中没有被剔除掉的战略组合，但没有被剔除剔除 战略组合，不一定是纳什均衡，除非它是唯一的。战略组合，不一定是纳什均衡，除非它是唯一的。纳什均衡与占优战略均衡及重复剔除的占优均衡之间的关系纳什均衡与占优战略均衡及重复剔除的占优均衡之间的关系。19如果使用弱劣战略剔除的办法，均衡结果可能与剔除顺序有关。如果使用弱劣战略剔除的办法，均衡结果可能与剔除顺序有关。例如：例如：一个市场进入的例子：有一个垄断者已在市场上一个市场进入的例子：有一个垄

33、断者已在市场上(称为称为“在位者在位者”)，另一个企业虎视眈眈想进入，另一个企业虎视眈眈想进入(称为称为“进入进入者者”)。进入者有两可以选择：。进入者有两可以选择：(进入，不进入进入，不进入)；在位；在位者也有两个战略：者也有两个战略：(默许，斗争默许，斗争)。假定进入之前的垄断。假定进入之前的垄断利润为利润为300，进入之后寡头利润为，进入之后寡头利润为100，进入成本为，进入成本为10。各种战略组合下的支付矩阵如下表所示：各种战略组合下的支付矩阵如下表所示：在位者在位者默许默许 斗争斗争40，50-10，00，3000，300进入进入进入者进入者不进入不进入这个例子说明，这个例子说明，(

34、弱弱)纳什均衡允许弱劣战略的存在纳什均衡允许弱劣战略的存在 纳什均衡是参与人将如何博弈的纳什均衡是参与人将如何博弈的“一致性一致性”(consistent)预测：如果所有参与人预测：如果所有参与人预测一个特定的纳什均衡将会出现，那么，没有人有兴趣作不同的选择预测一个特定的纳什均衡将会出现，那么，没有人有兴趣作不同的选择 从而，纳什均衡且只有纳什均衡具有这样的特征：从而，纳什均衡且只有纳什均衡具有这样的特征：参与人预测到均衡，参与人预测参与人预测到均衡，参与人预测到其他参与人预测到均衡，等等到其他参与人预测到均衡，等等 201.3纳什均衡应用举例纳什均衡应用举例1.3.1 库诺特库诺特(Cour

35、not)寡头竞争模型寡头竞争模型1.3.2 豪泰林豪泰林(Hotelling)价格竞争模型价格竞争模型1.3.3 公共地的悲剧公共地的悲剧1.3.4 公共物品的私人自愿供给公共物品的私人自愿供给1.3.5 基础设施建设：中央政府和地方基础设施建设：中央政府和地方政府之间的博弈政府之间的博弈211.3.1库诺特库诺特(Cournot)寡头寡头竞争模型竞争模型库诺特寡头竞争模型里，有两个参与人，分别称为企业库诺特寡头竞争模型里，有两个参与人，分别称为企业1和企业和企业2；每个企；每个企业的战略是选择产量；支付是利润，它是两个企业产量的函数业的战略是选择产量；支付是利润，它是两个企业产量的函数用代表

36、第用代表第i个企业的产量，个企业的产量，Ci(qi)代表成本函数，代表成本函数，P=P(q1+q2)代表逆需求函代表逆需求函数数(P是价格；是价格；Q(P)是原需求函数是原需求函数)。第。第i个企业的利润函数为：个企业的利润函数为：2,1),()(),(2121iqCqqPqqqiiii),(*21qq是纳什均衡产量意味着：是纳什均衡产量意味着：)()(),(maxarg11*211*211*1qCqqPqqqq)()(),(maxarg222*122*12*2qCqqPqqqq找出纳什均衡的一个找出纳什均衡的一个办法是对每个企业的办法是对每个企业的利润函数求一阶导数利润函数求一阶导数并令其等

