2021-2022学年天津市红桥区高三(上)期中数学试卷(附答案详解)

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1、𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋2 3 𝜋2021-2022 学年天津市红桥区高三（上）期中数学试卷 一、单选题（本大题共 9 小题，共 27.0 分）1.设全集𝑈 = 𝑛 𝑁|1 𝑛 10，𝐴 = 1,2,3,5,8，𝐵 = 1,3,5,7,9，则( 𝐴) 𝐵 =𝑈( )A.6,9B.6,7,9C.7,9D.7,9,10 2.设𝑥 𝑅 ，则“2

2、𝑥 0”是“|𝑥 1| 1”的( )A.C.充分而不必要条件 充要条件B.D.必要而不充分条件既不充分也不必要条件3.设函数𝑓(𝑥) 为奇函数，当𝑥 0时，𝑓(𝑥) = 𝑥 2 2，则𝑓(𝑓(1) = ( )A.1B.2C.1D.24.下列函数是偶函数且在(0, +)上单调递增的为( )A.𝑓(𝑥) = 𝑥 1𝑥B.𝑓(𝑥) = Ү

3、90;|𝑥|C.𝑓(𝑥) = 𝑥D.𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛𝑥5. 𝐴𝐵𝐶 的内角𝐴，𝐵 ，𝐶 所对边的长分别是𝑎 ，𝑏 ，𝑐 ，若𝑎𝑐𝑜𝑠𝐶 + 𝑐𝑐𝑜𝑠𝐴

4、 = 𝑏𝑠𝑖𝑛𝐵 ，则 此三角形为( )A.C.等边三角形直角三角形B.D.等腰三角形等腰直角三角形6.已知函数𝑓(𝑥) = sin(𝜔𝑥 + )(𝑥 𝑅, 𝜔 0)的最小正周期为𝜋，为了得到函数4𝑔(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑥 的图象，只要将𝑦 = 𝑓

5、(𝑥) 的图象( )A.C.向左平移 个单位长度8向左平移 个单位长度 4B.D.向右平移 个单位长度 8向右平移 个单位长度47.某射手每次射击击中目标的概率是 ，则这名射手在3次射击中，至少有2次击中目3标的概率为( )A.49B.827C.1927D.20278.以下关于𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 的命题，正确的是( )A.函数𝑓(𝑥) 在区间(0,2𝜋3)

6、上单调递增B.直线𝑥 = 是函数𝑦 = 𝑓(𝑥) 图象的一条对称轴 8第 1 页，共 15 页𝜋| 𝑥 4|, 𝑥 12 1 2𝑖1 1 2| 𝐵𝑀| |𝐶𝑁| 𝜋C. 点(𝜋4, 0)是函数𝑦 = 𝑓(𝑥) 图象的一个对称中心D.将函数𝑦 = 𝑓(𝑥) 图象向右平移 个单位，可

7、得到𝑦 = 2𝑠𝑖𝑛2𝑥 的图象89.已知函数𝑓(𝑥) = |𝑙𝑛𝑥| ，𝑔(𝑥) =0,0 0，𝑏 0，且 + = 4，则𝑎 + 2𝑏 的最小值为_𝑎 𝑏14. 在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷 中，边𝐴𝐵 、𝐴𝐷

8、的长分别为2、1，若𝑀 、𝑁 分别是边𝐵𝐶 、𝐶𝐷 上的点，且满足 = |𝐵𝐶| |𝐶𝐷|，则𝐴𝑀 𝐴𝑁的取值范围是_三、解答题（本大题共 6 小题，共 78.0 分）15. 函数𝑓(𝑥) = (𝑥 3)𝑒𝑥的单调递增区间是_16. 在 𝐴𝐵𝐶 的

9、内角𝐴，𝐵 ，𝐶 所对边的长分别是𝑎 ，𝑏 ，𝑐 ，已知𝑠𝑖𝑛𝐴 ：𝑠𝑖𝑛𝐵 ：𝑠𝑖𝑛𝐶 = 2：1：2，𝑏 = 2()求𝑎 的值；()求𝑐𝑜𝑠𝐶 的值；()求sin(2𝐶 + )6的值第 2 页，共

10、 15 页1 3 5𝑛3 ， 求数列𝑛𝑛 𝑛1𝑛𝐴𝑛17. 等比数列𝑎 中，首项𝑎 =𝑛 1()求𝑎 的通项公式；𝑛13，公比𝑞 0，𝑞 1，且𝑎 ，5𝑎 ，9𝑎 成等差数列()令𝑏 = 𝑙𝑜𝑔1 1𝑎 𝑏 𝑏的前&

11、#119899;项和为𝑇 18. 已知函数𝑓(𝑥) = 23𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 1(1)求函数𝑓(𝑥) 的最小正周期及单调递增区间；(2) 𝐴𝐵𝐶 中，若𝑓( ) = 2，𝑏 = 1，𝑐 = 2，求𝑎