37、于零：并令其等于零：0)()()(0)()()(222122122112112111qCqqPqqqPqqCqqPqqqPq22上述两个一阶条件分别定义了两个反应函数上述两个一阶条件分别定义了两个反应函数(reaction function):)()(12*221*1qRqqRq反应函数意味着每个企业的最优战略反应函数意味着每个企业的最优战略(产量产量)是另一个企业产量的函数。两是另一个企业产量的函数。两个反应函数的交叉点就是纳什均衡个反应函数的交叉点就是纳什均衡),(*2*1*qqqR1(q2)R2(q1)NE2q*2q*1q1q为了得到更具体的结果，考虑上为了得到更具体的结果，考虑上述模型

38、的简单情况。假定每个企述模型的简单情况。假定每个企业具有相同的单位成本，即：业具有相同的单位成本，即：cqqCcqqC222111)(,)(需求函数取如下线性形式：需求函数取如下线性形式：cqqCcqqC222111)(,)(0)(0)(2212212111cqqqaqcqqqaq那么，最优化的一阶条件分别为：那么，最优化的一阶条件分别为：反应函数为：反应函数为：)(21)()(21)(112*2221*1cqaqRqcqaqRq23就是说，就是说，j每增加每增加1个单位的产量，个单位的产量，i将减少将减少1/2单位的产量。单位的产量。解两个反应函数，得纳什均衡为：解两个反应函数，得纳什均衡为

39、：)(31*2*1caqq每个企业的纳什均衡利润分别为每个企业的纳什均衡利润分别为:2*2*12*2*11)(91),(),(caqqqq为了与情况作比较，计算垄断企业的最优产量和均衡利润。为了与情况作比较，计算垄断企业的最优产量和均衡利润。垄断企业的问题是：垄断企业的问题是：)(cQaQMaxQ最优产量为：最优产量为：)(32)(21*2*1*caqqcaQ垄断利润为：垄断利润为：22)(92)(41cacam24寡头竞争的总产量大于垄断产量的原因在于每个企事业在选择自己寡头竞争的总产量大于垄断产量的原因在于每个企事业在选择自己的最优产量时，只考虑对本企业利润的影响，而忽视对另一个企业的最优

40、产量时，只考虑对本企业利润的影响，而忽视对另一个企业的外部负效应。这是典型的囚徒困境问题。的外部负效应。这是典型的囚徒困境问题。库诺特模型也可以使用库诺特模型也可以使用重复剔除严格劣战略的重复剔除严格劣战略的方法找出均衡解方法找出均衡解 2qmq232q22q21q31qmq11q1R2RN重复剔除严格重复剔除严格劣战略过程产生劣战略过程产生为唯一均衡，即纳什均衡为唯一均衡，即纳什均衡),(*2*1qqN在上述讨论中，我们隐含地假定稳定的均衡是在上述讨论中，我们隐含地假定稳定的均衡是存在的，且是唯一的，满足这个要求的条件是，存在的，且是唯一的，满足这个要求的条件是，利润函数是严格凹的利润函数是

41、严格凹的交叉函数偏导数是负的交叉函数偏导数是负的此外，还要求两曲线只交叉一次，且在交叉点此外，还要求两曲线只交叉一次，且在交叉点R1比比R2更陡。满足这些条件的库诺模型更陡。满足这些条件的库诺模型是重复剔除严格劣战略可解的。如果这些条件不满足，我们就无法用重复剔除的办法是重复剔除严格劣战略可解的。如果这些条件不满足，我们就无法用重复剔除的办法找到均衡解。此外，如果存在找到均衡解。此外，如果存在3个以上的寡头企业，重复剔除也无法给出均衡解。个以上的寡头企业，重复剔除也无法给出均衡解。)0(i)0/(2jiiqq这两个条件意味着反应函数这两个条件意味着反应函数R1和和R2是斜率为负的连续函数；是斜