12、 的值219. 已知数列𝑎 是等差数列，设𝑆 (𝑛 𝑁 )为数列𝑎 的前𝑛项和，数列𝑏 是等比数𝑛 𝑛 𝑛 𝑛列，𝑏 0，若𝑎 = 3，𝑏 = 1，𝑏 1 1 3𝑆 = 12，𝑎 2𝑏 = 𝑎 2 5 2 3()求数列𝑎 和𝑏 的通项公式；𝑛 &#

13、119899;()求数列𝑎 𝑏 的前𝑛项和𝑛 𝑛第 3 页，共 15 页 20. 已知函数𝑓(𝑥) = 𝑥𝑙𝑛𝑥 ，𝑔(𝑥) = 𝑥 2 + 𝑎𝑥 3()求函数𝑓(𝑥) 的最小值；()对一切𝑥 (0, +)，2𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) 恒

14、成立，求实数𝑎 的取值范围；()证明：对一切𝑥 (0, +)，都有𝑙𝑛𝑥 1 2𝑒 𝑥 𝑒𝑥成立第 4 页，共 15 页𝑈𝑈答案和解析1.【答案】𝐶【解析】解：𝑈 = 𝑛 𝑁|1 𝑛 10 = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，则𝑈𝐴 = 4,6,7,9,10 ，则(𝐴) ⻒

15、1; = 7,9，故选：𝐶 求出全集的元素，结合交集，补集的定义进行计算即可本题主要考查集合的基本运算，结合补集，交集的定义是解决本题的关键2.【答案】𝐴【解析】解：由2 𝑥 0得𝑥 2，由|𝑥 1| 1得2 𝑥 或𝑥 0，则“2 𝑥 0”是“|𝑥 1| 1”的充分不必要条件，故选：𝐴求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的定义以及不等式 的性质是解决本

16、题的关键3.【答案】𝐶【解析】解：根据题意，当𝑥 0时，𝑓(𝑥) = 𝑥2 2，则𝑓(1) = 1 2 = 1，又由𝑓(𝑥) 为奇函数，则𝑓(1) = 𝑓(1) = 1，则𝑓(𝑓(1) = 𝑓(1) = 𝑓(1) = 1；故选：𝐶 根据题意，由函数的解析式可得𝑓(1) = 1，由函数的奇偶性可得𝑓(1) 的值，据此可 得

17、19891;(𝑓(1) = 𝑓(1) = 𝑓(1) ，即可得答案本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题4.【答案】𝐵第 5 页，共 15 页1 | 𝑥|2 2 ， ) = cos (2𝑥 + ) = cos(2𝑥 ) = 𝑐𝑜𝑠2(𝑥 )【解析】解：对于𝐴，𝑓(𝑥) = 𝑥 的定义域为𝑥|𝑥 0，&#

18、119891;(𝑥) = 𝑓(𝑥) ，则𝑓(𝑥) 为奇𝑥函数，不符合题意；对于𝐵 ，𝑓(𝑥) = 𝑒 的定义域为𝑅 ，𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥) ，则𝑓(𝑥) 为偶函数，且在(0, +)上单 调递增，符合题意；对于𝐶 ，𝑓(𝑥) = 𝑥的定义为0, +)，不关于原点对

19、称，故𝑓(𝑥) 为非奇非偶函数，不符合题意；对于𝐷 ，𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛𝑥 的定义为(0, +)，不关于原点对称，故𝑓(𝑥) 为非奇非偶函数，不符 合题意故选：𝐵 由常见函数的奇偶性与单调性逐一判断即可本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断，考查逻辑推理能力，属于基础题5.【答案】𝐶【解析】解：由𝑎𝑐𝑜𝑠𝐶 + 𝑐

20、;𝑐𝑜𝑠𝐴 = 𝑏𝑠𝑖𝑛𝐵 以及正弦定理可知，𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐶 + 𝑠𝑖𝑛𝐶𝑐𝑜𝑠𝐴 = sin2𝐵 ，即sin(𝐴 + 𝐶) = 𝑠&

21、#119894;𝑛𝐵 = sin 0 𝐵 𝑔(2)即𝑚 0𝑙𝑛2 + 𝑚 0，即𝑙𝑛2 0，𝑏 0， ， 3 先 以𝐴𝐵所 在的直线为𝑥 轴，以𝐴𝐷【解析】解：由𝑎 0，𝑏 0，1 2 1 1𝑎 𝑏 4𝑎 2𝑏= 1，1 1 5 𝑏