42、率为负的连续函数；251.3.2 豪泰林豪泰林(Hotelling)价价格竞争模型格竞争模型Pi 为商店为商店i的价格，的价格，D9(p1,p2)为需求函数，为需求函数，i=1,2。如果住在。如果住在x的消费者的消费者在两个商店之间是无差异的，那么，所有住在在两个商店之间是无差异的，那么，所有住在x左边的将都在商店左边的将都在商店1购购买买需求分别为需求分别为D1=x,D2=1-x。x满足：满足：“伯川德悖论伯川德悖论”(Bertrand Paredox):即使只有两个企业，在均衡情况下，价格等于边际成即使只有两个企业，在均衡情况下，价格等于边际成本，企业的利润为零，与完全竞争商场均衡一样。本

43、，企业的利润为零，与完全竞争商场均衡一样。解决办法之一是引解决办法之一是引入产品的差异性。入产品的差异性。空间上的差异（空间上的差异（spacial differentiation）,即经典的豪泰林（即经典的豪泰林（hotelling）模型。）模型。产品在物质性能上是相同的，但在空间位置上有差异。因为不同位置上的消产品在物质性能上是相同的，但在空间位置上有差异。因为不同位置上的消费者要支付不同的运输成本。费者要支付不同的运输成本。考虑两商店之间价格竞争的纳什均衡。考虑两商店之间价格竞争的纳什均衡。)1(21xtptxp解上式得需求函数分别为：解上式得需求函数分别为：ttppxppDttppxp

44、pD21),(2),(212121221126利润函数分别为：利润函数分别为：)(21),()(),()(21),()(),(21221222121212111211tppcptppDcppptppcptppDcppp商店商店i选择自己的价格选择自己的价格pi最大化利润最大化利润i，给定，给定jp，两个一阶条件分别是：，两个一阶条件分别是：解上述两个一阶条件，得最优解为：解上述两个一阶条件，得最优解为：0)2(210)2(2121221211ptcptpptcptptcpp*2*1每个企事业的均衡利润为：每个企事业的均衡利润为：221t以上分析中，我们假定两个商店分别位于城市的两个极端。另一个

45、极端的情况，假定两以上分析中，我们假定两个商店分别位于城市的两个极端。另一个极端的情况，假定两个商店位于同一个位置个商店位于同一个位置x。，此时，伯川德均衡是唯一的均衡：。，此时，伯川德均衡是唯一的均衡：0,2121cpp更为一般地，我们可以讨论商店位于任何位置的情况。假定商店更为一般地，我们可以讨论商店位于任何位置的情况。假定商店1位于位于0a,商店商店2位于位于b1（这里（这里）。）。需求函数分别为：需求函数分别为：0b)1(2211),()1(221),(2121212211batppbabxppDbatppbaaxppD27,当当 纳什均衡为：纳什均衡为：)31)(1(),()31)(

46、1(),(*2*1abbatcbapbabatcbap当当0 ba时，即为第一种情况：时，即为第一种情况：tcpp)1,0()1,0(*2*1当当ba 1时，为第二种情况：时，为第二种情况：caapaap)1,()1,(*2*11.3.3 1.3.3 公共地的悲剧公共地的悲剧这个例子证明，如果一种资源没有排他性的所有权，就会导致对这种资源的这个例子证明，如果一种资源没有排他性的所有权，就会导致对这种资源的过度使用过度使用 考虑一个有考虑一个有n个农民的村庄共同拥有一片草地，每个农民都有在草地上放牧个农民的村庄共同拥有一片草地，每个农民都有在草地上放牧的自由。每年春天，每个农民要决定自己养多少只

47、羊。用的自由。每年春天，每个农民要决定自己养多少只羊。用 ,代表代表第第i个农民饲养的数量，个农民饲养的数量，),0ig，代表，代表n个农民饲养的总数量；个农民饲养的总数量；niigGni1;,2,1v代表每只羊的平均价值。代表每只羊的平均价值。v是是G的函数，的函数，一个重要的假设是一个重要的假设是)(gvv最大可存活最大可存活的数量的数量:maxGmaxGG 当当 0)(Gv0)(,maxGvGG假定：假定：0,022GvGv如图：如图：28maxGGv每只羊的价值随饲养总数量每只羊的价值随饲养总数量的增加而下降的增加而下降在这个博弈里，每个农民的问题是选择在这个博弈里，每个农民的问题是选

48、择ig以最大化自己的利润。假定一只羊判羔的价格以最大化自己的利润。假定一只羊判羔的价格为为c,那么，利润函数为：那么，利润函数为：nicggvggggijinii,2,1,)(),(1最优化的一阶条件是：最优化的一阶条件是：nicGvgGvgiii,2,1,0)()(上述上述n个一阶条件定义了个一阶条件定义了n个反应函数：个反应函数：nigggggniii,2,1),(11*因为因为0)()(0)()()(222GvgGvggGvgGvGvgiijiiii所以所以 0222ijiijijigggggg即第即第i个农民的最优饲养量随其它农民的饲养量的增加递减个农民的最优饲养量随其它农民的饲养量的

49、增加递减 29N个反应函数的交叉点就纳什均衡：个反应函数的交叉点就纳什均衡：),(*1*nigggg纳什均衡的总饲养量为纳什均衡的总饲养量为 niigG1*将将n个一阶条件相加，得到：个一阶条件相加，得到：cGvnGGv)()(*社会最优的目标是最大化如下定义的社会总剩余价值：社会最优的目标是最大化如下定义的社会总剩余价值：GcGMaxGvG)(最优化的一阶条件为：最优化的一阶条件为：cGvGGv*)*(*)*(比较社会最优的一阶条件与个人最优的一阶条件可以看到比较社会最优的一阶条件与个人最优的一阶条件可以看到：*GG 这就是公共地的悲剧。这就是公共地的悲剧。301.3.4 公共物品的私人自愿

50、供给公共物品的私人自愿供给公共物品的私人自愿供给会导致供给不足。公共物品的私人自愿供给会导致供给不足。设想一个由设想一个由n n个居民组成的社团正建设一座防洪大堤的情况个居民组成的社团正建设一座防洪大堤的情况第第i i个居民的贡献为个居民的贡献为g gi i，总供给为。，总供给为。i i的效用函数为的效用函数为，这里是私人物品的消费量。，这里是私人物品的消费量。假定，且私人物品和公共物品之间的边际替代率假定，且私人物品和公共物品之间的边际替代率是递减的。令为私人物品的价格，为沙袋的价格，为个人总是递减的。令为私人物品的价格，为沙袋的价格，为个人总预算收入。那么，每个居民面临的问题是给定其他居民

51、的选择的情况下，预算收入。那么，每个居民面临的问题是给定其他居民的选择的情况下，选择自己的最优战略以最大化下列目标函数：选择自己的最优战略以最大化下列目标函数：niigG1),(Gxuiiix0,0GuxuiiixpGpiM),(iigx)(),(iGixiiiigpxpMGxuL最优化的一阶条件为：最优化的一阶条件为：00 xiiGipxupGunipPxuGuxGiii,2,1,故故31假定其他人的选择给定。假定其他人的选择给定。n个均衡条件决定了公共物品自愿供给的纳什均衡：个均衡条件决定了公共物品自愿供给的纳什均衡：niiniiigGggggg1*1*),(考虑帕累托最优解。假定社会福利

52、函数采取下列形式：考虑帕累托最优解。假定社会福利函数采取下列形式：0,11inniiuuuW总预算约束为：总预算约束为：GpxpMGniixnii11帕累托最优的一阶条件是帕累托最优的一阶条件是nipxupGuxiiiniGii,2,1,001用用n个等式消除掉个等式消除掉i，我们得到均衡条件：，我们得到均衡条件：xGiiipPxuGu这就是存在公共物品情况下帕累托最优的萨缪尔逊条件。这就是存在公共物品情况下帕累托最优的萨缪尔逊条件。上述条件可重写为：上述条件可重写为：jiiiixGiiixuGupPxuGu32假定个人效用函数取柯布道格拉斯形式，即假定个人效用函数取柯布道格拉斯形式，即 Gx