22、 𝑎 5 𝑏 𝑎 94𝑎 2𝑏 4 2𝑎 2𝑏 4 2𝑎 2𝑏 4，即𝑎 = 𝑏 = 时等号成立，2𝑎 2𝑏 4所以𝑎 + 2𝑏的最小值为 4故答案为： 41 2 1 1 1 1 5 𝑏 𝑎 𝑎 𝑏 4𝑎 2𝑏 4𝑎 2𝑏 4 2&

23、#119886; 2𝑏进一步即可利用基本不等式进行求解本题考查基本不等式的应用，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题14.【答案】1,4【解析】解：以𝐴𝐵所在的直线为𝑥 轴，以𝐴𝐷所在的直线为𝑦 轴，建立坐标系如图， 𝐴𝐵 = 2，𝐴𝐷 = 1， 𝐴(0,0)，𝐵(2,0)，𝐶(2,1)，𝐷(0,1) ， 设𝑀(2, ⻔

24、7;) ，𝑁(𝑥, 1)，|𝐵𝑀| |𝐵𝐶|=|𝐶𝑁| |𝐶𝐷| 𝑏 =2 𝑥2 𝐴𝑁=(𝑥, 1)，𝐴𝑀=(2,2𝑥 )，2 𝐴𝑀𝐴𝑁=3𝑥+1, (0 𝑥 2)，2 1 𝑥 + 1 4，2即1 &

25、#119860;𝑀 𝐴𝑁4故答案为：1,4 所在的直线为𝑦 轴，建立坐标系，写出要用的点的坐标，根据两个点的位置得到坐标之间的关系，表示出两个向量的数量积，根据动点的位置得 到自变量的取值范围，做出函数的范围，即要求得数量积的范围本题主要考查平面向量的基本运算，概念，平面向量的数量积的运算，本题解题的关键第 10 页，共 15 页𝑥2 3 7， 1 𝜋 𝜋 𝜋 321+1𝜋是表示出两个向量的坐标形式，利用函数的最值求出数量积的范围，本题是一个中档题 目

26、15.【答案】(2, +)【解析】解： 𝑓(𝑥) = (𝑥 2)𝑒 ，令𝑓(𝑥) 0，解得：𝑥 2， 𝑓(𝑥) 在(2, +)递增，故答案为：(2, +)先求出函数的导数，令导函数大于0，解不等式求出即可本题考查了函数的单调性，导数的应用，是一道基础题16.【答案】解：(1) 𝐴𝐵𝐶 中，𝑠𝑖𝑛𝐴 ：𝑠𝑖

27、19899;𝐵：𝑠𝑖𝑛𝐶 = 2：1：2， 𝑎：𝑏：𝑐 = 2：1：2， 𝑏 = 2， 𝑎 = 2𝑏 = 22, 𝑐 = 2𝑏 = 2，(2) 𝐴𝐵𝐶 中，由余弦定理得𝑐𝑜𝑠𝐶 =𝑎2+𝑏 𝑐2𝑎𝑏2

28、=8+24 22 2 2=，4(3)由(2)可得𝑠𝑖𝑛𝐶 = 1 cos 2 𝐶 = ，4 𝑠𝑖𝑛2𝐶 = 2𝑠𝑖𝑛𝐶𝑐𝑜𝑠𝐶 =378𝑐𝑜𝑠2𝐶 = 2𝑐𝑜𝑠2𝐶 1 =，8 sin(2 w

29、862; + ) = 𝑠𝑖𝑛2𝐶𝑐𝑜𝑠 + 𝑐𝑜𝑠2𝐶𝑠𝑖𝑛 =6 6 6 16【解析】(1)由题意利用正弦定理，求得𝑎 的值，(2)由题意利用余弦定理计算求得结果，(3)先来用二倍角公式求得2𝐶 的正弦值和余弦值，再利用两角和的正弦公式求得sin(2𝐶 + )的值6本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍

30、角公式、两角和的 正弦公式的应用，考查了运算求解能力，属于中档题第 11 页，共 15 页𝑛1 3 1 1 1 1 3 𝑛𝑛𝑏2 33 4𝑏1 1 1 1 1 11 𝑛 31 𝜋 2𝑥 2𝑘𝜋 + 𝑥 𝑘𝜋 +， 𝑘 𝑍 得，𝑘𝜋 𝜋 𝜋17.【答案】解：(𝐼) 在等比数列

31、19886;中， 𝑎 = , 𝑎 , 5𝑎 , 9𝑎 1 1 3 5成等差数列， 2 5𝑎 = 𝑎 + 9𝑎 3 1 5，即10𝑎 𝑞2= 𝑎 + 9𝑎 𝑞 1 14， 9𝑞 4 10𝑞 2 + 1 = 0，解得：𝑞2= , 𝑞 2 = 1， 9 𝑞 0,， 𝑞 =，3 𝑎 = ( )w

32、899;𝑛，(𝐼𝐼) 𝑏 = 𝑙𝑜𝑔𝑛 3 𝑏 = 𝑛， 𝑛1𝑎，则𝑇 =𝑏11 2+1𝑏 𝑏+1𝑏 𝑏+ +𝑏1𝑛 𝑛+1=112+123+134+ +1𝑛(𝑛+1)= 1 + + + + 2 2 3 3 4 𝑛=

33、 1 𝑛+1= ,𝑛+11𝑛+1 𝑇 =𝑛𝑛𝑛+1【解析】(𝐼) 根据等比数列和等差数列的性质建立方程组，即可求出数列𝑎𝑛的通项 (𝐼𝐼) 求出𝑏 的通项公式，利用裂项法即可求和𝑛本题主要考查数列的通项公式的求解，以及数列求和，利用裂项法是解决本题的关键， 属于中档题18.【答案】解：()𝑓(𝑥) 3𝑠𝑖

34、19899;2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 2(𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥) = 2𝑠𝑖𝑛(2𝑥 )， 2 2 6 𝜔 = 2，最小正周期𝑇 =2𝜋|𝜔|= 𝜋；由2𝑘𝜋 𝜋 𝜋 𝜋

35、 𝜋 𝜋 2 6 2 6 3，𝑘 𝑍 ，则𝑓(𝑥) 的单调递增区间为𝑘𝜋 , 𝑘𝜋 + (𝑘 𝑍) 6 3；第 12 页，共 15 页( ) 𝑓( ) = 2， 2𝑠𝑖𝑛(𝐴 ) = 2， 即sin(𝐴 ) = 1， ， 𝑘 𝑍 ，即𝐴 = 𝐴 =

36、 + 2𝑘𝜋1 2 2 2 2 𝐴 𝜋𝑛则 𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛𝐴 𝜋 𝜋2 6 6𝜋 𝜋 2𝜋6 2 3+ 2𝑘𝜋，𝑘 𝑍 ，又0 𝐴 0，解得𝑥 ；𝑒令𝑓(𝑥) 0，解得0 𝑥 w

37、890;从而𝑓(𝑥) 在(0,)单调递减，在( , +)单调递增 𝑒 𝑒所以，当𝑥 = 时，𝑓(𝑥) 取得最小值𝑒 𝑒(𝐼𝐼) 若2𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) ，则𝑎 2𝑙𝑛𝑥 + 𝑥 + 设(𝑥) = 2𝑙𝑛𝑥 +

38、19909; + ，𝑥3𝑥，则(𝑥) =2 3 𝑥𝑥 𝑥 22+2𝑥3 𝑥 2=(𝑥+3)( 𝑥1)𝑥 2 𝑥 (0,1) 时，(𝑥) 0，(𝑥) 单调递增， (𝑥) = (1) = 4 𝑚𝑖𝑛故𝑎 4即实数𝑎 的取值范围为(, 4证明：(𝐼𝐼&#

39、119868;) 若𝑙𝑛𝑥 1 2𝑒 𝑥 𝑒𝑥则𝑙𝑛𝑥 𝑥 𝑥 2𝑒 𝑥 𝑒，由(𝐼) 得：𝑙𝑛𝑥 𝑥 ，当且仅当𝑥 = 时，取最小值； 𝑒 𝑒第 14 页，共 15 页 ， 𝑚(𝑥) =则 3 3

40、成 立，即𝑙𝑛𝑥 𝑥 ， 结合(1)中结论可 1 𝑥 设𝑚(𝑥) =𝑥 2 1𝑥 𝑒 𝑥 𝑒 𝑒 𝑥， 𝑥 (0,1) 时，𝑚(𝑥) 0，𝑚(𝑥) 单调递增，𝑥 (1, +)时，𝑚(𝑥) 1 2𝑒 𝑥 ⻕

41、0;𝑥成立【解析】(𝐼) 先求出函数的定义域，然后求导数，根据导函数的正负判断函数的单调性 进而可求出最小值(𝐼𝐼) 若2𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) ，则𝑎 2𝑙𝑛𝑥 + 𝑥 +，构造函数(𝑥) = 2𝑙𝑛𝑥 + 𝑥 + ，则𝑎 𝑥 𝑥𝑚𝑖

42、𝑛(𝑥)，进而得到实数𝑎 的取值范围；()对一切𝑥 (0, +)，都有𝑙𝑛𝑥 1 2 𝑥 2 𝑒 𝑥 𝑒𝑥 𝑒 𝑥 𝑒知𝑙𝑛𝑥 𝑥 ，构造新函数𝑚(𝑥) = ，分析其最大值，可得答案𝑒 𝑒 𝑥 𝑒本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，导数在最值问题中的应用，熟练掌握 导数法求函数最值的方法步骤是解答的关键第 15 页，共 15 页