53、uii这里这里1,1,1ii，则个人最优的均衡条件为：，则个人最优的均衡条件为：xGiipPGxGx11将预算条件代入整理，得反应函数为将预算条件代入整理，得反应函数为nigpMgijjGii,2,1,*一般地，如果所有居民有相同的收入水平，均衡情况下所有居民提供相同的公共物品，一般地，如果所有居民有相同的收入水平，均衡情况下所有居民提供相同的公共物品，nipMgGii,2,1,*纳什均衡为：纳什均衡为：纳什均衡的总供给为：纳什均衡的总供给为：GiipMnnngG*在所有人具有相同收入的假设下，帕累托最优的一阶在所有人具有相同收入的假设下，帕累托最优的一阶条件为：条件为：xGiipPGxGxn

54、11将预算约束代入，得到单个人的帕累托最优贡献为将预算约束代入，得到单个人的帕累托最优贡献为GipMg*公共物品的总供给为：公共物品的总供给为：33gipMnngG*纳什均衡的总供给与帕累托最优的总供给的纳什均衡的总供给与帕累托最优的总供给的1*nGG比率为：比率为：就是说，公共物品的纳什均衡供给小于帕累托最优供给，且二者之间的差距随着社区居就是说，公共物品的纳什均衡供给小于帕累托最优供给，且二者之间的差距随着社区居民人数的增加而扩大。民人数的增加而扩大。此外，供给不足的程度会随着收入分配差距的扩大而减弱（此外，供给不足的程度会随着收入分配差距的扩大而减弱（Olson,1982）。比如说，假）

55、。比如说，假定社区由两人组成，如果，纳什均衡为：定社区由两人组成，如果，纳什均衡为：mMM5.121)5.12,5.12(),(*2*1GGpmpmgg纳什均衡总供给为：纳什均衡总供给为：GpmggG32*2*1*对比这下，如果居民对比这下，如果居民1的收入是居民的收入是居民2的的2倍即倍即，假定，纳什均衡为：，假定，纳什均衡为：mMMM221,2)0,2(),(*2*1Gpmgg容易验证，收入平均分配下的纳什均衡总供容易验证，收入平均分配下的纳什均衡总供给小于收入分配不均时的纳什均衡供给：给小于收入分配不均时的纳什均衡供给：GGpmpm232上述例子表明，当收入分配不平均时，公共物品的自愿供

56、给可能变成一个智猪博弈。上述例子表明，当收入分配不平均时，公共物品的自愿供给可能变成一个智猪博弈。34在有些情况下，公共物品的提供也可能变成一个斗鸡博弈问题。如下：在有些情况下，公共物品的提供也可能变成一个斗鸡博弈问题。如下：公共物品的公共物品的斗鸡博弈斗鸡博弈 富人富人B修修 不修不修 富人富人A 修修不修不修 1.3.5 基础设施建设：基础设施建设：中央政府和地方政府之间的博弈中央政府和地方政府之间的博弈3，32，44，21，1总结：公共物品的供给可能是一个囚徒困境问题，也可能是智总结：公共物品的供给可能是一个囚徒困境问题，也可能是智猪博弈问题，还可能是一个斗鸡博弈问题，依环境而定。猪博弈

57、问题，还可能是一个斗鸡博弈问题，依环境而定。静态博弈分析解释中央政府和地方政府基础设施建设上的博弈：静态博弈分析解释中央政府和地方政府基础设施建设上的博弈：假定中央政府和地方政府投资的收益函数分别取如下柯布道格拉斯形式：假定中央政府和地方政府投资的收益函数分别取如下柯布道格拉斯形式：中央政府：中央政府：地方政府：地方政府：)()(LCLCCIIEER)()(LCLCLIIEER1;1;1,035用用 和和 分别代表中央政府和地方分别代表中央政府和地方政府可用于投资的总预算奖金。假定中央政府可用于投资的总预算奖金。假定中央政府和地地方政府的都是在满足预算约束政府和地地方政府的都是在满足预算约束的

58、前提下最大化各自的收益函数。那么，的前提下最大化各自的收益函数。那么，中央政府的问题是：中央政府的问题是：CBLB0,0,.)()(max,CCCCCLCLCCIEIEBIEtsIIEERCC地方政府的问题是：地方政府的问题是：0,0,.)()(max,LLLCLLCLCLIEIEBIEtsIIEERLL解之，得反应函数分别为：解之，得反应函数分别为：中央政府：中央政府：0,)(max*LLCCEBBE地方政府：地方政府：0,)(max*CLCLEBBE上述反应意味着：上述反应意味着：CLLCLCLCEEBBBBEE*)()(36 L CLELCcEcadbOdbca图图1.4基础设施投资的博

59、弈基础设施投资的博弈即在均衡点，至少有一即在均衡点，至少有一方的最优解是角点解。方的最优解是角点解。代表中央政府的反应曲线，代表中央政府的反应曲线，代表地方代表地方政府的反应曲线；政府的反应曲线；CCLL)(),(LCLCBBOLOLBBOCOC使用重复剔除严格劣战略的方法，经过不断重复剔除，使用重复剔除严格劣战略的方法，经过不断重复剔除，（0，OC）是唯一剩下的战略组合。）是唯一剩下的战略组合。命题命题1：如果如果 纳什均衡是：纳什均衡是：)(LCCBBB)(;,0*LCCLLLBBEBIE，)(*LCCCBBBI即地方政府将全部资金投资于加工业，中即地方政府将全部资金投资于加工业，中央政府

60、满足所有基础设施投资的需求，然央政府满足所有基础设施投资的需求，然后将剩余资金投资于加工业。后将剩余资金投资于加工业。37考虑考虑 的情况。的情况。使用图使用图1.4容易证明：容易证明：)()(LCCLCBBBBB命题命题2：如果，纳什均衡为：如果，纳什均衡为：)()(LCCLCBBBBB纳什均衡为：纳什均衡为：0,;,0*CCCLLLIBEBIE即地方政府将全部资金投资于加工业，中央政府将全部资金投资于基础设施。即地方政府将全部资金投资于加工业，中央政府将全部资金投资于基础设施。再考虑再考虑 的情况，有：的情况，有：)(LCCBBB命题命题3：如果，如果，纳什均衡为：纳什均衡为：)(LCCB

61、BB0,0)(0)(*CCCLCLLLCLCLCLIBEBBEBIBBBBBE即中央政府将全部资金投资于基础设施即中央政府将全部资金投资于基础设施建设，地方政府建设，地方政府“弥补弥补”中央投资的不中央投资的不足直到地主政府的理想状态，然后将足直到地主政府的理想状态，然后将剩余资金投资于加工业。剩余资金投资于加工业。38综合上述三种情况，综合上述三种情况，在第一种情况下，投资资金的分在第一种情况下，投资资金的分配格局满足了中央政府的偏好：配格局满足了中央政府的偏好：)()(*LCCLLCCLBBIIIBBEEE在第二种情况下，投资资金的分配格局介于中央政府的偏好和地方政府的偏好之间：在第二种情

62、况下，投资资金的分配格局介于中央政府的偏好和地方政府的偏好之间：)()()()(*LCLcLLCLCCcLLCBBBIIBBBBBEEBB在第三种情况下，投资资在第三种情况下，投资资金的分配格局满足了地方金的分配格局满足了地方政府和偏好：政府和偏好：)()(*LCCLLCCLBBIIIBBEEE上述模型大致可以解上述模型大致可以解释改革开放以来中国释改革开放以来中国基础设施投资格局的基础设施投资格局的变化过程变化过程 391.4混合战略纳什均衡混合战略纳什均衡-1，11，-11，-1-1，1在前面，我们将纳什均衡定义为一组满足所有参与人的效用最大化要在前面，我们将纳什均衡定义为一组满足所有参与

63、人的效用最大化要求的战略组合，根据这一定义，有些博弈不存在纳什均衡。考虑下面两个求的战略组合，根据这一定义，有些博弈不存在纳什均衡。考虑下面两个例子：例子：流浪汉流浪汉寻找工作寻找工作 游荡游荡 政府政府 救济救济不救济不救济 3，2-1，3-1，1 0，0儿童儿童B正面正面 反面反面 儿童儿童A 正面正面反面反面社会福利博弈社会福利博弈猜謎游戏猜謎游戏 上述两个博弈的显著特征是，每一上述两个博弈的显著特征是，每一个参与人都想猜透对方的战略，而个参与人都想猜透对方的战略，而每一个参与人又都不能让对方猜透每一个参与人又都不能让对方猜透自己的战略。自己的战略。在这类博弈中，都不存在纳什均衡。在这类

64、博弈中，都不存在纳什均衡。40如果一个战略规定参与人在每一个给定的信息情况下只选择一种特定的行动，如果一个战略规定参与人在每一个给定的信息情况下只选择一种特定的行动，我们称该战略为。我们称该战略为。相反，如果一个战略规定参与人在给定信息情况下以某种概率分布随机地选相反，如果一个战略规定参与人在给定信息情况下以某种概率分布随机地选择不同的行动，我们称该战略为。择不同的行动，我们称该战略为。在博弈的战略式表述中，混合战略可以定义为在纯战略空间上的概率分布。在博弈的战略式表述中，混合战略可以定义为在纯战略空间上的概率分布。在静态博弈里，纯战略等价于特定的行动，混合战略是不同行动之间的随机在静态博弈里

65、，纯战略等价于特定的行动，混合战略是不同行动之间的随机选择。选择。纯战略纯战略混合战略混合战略定义：定义：在在n个参与人博弈的战略式表述中，假定个参与人博弈的战略式表述中，假定参与人参与人i有有K个纯战略：，那么，概率分布称为个纯战略：，那么，概率分布称为i的的一个混合战略，一个混合战略，这里是这里是i选择的概率，对于所有的选择的概率，对于所有的,;,11nnuuSSG,1ikiissS),(1ikii)(ikiksiks11,10,1ikKikKk使用上述定义，纯战略可以理解为混合战略的特例。使用上述定义，纯战略可以理解为混合战略的特例。412.4.1 严格竞争博弈和混合策略的引严格竞争博弈

66、和混合策略的引进进一、猜硬币博弈一、猜硬币博弈-1，11，-11，-1-1，1正正 面面反反 面面猜硬币方猜硬币方盖盖硬硬币币方方正正 面面反反 面面（1 1）不存在前面定义的纳什均衡策略组合）不存在前面定义的纳什均衡策略组合（2 2）关键是不能让对方猜到自己策略）关键是不能让对方猜到自己策略这类博弈很多，引出混合策略纳什均衡概念这类博弈很多，引出混合策略纳什均衡概念42二、混合策略、混合策略博弈和二、混合策略、混合策略博弈和混合策略纳什均衡混合策略纳什均衡 混合策略：在博弈混合策略：在博弈 中，博弈方中，博弈方 的策略的策略空间为空间为 ，则博弈方，则博弈方 以概率分布以概率分布 随机在其随机在其 个可选策略中选择的个可选策略中选择的“策略策略”，称为一个，称为一个“混合策混合策略略”，其中，其中 对对 都成立，且都成立，且 ,;,11nnuuSSGi,1ikiissSki),(1ikiippp10ijpkj,111ikipp混合策略扩展博弈：博弈方在混合策略的策略空间（概率混合策略扩展博弈：博弈方在混合策略的策略空间（概率分布空间）的选择看作一个博弈，就是原博弈的分布空间）的选择看